Syntaxregeln_Neu

Themen: Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen zur Durchführung von Berechnungen sowie zur Ausgabe grafischer Darstellungen - Eigenschaften wichtiger und trigonometrischer Funktionen

MathProf - Ein Programm zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für angewandte Mathematik interessieren.

Online-Hilfe
zu Syntaxregeln, welche zur Definition der Terme
mathematischer Funktionen, mathematischer Operatoren, mathematischer Zeichen, Variablen und mathematischer Konstanten in MathProf 5.0 gelten.

Nachfolgend aufgeführt finden Sie eine Übersicht der mathematischen Funktionen, welche in diesem Programm Verwendung finden können. Zudem werden Konstanten, Parameter und Operatoren sowie hierfür geltende Syntaxregeln, welche zur Definition von Funktionstermen verwendbar sind, aufgeführt. Sie haben Gültigkeit in allen hierfür relevanten Unterprogrammen.

Unter Anwendung dieser können sowohl Terme in Modulen zur Durchführung numerischer Berechnungen, wie auch in Programmteilen zur Darstellung zweidimensionaler oder dreidimensionalen Grafiken bzw. zum Plotten der Graphen von Funktionen definiert werden.

Bei korrekter Definition werden die entsprechenden Symbole und Funktionsterme vom Rechner in Fließkommazahlen gewandelt und zur Ermittlung relevanter interner Berechnungsergebnisse sowie zur Ausgabe grafischer Darstellungen verwendet.

 

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Themen und Stichworte I: Funktionsterme - Funktionsterm - Funktionsrechner - Terme - Funktion - Regeln - Werte - Variablen - Parameter - Hyperbelfunktionen - Logarithmusfunktionen - Wurzelfunktionen - Elementare Funktionen - Übersicht - Eingabe - Operatoren - Operationen - Mathematische Operationen - Regeln - Syntax - Schreibweise - Begriff - Begriffe - Mathematische Zeichen - Vorzeichen - Exponenten - Klammern - Klammerregeln - Definieren - Trigonometrische Funktionen - Hyperbelfunktion - Betrag einer Zahl - Positive Zahlen - Euler Funktion - Potenzen - Negative Zahlen - Winkelfunktionen - Zum Quadrat - Wurzel - Quadratwurzel - Kubikwurzel - Dritte Wurzel - Kubische Wurzel - Vierte Wurzel - n-te Wurzel - Wurzelexponent - Gaußsches Fehlerintegral - Arcusfunktionen - Hyperbolische Funktionen - Areafunktionen - Sinus - Kosinus - Tangens - Cotangens - Logarithmus - Tangensfunktion - Cotangensfunktion - Sinusfunktion - Cosinusfunktion - Inverser Tangens - Inverser Sinus - Inverser Cosinus - Kehrwertfunktion - Fakultätsfunktion - Tangens hyperbolicus - Sinus hyperbolicus - Cosinus hyperbolicus - Arcussinus - Arcuscosinus - Arcustangens - Sekans - Secans hyperbolicus - Cotangens hyperbolicus - Arcussinus hyperbolicus - Arcuscosinus hyperbolicus - Arcustangens hyperbolicus - Arcuscotangens hyperbolicus - Areasinus hyperbolicus - Areatangens hyperbolicus - Inverse Funktionen - Hyperbolischer Tangens - Hyperbolischer Sinus - Allgemeine Logarithmusfunktion - Logarithmen - Logarithmus naturalis - Natürlicher Logarithmus - Logarithmus lg - Logarithmus ln - Logarithmus zur Basis 2 - Logarithmus zur Basis 10 - Log zur Basis 2 - Log zur Basis 10 - Logarithmus dualis - Dekadischer Logarithmus - Zweierlogarithmus - Zehnerlogarithmus - Cosinus-Integral - Exponential-Integral - Logarithmisches Integral - Sinus-Integral - n-te Potenz - Funktionsdefinition - Typen - Funktionstypen - Error function - Fehlerfunktion - Erf - Fresnel Sinus - Fresnel Cosinus - Hyperbolisch - Winkelfunktionswerte - Absolute Werte - Absoluter Wert - * - - + - / - ^ - Hoch - Cosinus hoch - Sinus hoch - Tangens hoch - tan^-1 - sin^-1 - cos^-1 - Sinh - Cosh - Tanh - Coth - Arcsin - Arccos - Arctan - Arccot - Ln - Ld - Log - Log base - Sin - Cos - Tan - Abs - Cot - Arcsinh - Arccosh - Arctanh - Arccoth - Arcsec - Arccsc - Sech - Csch - Arcsech - Exp2 - Exp10 - Abs - Sqrt - Sqr - Frac - Int - LnFac - X - Y - pi - pi/2 - pi/3 - pi/4 - pi/6 - pi - 0 - 1 - 0,1 - 0,2 - 0,3 - 0,4 - 0,5 - 0,6 - 0,7 - 0,8 - 0,9 - Konstante e - Eulersche Zahl - E Zahl - Vorzeichenfunktion - Ceil Funktion - Floor Funktion - Sgn Funktion - Sec Funktion - Csc Funktion - Degtorad - Radtodeg - Unbekannte - Definitionsbereich - Definitionsmenge - Wertebereich - Wertemenge - Symmetrie - Eigenschaften - If Funktion - Abhängige Variable - Unabhängige Variable

  

Themen und Stichworte II: Gammafunktion - Eulersche Gammafunktion - Psi Funktion - Error Function - Ln Funktion - Lg Funktion - Exp Funktion - Exp2 Funktion - Exp10 Funktion - Arctan2 - Int - Integer - Max Funktion - Min Funktion - Trunc - Truncate - Clamp Funktion - Sprungfunktion - Heavyside Funktion - Fresnel Integral - Fresnelsche Integrale - Fakultät - Ableiten - Ableitung - Rechner -  Wurzelterm - Absolutbetrag - Absolutwert - Funktionsterm - Funktionsterme - Bruchterm - Begriff - Begriffe - Zahlen - Hoch - Hochzahlen - Maximalwert - Mininmalwert - Signum - Signumfunktion - Stufenfunktion - Treppenfunktion - Betragsfunktion - Potenzfunktion - Negative Exponenten - Negative Hochzahlen - Negative Potenz - Aufrundungsfunktion - Abrundungsfunktion - Zufallsfunktion - Zufallsvariable - Random - Randomizer - Natürliche Exponentialfunktion - Absoluter Betrag - Absolutbetrag - Absoluter Wert - Runden - Absolute Werte - Power Funktion - Konstanten - Negation - Negierung - Gaußklammer - Gauß Klammer - Integralsinus - Integralcosinus - Integralexponentialfunktion - Fehlerintegral - Min - Max - Minimum - Maximum - Minimalwert - Maximum zweier Zahlen - Minimum zweier Zahlen - Gaußsche Fehlerfunktion - Natürliche Logarithmusfunktion - Mathematische Symbole - Mathematische Bedingungen - Darstellungsarten - Kommazahlen - Rechenzeichen - Term berechnen - Berechnen - Erklärung - Einführung - Beschreibung - Definition - Darstellung - Plotter - Plot - Darstellen - Plotten - Graph - Herleitung - Beweis - Terme addieren - Terme subtrahieren - Terme multiplizieren - Terme dividieren - Terme potenzieren - Größer als - Kleiner als - Berechnung - Addieren - Subtrahieren - Dividieren - Multiplizieren - Potenzieren - Addition - Subtraktion - Multiplikation - Division - Plus - Minus - Geteilt - Durch - Mal - Iff - Betragsungleichungen - Betragsstriche - Betragszeichen - Betragsquadrat - Verschachtelte Funktionen - Größer als-Zeichen - Kleiner als-Zeichen - Vergleichsoperatoren - Operationszeichen - Relationszeichen - Zeichen - Buchstaben - Erklärung - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Klammer - Operand - Operanden - Operator - Merkmale - Festkommadarstellung - Festkommazahl - Gleitkommadarstellung - Gleitkommazahl - Fließkommazahl - Festkommazahlen - Gleitkommazahlen - Fließkommazahlen - Exponentialschreibweise - Exponentialdarstellung - Dezimaldarstellung - Dezimalschreibweise - Exponentialformat - Format - Notation - Stellenzahl - Beziehungen - Umrechnen - Mathe - Mathematik - Mathematische Schreibweise - Schreibweise - Wissenschaftliche Schreibweise - Formel von Moivre - Arkusfunktionen - Arkuskosinus - Arkussinus - Arkustangens - Arkuskotangens - Arkussekans - Arkuskosekans - Umrechnung - Funktionseigenschaften - Elliptisches Integral - Lambda-Funktion - Jacobi-Amplitude - Jacobische elliptische Funktion - Sinus lemniscatus - Dawson - Integral - Error-Funktion -Errorfunktion - Goodwin-Staton - Logarithmisches Integral - Bateman-Funktion - Beta-Funktion - Gammastar - Lnbeta - Lngamma - Psi - RGamma - Trigamma - Clausen-Funktion - Dirichlet Beta - Chi Funktion - Lobachevsky-Funktion - Riemannsche Zetafunktion - Hurwitz Zeta Funktion - Chebyshev - Polynom - Gegenbauer Polynom - Hermite Polynome - Laguerre Polynome - Legendre Polynome - Zernike Polynome - Dichte - Verteilung - Extreme Value Type - Inverse Gamma Verteilung - Kumaraswamy-Verteilung - Bernoulli-Polynom - Gudermann-Funktion - Debye-Funktion -  Fibanocci-Funktion - Riemann - Riemannsche Zahl

 

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu MathProf 5.0, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 
Nachfolgend aufgeführte Zeichen und Symbole sind in Unterprogrammen verwendbar, welche die Definition von Funktionstermen erfordern. Diese können sowohl zur Durchführung von Berechnungen wie auch zur Darstellung von zweidimensionalen und dreidimensionalen funktionalen Zusammenhängen mit Hilfe von Funktionen in expliziter Form, in Parameterdarstellung sowie in Polarform verwendet werden.
 

Verwendung von IF und IFF - Anweisungen und logischen Verknüpfungen - Boolesche Variablen

Operatoren und logische Verknüpfungen bei Verwendung von IF oder IFF-Anweisungen:

 
Eine IF-Anweisung führt eine Wenn-Dann-Anweisung (if then) aus. Wird die gestellte Bedingung erfüllt, so wird die Anweisung abgearbeitet, ansonsten wird nichts ausgegeben, bzw. dargestellt.

Eine IFF-Anweisung führt eine Wenn-Dann-Sonst-Anweisung (if then else) aus. Wird die gestellte Bedingung erfüllt, so wird die Dann-Anweisung abgearbeitet, andernfalls wird die Sonst-Anweisung abgearbeitet.

Deklarationsformen:

IF(Bedingung;Dann-Anweisung)

IFF(Bedingung;Dann-Anweisung;Sonst-Anweisung)

Als Separatoren zwischen Bedingung und Anweisung(en) werden Semikola verwendet.

Bedingungsanweisungen (und somit auch Operatoren) werden vor dem ersten Semikolon innerhalb des IF- bzw. IFF-Befehls definiert. Dann-Anweisungen werden zwischen dem ersten und dem zweiten Semikolon, und Sonst-Anweisungen (bei IFF-Bedingung) nach dem zweiten Semikolon zugewiesen.

Bedingungsanweisungen müssen vor dem ersten Semikolon stets Vergleichsoperatoren (<,>,=,>=,<=,<>) und/oder das Verknüpfungssymbol & beinhalten. Vergleichsoperatoren und Verknüpfungssymbole müssen sich logischerweise stets vor dem ersten Semikolon (bei der Bedingungsdefinition) und nicht dahinter befinden.

Hinweise:

Das Programm prüft die verwendete Deklaration (Syntax) vor Durchführung einer Berechnung bzw. Ausgabe einer grafischen Darstellung in diesem Fall nur bedingt. Es gilt daher auf die korrekte Benutzung dieser Anweisungen selbst zu achten. Die o.a. Vergleichsoperatoren (<,>,=,>=,<=,<>) sowie das Symbol & (AND) für die logische UND-Verknüpfung sind stets nur im ersten Teil (vor dem ersten Semikolon - also zur Definition der Bedingungsanweisung) innerhalb einer IF- oder IFF-Anweisung zu verwenden. Wird dies nicht befolgt, so erhalten Sie eine Fehlermeldung oder es erfolgt eine mit Sicherheit nicht ohne Weiteres nachvollziehbare Darstellung oder numerische Auswertung. Außerhalb der Klammerung von IF- oder IFF-Anweisungen ist eine Verwendung der o.a. Zeichensymbole grundsätzlich zu unterlassen!

Mit Hilfe der zuvor aufgeführten Operatoren können auch Betragsungleichungen definiert werden.

Wichtige Hinweise

•  

  X^(0,5)

  SQRT(X)

  X^(1/2)

  WURZEL(X)
   

• Als Dezimaltrennzeichen werden Komma oder Punkt akzeptiert
   

• Die Berechnung der Werte trigonometrischer Funktionen erfolgt in allen Unterprogrammen stets im Bogenmaß!
   

• Die Verwendung der Zeichenfolge E^X bewirkt dasselbe wie die Nutzung der Zeichenfolge EXP(X)
   

• Bei Funktionen die einen ganzzahligen Parameterwert n verlangen, wie z.B. FAC(n), LNFAC(n), darf der entsprechende ganzzahlige Wert n nicht durch die Ausführung einer Operation zugewiesen werden. D.h., um der Funktion FAC beispielsweise den ganzzahligen Wert 6 zuzuweisen, ist alleine die Ziffer 6 zwischen den Klammern einzubinden -> FAC(6). Wird die Anweisung FAC(2*3) definiert, so erhalten Sie eine Fehlermeldung, da der Operator * verwendet wurde. Auch die Übergabe eines Gleitkommawerts, oder des Symbols P (zur Durchführung von Simulationen) wird für Funktionsparameter und Konstanten, die ganzzahlige Werte erforderlich machen, nicht akzeptiert.
   

Häufige Ursachen fehlerhafter Funktionsdeklaration

• Nicht jede geöffnete Klammer wurde wieder geschlossen.
  Die Anzahl sich öffnender Klammerzeichen in einem Funktionsterm, muss der Anzahl schließender Klammerzeichen entsprechen.

• Fehlerhafte Klammerung der Symbolzeichen von Standardfunktionen.
  Beispiel:
  Falsch: COS X      Richtig: COS(X)
   

• Multiplikationszeichen wurden nicht verwendet.
  Beispiel:
  Falsch: 2X             Richtig: 2*X
  Falsch: SIN(4X)      Richtig: SIN(4*X)
   

• Fehlerhafte Verwendung von Potenzzeichen.

  Beispiel:
  Falsch X²        Richtig: X^2
   

• Fehlerhafte Klammerung von Exponenten.
  Beispiel:
  Soll der Term ³√X² definiert werden, so ist einzugeben: X^(2/3). Falsch hingegen wäre die Eingabe des Terms X^2/3, denn dieser wird interpretiert mit 1/3·X².
   

Anmerkungen

• Im Unterprogramm Mathematische Funktionen I steht eine Beispiel-Formelbibliothek zur Verfügung, die es ermöglicht sich die geltenden Syntaxregeln zur Definition von Funktionstermen verständlich zu machen. Aufgerufen werden kann diese unter dem Menüpunkt Beispiele I - Beispiel - Funktionsbibliothek laden.
   

• Möchten Sie Konstanten benutzen, so weisen Sie den Konstanten C1-C5 die entsprechenden Werte unter dem Menüpunkt Datei - Globale Optionen auf dem Hauptformular des Programms zu. Voreingestellt sind für alle Konstanten die Werte 0 (Näheres hierzu siehe Globale Optionen - Registerblatt Konstanten).
  
  Enthält die Deklaration eines Funktionsterms Leerzeichen, so werden diese bei Aufruf eines Befehls automatisch eliminiert.
   

Elementare Funktionen

Kurzbeschreibung einiger Funktionen und Fachbegriffe

Festkommadarstellung - Gleitkommadarstellung - Festkommazahlen - Gleitkommazahlen - Fließkommazahlen

Exponentialschreibweise - Exponentialdarstellung - Dezimaldarstellung - Dezimalschreibweise - Wissenschaftliche Schreibweise - Format

Variable - Abhängige Variable - Unabhängige Variable

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sin(x)  |  Funktion f(x) = cos(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = tan(x)  |  Funktion f(x) = cot(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arcsin(x)  |  Funktion f(x) = arccos(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arctan(x)  |  Funktion f(x) = arccot(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sinh(x)  |  Funktion f(x) = cosh(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = tanh(x)  |  Funktion f(x) = coth(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arsinh(x)  |  Funktion f(x) = arcosh(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = artanh(x)  |  Funktion f(x) = arcoth(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sec(x)  |  Funktion f(x) = csc(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arcsec(x)  |  Funktion f(x) = arccsc(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sech(x)  |  Funktion f(x) = csch(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = arcsech(x)  |  Funktion f(x) = arccsch(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) =arctan2(2,x)  |  Funktion f(x) = ln(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = ld(x)  |  Funktion f(x) = log(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = logbase(3;x)  |  Funktion f(x) = exp(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = exp2(x)  |  Funktion f(x) = exp10(x)
 

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = abs(x)  |  Funktion f(x) = sqrt(x)

    

Grafische Darstellung  |  Funktion f(x) = sqr(x)  |  Funktion f(x) = int(x)
  

Screenshots von Wertetabellen

 

    
 

Eigenschaften trigonometrischer Funktionen - Funktionseigenschaften - Übersicht

 

In den nachfolgend gezeigten Tabellen sind wesentliche Eigenschaften wichtiger trigonometrischer Funktionen aufgeführt.

Als Arkusfunktionen werden Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen bezeichnet. Diese sind auf bestimmte Intervalle beschränkt. Aereafunktionen sind streng monoton wachsende und umkehrbare Funktionen. Sie sind Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Hyperbelfunktionen sind nicht umkehrbar. Sie lassen sich unter Verwendung der Exponentialfunktionen e^x und e^-x beschreiben.
 
Eigenschaften von Sinusfunktionen und Cosinusfunktionen:
  

	y = sin(x)	y = cos(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Periode	2π	2π
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Relative Maxima	xk = π/2 + k·2π	xk = k·2π
Relative Minima	xk = 3π/2 + k·2π	xk = π + k·2π

 

Eigenschaften von Tangensfunktionen und Cotangensfunktionen:
 

	y = tan(x)	y = cot(x)
Definitionsbereich	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = π/2 + k·π	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = k·π
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Periode	π	π
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Pole	xk = π/2 + k·π	xk = k·π
Vertikale Asymptoten	x = π/2 + k·π	x = k·π

 

Eigenschaften von Arkussinusfunktionen und Arkuscosinusfunktionen:
 

	y = arcsin(x)	y = arccos(x)
Definitionsbereich	-1 ≤ x ≤ 1	-1 ≤ x ≤ 1
Wertebereich / Wertemenge	-π/2 ≤ y ≤ π/2	0 ≤ y ≤ π
Periode	π	π
Symmetrie	ungerade	-
Nullstellen	x1 = 0	x1 = 1
Monotonie	streng monoton wachsend	streng monoton fallend

Eigenschaften von Arkustangensfunktionen und Arkuscotangensfunktionen:
 

	y = arctan(x)	y = arccot(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-π/2 ≤ y ≤ π/2	0 ≤ y ≤ π
Symmetrie	ungerade	-
Asymptoten	y = ± π	y = 0; y = π
Monotonie	streng monoton wachsend	streng monoton fallend

Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen sinh(x) und cosh(x):
 

	y = sinh(x)	y = cosh(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	1 ≤ y < ∞
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	x1 = 0	-
Extremwerte	-	x1 = 0 (Minimum)
Monotonie	streng monoton wachsend	-

Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen tanh(x) und coth(x):

 

	y = tanh(x)	y = coth(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	|x| > 0
Wertebereich / Wertemenge	-1 < y < 1	|y| > 1
Symmetrie	ungerade	ungerade
Pole	-	x1 = 0
Asymptoten	y = ±1	x = 0 ; y = ±1
Monotonie	streng monoton wachsend	-

Eigenschaften der Areafunktionen arsinh(x) und arcosh(x):
 

	y = arsinh(x)	y = arcosh(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	x ≥ 1
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	y ≥ 0
Symmetrie	ungerade	-
Nullstellen	x1 = 0	x1 = 1
Monotonie	streng monoton wachsend	streng monoton wachsend

Eigenschaften der Areafunktionen artanh(x) und arcoth(x):
 

	y = artanh(x)	y = arcoth(x)
Definitionsbereich	-1 < x < 1	|x| ≥ 1
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	|y| ≥ 0
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	x1/2 = ±1	-
Monotonie	streng monoton wachsend	-
Asymptoten	x = ±1	x = ±1 ; y = 0

 

    

Beziehungen zwischen Arkusfunktionen

 

Im Weiteren sind einige wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen aufgeführt.

 
arctan x + arccos x = π/2
arcsin x = arctan (x/√1 - x²)
arccos x = arccot (x/√1 - x²)
arctan x + arccot x = π/2
arctan x = arcsin (x/√1 + x²)
arccot x = arccos (x/√1 + x²)
arccot x + arctan (1/x) für x > 0
arccot x + arctan (1/x) + π für x < 0

sin (arccos x) = √1 - x²
cos (arcsin x) = √1 - x²
tan (arcsin x) = x/√1 - x²
sin (arctan x) = x/√1 + x²
cos(arctan x) = x/√1 + x²
tan (arccos x) = √1 - x²/x
 
arcsin (-x) = -arcsin (x)
arctan (-x) = -arctan (x)
arccos (-x) = π - arccos (x)
arccot (-x) = π - arccot (x)

arccot x = π/2 - arctan x
  

Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus aufgeführt.

 

	sinh x	cosh x
sinh x	-	± √cosh² x - 1
cosh x	√sinh² x + 1	-
tanh x	sinh(x)/√sinh² x + 1	± √cosh² x - 1/cosh(x)
coth x	√sinh² x + 1/sinh(x)	± cosh(x)/√cosh² x - 1

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus aufgeführt.

 

	tanh x	coth x
sinh x	tanh(x)/√1- tanh² x	± 1/√coth² x - 1
cosh x	1/√1- tanh² x	coth(x)/√coth² x -1
tanh x	-	1/coth(x)
coth x	1/tanh(x)	-

  

Zusammenhänge zwischen Hyperbelfunktionen

 

Im Weiteren sind einige elemantare Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen aufgeführt.

 
cosh² x - sinh² x = 1
tanh x = sinh(x) / cosh(x)
coth x = cosh(x) / sinh(x) = 1/tanh(x)
    

Hyperbelfunktionen - Definition - Additionstheoreme - Doppelte Winkel - Potenzen - Summen - Differenzen - Produkte - Formeln

 
Definition von Hyperbelfunktionen:

sinh(x) = (e^x - e^-x)/2
cosh(x) = (e^x + e^-x)/2
tanh(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x)
coth(x) = (e^x + e^-x)/(e^x - e^-x)

Additionstheoreme hyperbolischer Funktionen:

sinh(x₁ ± x₂) = sinh x₁· cosh x₂ ± cosh x₁· sinh x₂
cosh(x₁ ± x₂) = cosh x₁· cosh x₂ ± sinh x₁· sinh x₂
tanh(x₁ ± x₂) =  (tanh x₁ ± tanh x₂)/(1 ± tanh x₁ · tanh x₂)
coth(x₁ ± x₂) =  (1 ± coth x₁ · coth x₂)/(coth x₁ ± coth x₂)
 

Formeln für doppelte Argumente von hyperbolischen Funktionen:

 
sinh(2x) = 2 · sinh(x) · cosh(x)
sinh(2x) = cosh²(x) + sinh²(x) = 2 · cosh²(x) - 1
tanh(2x) = 2 · tanh(x) / (1 + tanh²(x))

 

Formeln für dreifache Argumente von hyperbolischen Funktionen:

 
sinh(2x) = 3 · sinh(x) + 4 · sinh³(x)
cosh(3x) = 4 · cosh³(x) - 3 · cosh(x)
tanh(3x) = ( 3 · tanh(x) + 3 · tanh³(x) ) / ( 1+ 3 · tanh²(x) )

Formeln für Potenzen von hyperbolischen Funktionen:

sinh²(x) = 1/2 [cosh(2x) - 1]
sinh³(x) = 1/4 [sinh(3x) - 3 · sinh(x)]
sinh⁴(x) = 1/8 [cosh(4x) - 4 · cosh(2x) +3]

cosh²(x) = 1/2 [cosh(2x) + 1]
cosh³(x) = 1/4 [cosh(3x) + 3 · cosh(x)]
cosh⁴(x) = 1/8 [cosh(4x) + 4 · cosh(2x) +3]

Formeln für Summen und Differenzen von hyperbolischen Funktionen:

sinh(x₁) + sinh(x₂) = 2 · sinh((x₁ + x₂)/2) · cosh((x₁ - x₂)/2)
sinh(x₁) - sinh(x₂) = 2 · cos((x₁ + x₂)/2) · sinh((x₁ - x₂)/2)
cosh(x₁) + cosh(x₂) = 2 · cosh((x₁ + x₂)/2) · cosh((x₁ - x₂)/2)
cosh(x₁) - cosh(x₂) = 2 · sinh((x₁ + x₂)/2) · sinh((x₁ - x₂)/2)
tanh(x₁) ± tanh(x₂) = sinh(x₁ ± x₂) / (cosh(x₁) · cosh(x₂))
 
Formeln für Produkte von hyperbolischen Funktionen:

sinh(x₁) · sinh(x₂) = 1/2 · [cosh(x₁ + x₂) - cosh(x₁ - x₂)]
cosh(x₁) · cosh(x₂) = 1/2 · [cosh(x₁ + x₂) + cosh(x₁ - x₂)]
sinh(x₁) · cosh(x₂) = 1/2 · [sinh(x₁ + x₂) + sinh(x₁ - x₂)]
tanh(x₁) · tanh(x₂) = (tanh(x₁) + tanh(x₂)) / (coth(x₁) + coth(x₂))
 
Satz von Moivre:

(cosh(x) ± sinh(x))ⁿ = cosh(nx) ± sinh(nx) mit n = 2, 3, 4 ...
 
 

Umrechnungen zwischen den Areafunktionen

 

 
In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Areafunktionen Area sinus hyperbolicus und Area cosinus hyperbolicus aufgeführt.

 

	arsinh x	arcosh x
arsinh x	-	± arcosh√x² + 1
arcosh x	arsinh√x² - 1	-
artanh x	arsinh(x/√1 - x²)	± arcosh(1/√1 - x²)
arcoth x	arsinh(1/√x² - 1)	± arcosh(x/√x² - 1)

 

In der nachfolgend aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den Areafunktionen Area tangens hyperbolicus und Area cotangens hyperbolicus aufgeführt.

 

	artanh x	arcoth x
arsinh x	artanh(x/√x² + 1)	arcoth(√x² + 1/x)
arcosh x	artanh(√x² - 1/x)	arcoth(x/√x² - 1)
artanh x	-	arcoth(1/x)
arcoth x	artanh(1/x)	-

 
 

Areafunktionen - Definition - Additionstheoreme

 
Definition von Areafunktionen:

arsinh(x) = ln (x + √x² + 1)
arcosh(x) = ln (x + √x² - 1)
artanh(x) = 1/2 · ln ((1 + x)/(1 - x))
arcoth(x) = 1/2 · ln ((x + 1)/(x - 1))
 
Additionstheoreme von Areafunktionen:

arsinh(x₁) ± arsinh(x₂) = arsinh [x₁√1 + x₂² ± x₂√1 + x₁²]
arcosh(x₁) ± arcosh(x₂) = arcosh [x₁x₂ ± √(x₁² - 1)(x₂² - 1)]

artanh(x₁) ± artanh(x₂) = artanh ((x₁ ± x₂)/(1 ± x₁x₂))
arcoth(x₁) ± arcoth(x₂) = arcoth ((1 ± x₁x₂)/(x₁ ± x₂))
 
 

Definition und Eigenschaften der Exponentialfunktionen

 
Nachfolgend aufgeführt sind einige wichtige Eigenschaften der Exponentialfunktionen:
 

1. e-Funktion

y = e^x

Defintionsbereich:  -_∞ < x < _∞
Wertebereich: 0 < y < _∞
e: Eulersche Zahl
 
2. Allgemeine Exponentialfunktion

y = a^x

Basis: a > 0 ; a ≠ 1
Defintionsbereich: -_∞ < x < _∞
Wertebereich: 0 < y < _∞
Asymptote: y = 0

Eine Funktion y = a^x ist ebenfalls als e-Funktion darstellbar:

y = a^x = e^ln(a)x
 

Definition und Eigenschaften der Logarithmusfunktionen

 
Im Weiteren aufgeführt sind einige wichtige Eigenschaften der Logarithmusfunktionen:
 

1. Allgemeine Logarithmusfunktion

y = log_ax

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Asymptote: x = 0
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

Monotonie:
0 < a < 1: streng monoton fallend
a > 1: streng monoton wachsend

2. Natürliche Logarithmusfunktion

y = ln x

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

3. Zehnerlogarithmusfunktion

y = log₁₀x = lg x

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

4. Zweierlogarithmusfunktion

y = log₂x = ld x

Defintionsbereich: x > 0
Wertebereich: -_∞ < y < _∞
Monotonie: streng monoton wachsend
Nullstelle (Schnittpunkt mit x-Achse): N (1,0)

 

Spezielle Funktionen

 
Im Folgenden finden Sie die Liste spezieller mathematischer Funktionen, die verwendet werden können.
 
Bessel-Funktionen und verwandte Funktionen
 

 
 
Einige dieser zuvor aufgeführten Funktionen benötigen mehrere Parameter bzw. Variablen. Einzelne Parameter/Variablen sind durch Semikola voneinander zu trennen. Im Unterprogramm Mathematische Funktionen I können Sie sich durch Aufrufe von Beispielen aus den entsprechenden Menüpunkten ein Bild darüber verschaffen, welche Syntaxregeln zu beachten sind und sich die erforderliche Parameterübergabe zur Verwendung einzelner Sonderfunktionen verdeutlichen. Es gilt auch die Art der zu übergebenden Werte der entsprechenden Funktionen zu beachten. Benötigt eine Funktion beispielsweise für einen Parameter n einen ganzzahligen Wert und es wird hierfür eine Gleitkommazahl eingegeben, so gibt das Programm lediglich die Meldung aus, dass der Funktionsterm nicht korrekt definiert wurde und keinen detaillierten, auf diesen Fehler aufmerksam machenden, Hinweis. Selbstverständlich kann für ganzzahlige Parameterwerte auch kein Parameter P übergeben werden, da dieser in der Regel Gleitkommawerte annimmt.

Beispiel:

Es gilt, eine Funktion des Typs EN(2;X) (Exponential-Integral) darstellen zu lassen. Wird der Term EN(2,7;X) bzw. EN(2.7;X) eingegeben, so gibt das Programm eine Fehlermeldung aus, da Parameter N ein ganzzahliger Wert sein muss. Wird der Term EN(3,X) definiert, so erfolgt ebenfalls eine Fehlermeldung, da der Separator Komma, anstelle des erforderlichen Semikolons verwendet wurde. Eine korrekte Definition würde z.B. lauten: EN(3;X).

Beschreibung spezieller Funktionen

 

 

 
Bessel-Funktionen und verwandte Funktionen

 

 
Airy-Funktionen
 
Airy-Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Differenzialgleichung
^.

Sie lauten:






Ai'(x): 1. Ableitung der Airy-Funktion Ai(x)
Bi'(x): 1. Ableitung der Airy-Funktion Bi(x)
 
Für die skalierten Airy-Funktionen Ais(x) und Bis(x) gilt:
 
Ai(x) wenn x £ 0
Ai(x)·exp(-2/3·x^1.5) wenn x > 0
 
Bi(x) wenn x £ 0
Bi(x)·exp(-2/3·x^1.5) wenn x > 0
 
Syntax:

Nicht skaliert:
Ai(x): AIRYAI(x)
Ai'(x): AIRYAIP(x)
Bi(x): AIRYBI(x)
Bi'(x): AIRYBIP(x)
Gi(x): AIRYGI(x)
Hi(x): AIRYHI(x)

Skaliert:
Ais(x): AIRYAIS(x)
Bis(x): AIRYBIS(x)
 
Definitionsbeispiele:

Nicht skaliert:
AIRYAI(X)
AIRYAIP(X)
AIRYBI(X)
AIRYBIP(X)
AIRYGI(X)
AIRYHI(X)

Skaliert:
AIRYAIS(X)
AIRYBIS(X)
 

 

 

 

 

 

 

 

 
Modifizierte Bessel-Funktion 1. Gattung, n-ter Ordnung Bessel In(n,x)
 

 
Syntax:
BESSELIN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
BESSELIN(2;X)
2*BESSELIN(1;X/2)-1

 

 

 
Bessel-Funktion 1. Gattung, n-ter Ordnung Jn(n,x)
 

 
Syntax:
BESSELJN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
BESSELJN(1;X)
3*X-BESSELJN(3;X)/4
 

 

 
Modifizierte Bessel-Funktion 2. Gattung, n-ter Ordnung kn(n,x)
 

 
Syntax:
BESSELKN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
BESSELKN(1;X)
3*X-BESSELKN(3;X)/4

 

 

 
Bessel-Funktion 2. Gattung, n-ter Ordnung Yn(n,x)
 

 
Syntax:
BESSELYN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
BESSELYN(1;X)
3*X+BESSELYN(3;X)/4
 

 

 
Kelvin-Funktionen
 




 
y: Digamma-Funktion
 
Syntax:
Ber(x): KELVINBER(x)
Bei(x): KELVINBEI(x)
Ker(x): KELVINKER(x)
Kei(x): KELVINKEI(x)
 
Definitionsbeispiele:
KELVINBER(X)
KELVINBEI(X)
KELVINKER(X)
KELVINKEI(X)
 

 

 

 

 

 
Modifizierte sphärische Bessel-Funktion 1. und 2. Gattung, n-ter Ordnung In(n,x)
 

 
Syntax:
SPHBESSELIN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
SPHBESSELIN(1;X)
4*SPHBESSELIN(3;X)/4

 

 

 
Sphärische Bessel-Funktion 1. Gattung, n-ter Ordnung Jn(n,x)
 

 
Syntax:
SPHBESSELJN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
SPHBESSELJN(1;X)
2*X-SPHBESSELJN(3;X)/4

 

 

 
Modifizierte sphärische Bessel-Funktion 3. Gattung, n-ter Ordnung Kn(n,x)
 
bei n = 0:

 
bei n > 0:

 
Syntax:
SPHBESSELKN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
SPHBESSELKN(1;X)
3*X-SPHBESSELKN(3;X)/4

 

 

 
Sphärische Bessel-Funktion 2. Gattung, n-ter Ordnung Yn(n,x)
 

 
Syntax:
SPHBESSELYN(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
SPHBESSELYN(1;X)
3-SPHBESSELYN(3;X)/4

 

 

Struve-Funktionen

Struve-Funktionen sind Lösungen der nicht homogenen Bessel-Differenzialgleichung:



Struve-Funktion



Modifizierte Struve-Funktion



 
Syntax:
Struve-H-Funktion: STRUVEH(n;x)
Struve-L-Funktion: STRUVEL(n;x)
mit Ordnung n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
STRUVEH(3;X)
STRUVEL(2;X)
 

 

 

 
Elliptische Integrale - Elliptische Funktionen und Theta-Funktionen

 

 
Allgemeines Bulirsch'sches komplettes elliptisches Integral 1. Gattung
 


Syntax:
CEL(k_c;p;a;b)
 
Definitionsbeispiele:
CEL(X;2;1;1)
2*CEL(X;2;1;1)-3
 

 

 
Bulirsch'sches komplettes elliptisches Integral 1. Gattung
 

 
Syntax:
CEL1(k_c)
 
Definitionsbeispiele:
CEL1(X)
2*CEL1(X-2)

 

 

 
Bulirsch'sches komplettes elliptisches Integral 2. Gattung
 

 
Syntax:
CEL2(k_c;a;b)
 
Definitionsbeispiele:
CEL2(X;3/4;1)
3*CEL2(X;2;2)/3

 

 

 
Bulirsch'sches unvollständiges elliptisches Integral 1. Gattung
 

 
Syntax:
EL1(x;k_c)
 
Definitionsbeispiele:
EL1(X;3)
2-EL1(X+2;2)

 

 

 
Bulirsch'sches unvollständiges elliptisches Integral 2. Gattung
 


Syntax:
EL2(x;k_c;a;b)
 
Definitionsbeispiele:
EL2(X;2;2;1)
2-3*EL2(X;2;3;3)

 

  

Bulirsch'sches unvollständiges elliptisches Integral 3. Gattung
 

 
Syntax:
EL3(x;k_c;p)
 
Definitionsbeispiele:
EL3(X;2;2)
2*EL3(X;2;4)

 

   

 
Legendre'sches elliptisches Integral F
 

 
Syntax:
ELLINT1(f;k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLINT1(X;2)
2*ELLINT1(X;3)-1

 

  

 
Legendre'sches elliptisches Integral E
 

 
Syntax:
ELLINT2(f;k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLINT2(X;2)
2*ELLINT2(X;3)-1

 

  

 
Legendre'sches elliptisches Integral PI
 


Syntax:
ELLINT3(f;n;k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLINT3(X;2;1)
2*ELLINT3(X/2;2;1)-2

 

   

 
Carlson's degeneriertes ellipt. Integral RC


 
Syntax:
ELLRC(x;y)
 
Definitionsbeispiele:
ELLRC(X;Y)
3+ELLRC(X;2)

 

 
Carlson's elliptisches Integral 1. Gattung RF


 
Syntax:
ELLRF(x;y;z)
 
Definitionsbeispiele:
ELLRF(X;Y;Z)
ELLRF(X;2;4)

 

 
Carlson's elliptisches Integral 2. Gattung RD
 

 
Syntax:
ELLRD(x;y;z)
 
Definitionsbeispiele:
ELLRD(X;Y;Z)
ELLRD(X;Y;4)
ELLRD(X;3;5)

 

 
Carlson's elliptisches Integral 3. Gattung RJ



Syntax:
ELLRJ(x;y;z;p)
 
Definitionsbeispiele:
ELLRJ(X;Y;Z;3)
ELLRJ(X;Y;1;3)
ELLRJ(X;2;4;3)

 

 
Unvollständiges elliptisches Integral 1. Gattung
 


Syntax:
ELLIPTICF(z;k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICF(1/2;X)
-3*ELLIPTICF(1/2;X)

 

 
Unvollständiges elliptisches Integral 2. Gattung
 

 
Syntax:
ELLIPTICE(z;k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICE(1/2;X)
3*ELLIPTICE(1/4;X-2)

 

 

 
Vollständiges elliptisches Integral 3. Gattung
 

Syntax:
ELLIPTICPIC(u;k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICPIC(1/2;X)
-3*ELLIPTICPIC(1/5;X)

 

 

 
Komplementäres vollständiges elliptisches Integral 3. Gattung
 


Syntax:
ELLIPTICCPI(u;kc)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICCPI(1/2;X)
-4+ELLIPTICCPI(1/3;X-2)

 

 
Komplettes elliptisches Integral 1. Art
 

 
Syntax:
ELLIPTICK(k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICK(X)
2*ELLIPTICK(X/4)-2

 

 

 
Komplementäres komplettes elliptisches Integral 1. Art


 
Syntax:
ELLIPTICCK(k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICCK(X)
2*ELLIPTICCK(X/4)-2

 

 

 
Komplettes elliptisches Integral 2. Art
 

 
Syntax:
ELLIPTICEC(k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICEC(X)
3-ELLIPTICEC(X/4)

 

  

 
Komplementäres komplettes elliptisches Integral 2. Art
 

 
Syntax:
ELLIPTICCE(k)
 
Definitionsbeispiele:
ELLIPTICCE(X)
2*ELLIPTICCE(X/4)-2

 

 

 
Heuman's Lambda-Funktion
 

mit k' = 1-k
 
K(k'): vollständiges elliptisches Integral 1. Gattung
F(j,k'): unvollständiges elliptisches Integral 1. Gattung
Z: Jacobi Zeta-Funktion
j: Jacobi-Amplitude
k: Parameter
 
Syntax:
HEUMANLAMBDA(j;k)
 
Definitionsbeispiele:
HEUMANLAMBDA(0,3;X)
2*HEUMANLAMBDA(1/6;X)

 

 

 
Jacobi-Amplitude am(x,k)
 
Syntax:
JACOBIAM(x;k)
 
Definitionsbeispiele:
JACOBIAM(X;2)
2*JACOBIAM(X/2;2)+3

 

 

 
Jacobische elliptische Funktion cosinus amplitudinis cn(x,m_c)
Jacobische elliptische Funktion delta amplitudinis dn(x,m_c)
Jacobische elliptische Funktion sinus amplitudinis sn(x,m_c)
 
Syntax:
JACOBICN(x;m_c)
JACOBIDN(x;m_c)
JACOBISN(x;m_c)
 
Definitionsbeispiele:
JACOBICN(X;0,2)
JACOBIDN(X;0,5)
JACOBISN(X;1,2)

 

 

 

 

 
Inverse Jacobische elliptische Funktion arcuscosinus amplitudinis arccn(x,m_c)
Inverse Jacobische elliptische Funktion arcusdelta amplitudinis arcdn(x,m_c)
Inverse Jacobische elliptische Funktion arcussinus amplitudinis arcsn(x,m_c)
 
Syntax:
JACOBIARCCN(x;m_c)
JACOBIARCDN(x;m_c)
JACOBIARCSN(x;m_c)
 
Definitionsbeispiele:
JACOBIARCCN(X;0,5)
JACOBIARCSN(X;0,2)
JACOBIARCDN(X;1,2)

 

 

 

 

 
Jacobische Theta-Funktionen 1-4
 
n = 1:

n = 2:

n = 3:

n = 4:


Syntax:
JACOBITHETA(n;x;q)
n = 1...4
 
Definitionsbeispiele:
JACOBITHETA(2;X;1/2)
4*JACOBITHETA(3;X;2)-1

 

 

 
Jacobische Zeta-Funktion
 


Syntax:
JACOBIZETA(j;k)
 
Definitionsbeispiele:
JACOBIZETA(2;X)
3-JACOBIZETA(3;X)

 

 
Cosinus lemnicatus
 

 
mit

 
Syntax:
COSLEMN(r)
 
Definitionsbeispiele:
COSLEMN(X)
3*COSLEMN(2*X+1)

 

 

 
Sinus lemnicatus
 

 
mit

 
Syntax:
SINLEMN(r)
 
Definitionsbeispiele:
SINLEMN(X)
2+SINLEMN(X/2)

 

 

 
Error-Funktionen und verwandte Funktionen

 

 
Dawson-Integral
 


Syntax:
DAWSON(x)
 
Definitionsbeispiele:
DAWSON(X)
4*DAWSON(2*X/5)

 

 

 
Verallgemeinertes Dawson-Integral
 

 
Syntax:
DAWSON2(p;x)
 
Definitionsbeispiele:
DAWSON2(3;X)
3*DAWSON2(4;X)-1 

 

 
Error-Funktion
 


Syntax:
ERF(x)
 
Definitionsbeispiele:
ERF(X)
3*ERF(2*X/5)-1

 

 

 
Komplementäre Error-Funktion
 


Syntax:
ERFC(x)
 
Definitionsbeispiele:
ERFC(X)
3*ERFC(2*X/5)-1

 

 

 
Inverse der Error-Funktion
 
Die Inverse der Error-Funktion ErfInv ist definiert mit:
 

 
Es gilt:
 

 
Für die Error-Funktion Erf gilt:


Syntax:
ERFINV(x)
 
Definitionsbeispiele:
ERFINV(X)
ERFINV(2+2*X)-1

 

 

 
Inverse der komplementären Error-Funktion
 
Die Inverse der komplementären Error-Funktion ErfcInv ist definiert mit:
 

 
Es gilt:
 

 
Für die komplementäre Error-Funktion Erfc gilt:


Syntax:
ERFCINV(x)
 
Definitionsbeispiele:
ERFCINV(X)
ERFCINV(2+2*X)-1

 

 

 
Imaginäre Error-Funktion
 


Syntax:
ERFI(x)
 
Definitionsbeispiele:
ERFI(X)
2+ERFI(2*X/3)-1

 

 

 
Fresnel-Cosinus


Syntax:
FRESNELCOS(x)
 
Definitionsbeispiele:
FRESNELCOS(X)
1-FRESNELCOS(X/2)

 

 

 
Fresnel-Sinus
 


Syntax:
FRESNELSIN(x)
 
Definitionsbeispiele:
FRESNELSIN(X)
3*FRESNELSIN(X/3-4)

 

 

 
Goodwin-Staton-Integral
 


Syntax:
GSI(x)
 
Definitionsbeispiele:
GSI(X)
GSI(2+X)/3

 

 

 
Exponential-Integrale und verwandte Integrale

 

 
Cosinus-Hyperbolicus-Integral Chi
 

mit

 
Syntax:
CHI(x)
 
Definitionsbeispiele:
CHI(X)
CHI(X+3)+2

 

 
Cosinus-Integral Ci
 


Syntax:
CI(x)
 
Definitionsbeispiele:
CI(X)
CI(X/2+3)-2

 

 

 
Vollständiges Cosinus-Integral Cin
 


Syntax:
CIN(x)
 
Definitionsbeispiele:
CIN(X)
1-CIN(X/2-2)

 

 

 
Vollständiges Cosinus-Hyperbolicus-Integral Cinh
 


Syntax:
CINH(x)
 
Definitionsbeispiele:
CINH(X)
4*CINH(3*X+1)

 

 

 
Exponential-Integral Ei
 


Syntax:
EI(x)
 
Definitionsbeispiele:
EI(X)
2*EI(X+1)-X

 

 

 
Vollständiges Exponential-Integral Ein
 


Syntax:
EIN(x)
 
Definitionsbeispiele:
EIN(X)
EIN(X-1)/5

 

 

 
Inverse des Exponential-Integrals Ei
 
Das inverse Exponential-Integral EInv ist definiert mit:
 

 
Es gilt:
 

 
Für das Exponential-Integral Ei gilt:

 
Syntax:
EINV(x)
 
Definitionsbeispiele:
EINV(X)
3+EINV(2*X-3)

 

 

 
Exponential-Integral En
 


Syntax:
EN(n;x)
mit n ³ 0
 
Definitionsbeispiele:
EN(2;X)
3*EN(2;X/4)

 

 
Logarithmisches Integral Li
 

 
Syntax:
LI(x)
 
Definitionsbeispiele:
LI(X)
LI(2*X)/2

 

 

 
Inverse des Logarithmischen Integrals Li
 
Das inverse logarithmische Integral LiInv ist definiert mit:
 

 
Es gilt:
 

 
Für das logarithmische Integral Li gilt:
 

 
Syntax:
LIINV(x)
 
Definitionsbeispiele:
LIINV(X)
LIINV(X/2-4)-1

 

 

 
Sinus-Hyperbolicus-Integral Shi
 


Syntax:
SHI(X)
 
Definitionsbeispiele:
SHI(X)
SHI(X-1)/3

 

 

 
Sinus-Integral Si
 


Syntax:
SI(x)
 
Definitionsbeispiele:
SI(X)
SI(X+1)/2

 

 

 
Gamma-Funktion und verwandte Funktionen

 

 
Bateman-Funktion
 

 
mit:
 

 
für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
BATEMANG(x)
 
Definitionsbeispiele:
BATEMANG(X)
2-BATEMANG(X+2)

 

 

 
Beta-Funktion
 


Syntax:
BETA(x;y)
 
Definitionsbeispiele:
BETA(X;3)
2+BETA(X;4)

 

 

 
Gamma-Funktion
 


Syntax:
GAMMA(x)
 
Definitionsbeispiele:
GAMMA(X)
3*GAMMA(X/2-2)

 

 

 
Verhältnis zweier Gamma-Funktionen (Gammaratio)
 

 
Syntax:
GAMMARATIO(x;y)
 
Definitionsbeispiele:
GAMMARATIO(X;2)
3*GAMMARATIO(1/2;X-2)

 

 

 
Temmes regulierte Gamma-Funktion (Gammastar)
 
 

 
Syntax:
GAMMASTAR(x)
 
Definitionsbeispiele:
GAMMASTAR(X)
2*GAMMASTAR(-X/3+1)

 

 

 
Normalisierte unvollständige Beta-Funktion
 

 
mit
 


 
Syntax:
IBETA(a;b;x)
mit a > 0 und b > 0
 
Definitionsbeispiele:
IBETA(9;1;X)
4*IBETA(5;4/6;X)

 

 

 
Inverse der normalisierten unvollständigen Beta-Funktion
 
Syntax:
IBETAINV(a;b;y)
mit a > 0 und b > 0
 
Definitionsbeispiele:
IBETAINV(4;3;X)
IBETAINV(2;4/6;X-4)

 

 

 
igamma-Funktion
 
Nichtnormalisierte unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze
 


Syntax:
IGAMMA(s;x)
 
Definitionsbeispiele:
IGAMMA(2;X)
2*IGAMMA(3;X)-3

 

 

 
igammal-Funktion
 
Nichtnormalisierte unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze



Syntax:
IGAMMAL(s;x)
 
Definitionsbeispiele:
IGAMMAL(2;X)
3-IGAMMAL(4;X)+4

 

 

 
igammap-Funktion
 
Normalisierte unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze
 


Syntax:
IGAMMAP(s;x)
mit s > 0 und x > 0
 
Definitionsbeispiele:
IGAMMAP(2;X)
4*IGAMMAP(3;X)-1

 

 

 
igammaq-Funktion
 
Normalisierte unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze
 


Syntax:
IGAMMAQ(s;x)
mit s > 0 und x > 0
 
Definitionsbeispiele:
IGAMMAQ(2;X)
4*IGAMMAQ(3;X)-1

 

 

 
Inverse der unvollständigen Gamma-Funktion
 
Syntax:
IGAMMAPINV(s;p)
 
Definitionsbeispiele:
IGAMMAPINV(2;X)
2*IGAMMAPINV(3;X-2)

 

 

 
Inverse der komplementären unvollständigen Gamma-Funktion
 
Syntax:
IGAMMAQINV(s;p)
 
Definitionsbeispiele:
IGAMMAQINV(3;X)
-IGAMMAQINV(4;X+2)

 

 

 
Inverse der Gamma-Funktion
 
Syntax:
INVGAMMA(y)
 
Definitionsbeispiele:
INVGAMMA(X)
2*INVGAMMA(X-1)

 

 

 
Logarithmus der Beta-Funktion
 

 
mit

 
für x,y ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
LNBETA(x;y)
 
Definitionsbeispiele:
LNBETA(2;X)
-3*LNBETA(3;X)+2

 

 

 
Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion
 

für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
LNGAMMA(x)
 
Definitionsbeispiele:
LNGAMMA(X)
LNGAMMA(X^2/3)-X

 

 

 
Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion (Sonderform)
 

für x+1 ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
LNGAMMAP(x)
 
Definitionsbeispiele:
LNGAMMAP(X)
2*LNGAMMAP(1/3-X)+2

 

 

 
Pentagamma-Funktion
 

 
für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
PENTAGAMMA(x)
 
Definitionsbeispiele:
PENTAGAMMA(X)
2*PENTAGAMMA(-X/3+2)

 

 

 
Pochhammer-Funktion
 

 
Syntax:
POCHHAMMER(a;x)
 
Definitionsbeispiele:
POCHHAMMER(2;X)
2*POCHHAMMER(3;X)-1

 

 

 
Polygamma-Funktion
 

 
für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
POLYGAMMA(n;x)
mit n > 0
 
Definitionsbeispiele:
POLYGAMMA(2;X)
-2*POLYGAMMA(3;X/2)-1
 

 

 
Psi-(Digamma)-Funktion
 

 
für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
PSI(x)
 
Definitionsbeispiele:
PSI(X)
2*PSI(-X+2)

 

 

 
Inverse der Psi-(Digamma)-Funktion
 
Inverse der PSI-(Digamma)-Funktion: PSI(x) = y
 
Syntax:
PSIINV(y)
 
Definitionsbeispiele:
PSIINV(X)
2*PSIINV(-X+2)

 

 

 
Reziproke Gamma-Funktion
 

 
Syntax:
RGAMMA(x)
 
Definitionsbeispiele:
RGAMMA(X)
3*RGAMMA(X/4-1)+2

 

 
Tetragamma-Funktion
 

 
für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
TETRAGAMMA(x)
 
Definitionsbeispiele:
TETRAGAMMA(X)
2*TETRAGAMMA(2-X)

 

 
Trigamma-Funktion
 

 
für x ¹ 0,-1,-2,-3....
 
Syntax:
TRIGAMMA(x)
 
Definitionsbeispiele:
TRIGAMMA(X)
2*TRIGAMMA(-X+2)

 

 
Zeta-Funktionen und polylogarithmische Funktionen

 

 
Clausen-Funktion



Syntax:
CL2(x)
 
Definitionsbeispiele:
CL2(X)
CL2(X/2+2)-1

 

 
Dilogarithmische Funktion



Syntax:
DILOG(x)
 
Definitionsbeispiele:
DILOG(X)
-DILOG(-X+1)

 

 
 DirichletBeta
 

 
Syntax:
DIRICHLETBETA(s)
 
Definitionsbeispiele:
DIRICHLETBETA(X)
2-DIRICHLETBETA(X+2)

 

 

 
 DirichletLambda
 

 
mit

 
Syntax:
DIRICHLETLAMBDA(s)
 
Definitionsbeispiele:
DIRICHLETLAMBDA(X)
3*DIRICHLETLAMBDA(X-4)

 

 

 
Dirichletsche Eta-Funktion
 

 
Syntax:
ETA(s)
 
Definitionsbeispiele:
ETA(X)
ETA(X-1)/4

 

 

 
Komplette Fermi-Dirac Integrale
 

 
mit
 


Mit Anwendung für:
 
F(-1/2)
F(1/2)
F(3/2)
F(5/2)
 
Syntax:
FERMIDIRACM05(x)
FERMIDIRACP05(x)
FERMIDIRACP15(x)
FERMIDIRACP25(x)
 
Definitionsbeispiele:
FERMIDIRACM05(X)
2*FERMIDIRACM05(3*X)
FERMIDIRACP05(X)
2*FERMIDIRACP05(3*X)
FERMIDIRACP15(X)
2*FERMIDIRACP15(3*X)
FERMIDIRACP25(X)
2*FERMIDIRACP25(3*X)

 

 



 

 

 
Harmonic
 

 
mit
 

 
und

 
Syntax:
HARMONIC(x)
 
Definitionsbeispiele:
HARMONIC(X)
2-HARMONIC(X+1)

 

 

 
HarmonicH
 

 
mit

 
und

 
Syntax:
HARMONICH(x;r)
 
Definitionsbeispiele:
HARMONICH(X;2)
2*HARMONICH(X;3)+2

 

 

 
Legendresche Chi-Funktion



Syntax:
LEGENDRECHI(z;x)
 
Definitionsbeispiele:
LEGENDRECHI(2;X)
2*LEGENDRECHI(3;X)

 

 

 
Lerchsche transzendente Phi-Funktion
 

 
Syntax:
LERCHPHI(l;s;a)
 
Definitionsbeispiele:
LERCHPHI(X;1;2)
3*LERCHPHI(X;1;2)-1

 

 

 
Lobachevsky-Funktion L(x)
 

 
Syntax:
LOBACHEVSKYC(x)
 
Definitionsbeispiele:
LOBACHEVSKYC(X)
2*LOBACHEVSKYC(X-2)

 

 

 
Lobachevsky-Funktion Lambda(x)
 

 
Syntax:
LOBACHEVSKYS(x)
 
Definitionsbeispiele:
LOBACHEVSKYS(X)
2+3*LOBACHEVSKYS(X)

 

 

 
Ganzzahliger Polylogarithmus
 

 
Syntax:
POLYLOG(n;x)
 
Definitionsbeispiele:
POLYLOG(2;X)
2*POLYLOG(5;X)-3

 

 

 
Reeller Polylogarithmus
 

 
Syntax:
POLYLOGR(s;x)
 
Definitionsbeispiele:
POLYLOGR(3;X)
POLYLOGR(4;X/2)+2

 

 

 
Primzeta-Funktion
 

 
Syntax:
PRIMEZETA(s)
 
Definitionsbeispiele:
PRIMEZETA(X)
2-PRIMEZETA(X)


 

 

 
Inverses Tangens-Integral



Syntax:
TI2(x)
 
Definitionsbeispiele:
TI2(X)
3*TI2(X-1)

 

 

 
Riemannsche Zeta-Funktion



Syntax:
ZETA(s)
 
Definitionsbeispiele:
ZETA(X)
2+ZETA(X-1)

 

 

 
Hurwitzsche Zeta-Funktion
 

 
Syntax:
ZETAH(s;a)
 
Definitionsbeispiele:
ZETAH(2;X)
-ZETAH(3;3*X)/2

 

 
Orthogonale Polynome, Legendre-Polynome und verwandte Funktionen

 

 
Chebyshev-Polynome 1. Art
 
Chebyshev-Lösungen der Differenzialgleichung:

 
Syntax:
CHEBYSHEVT(n;x)
mit n Î {...-3,-2,-1,0,1,3...}
 
Definitionsbeispiele:
CHEBYSHEVT(4;X)
3+2*CHEBYSHEVT(3;X/6)

 

 
Chebyshev-Polynome 2. Art
 
Chebyshev-Polynome sind Lösungen der Differenzialgleichung:

 
Syntax:
CHEBYSHEVU(n;x)
mit n Î {...-3,-2,-1,0,1,3...}
 
Definitionsbeispiele:
CHEBYSHEVU(3;X)
-2*CHEBYSHEVU(3;X/4)+2

 
 

 
Chebyshev-Polynome 3. Art
 
Syntax:
CHEBYSHEVV(n;x)
mit n Î {...-3,-2,-1,0,1,3...}
 
Definitionsbeispiele:
CHEBYSHEVV(3;X)
-2*CHEBYSHEVV(3;X/4)+2

 
 
 

 

Chebyshev-Polynome 4. Art
 
Syntax:
CHEBYSHEVW(n;x)
mit n Î {...-3,-2,-1,0,1,3...}
 
Definitionsbeispiele:
CHEBYSHEVW(3;X)
-2*CHEBYSHEVW(3;X/4)+2
 

 

 
Gegenbauer-Polynome
 
Lösungen der Differentialgleichung:
 

 
Syntax:
GEGENBAUERC(n;a;x)
mit n Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
GEGENBAUERC(3;2;X)
-3*GEGENBAUERC(3;5;X/2)

 

 

 
Hermitesche Polynome
 
Hermitesche Polynome sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
 

 
Hermitesche Polynome:



bzw.


 
Syntax:
HERMITEH(n;x)
mit n Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
HERMITEH(2;X)
2+3*HERMITEH(3;X/2)/2

 

 

 
Hermitesche Polynome (Physiker-Konvention)
 
Hermitesche Polynome sind Lösungen der Hermiteschen Differentialgleichung zweiter Ordnung:
 

 
Hermitesche Polynome (Physiker-Konvention):

 
Syntax:
HERMITEHE(n;x)
mit n Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
HERMITEHE(3;X)
-HERMITEHE(3;X)+1

 

 

 
Laguerre-Polynome
 
Laguerre-Polynome sind Lösungen der Differenzialgleichung:


 
Laguerre-Polynome
 

 
Zugeordnete Laguerre-Polynome


 
Syntax:
Laguerre-Polynome: LAGUERRE(n;a;x)
Zugeordnete Laguerre-Polynome: LAGUERREASS(n;m;x)
mit n Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
LAGUERRE(3;0;X)
-2*LAGUERREASS(2;2;X)

 

 

 

 
Legendre-Polynome
 
Legendre-Polynome 1. Art sind Lösungen der Differenzialgleichung:
 

 
Legendre-Funktionen 2. Art sind Lösungen der Differenzialgleichung:
 

 
Syntax:
Legendre-Polynome 1. Art: LEGENDREP(n;x)
Zugeordnete Legendre-Polynome: LEGENDREPLM(k;m;x)
 
Legendre-Funktionen 2. Art: LEGENDREQ(n;x)
Zugeordnete Legendre-Funktionen: LEGENDREQLM(k;m;x)
 
mit n,m Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
LEGENDREP(3;X)
LEGENDREPLM(8;2;X)
 
LEGENDREQ(2;X)
LEGENDREQLM(4;2;X)

 

 

 

 

 

 
Zernike Polynome
 
Es gilt wenn n-m gerade:
 

 
ansonsten gilt:
 

 
r ³ 0, n  ³ m  ³ 0
 
Syntax:
ZERNIKER(n;m;r)
mit n Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
ZERNIKER(3;1;X)
-ZERNIKER(6;2;X/10)+2

 

  

 
Zylinderfunktionen und verwandte Funktionen

 

 
CylinderD, CylinderU, CylinderV
 
Lösungen der Differentialgleichung
 

 
Syntax:
CYLINDERD(v;x)
CYLINDERU(a;x)
CYLINDERV(a;x)
 
Definitionsbeispiele:
CYLINDERD(2;X)
CYLINDERU(3;X)
CYLINDERV(4;X)

 

 

 

 

 
Whittakersche M-Funktion, Whittakersche W-Funktion
 
Die Whittakersche M-Funktion und Whittakersche W-Funktion sind Lösungen der Whittakerschen Gleichung:
 

 
Whittakersche M-Funktion:
 

 
Whittakersche W-Funktion:
 

 
M,U: Kummersche konfluente hypergeometrische Funktionen
 
Syntax:
WHITTAKERM(k;m;z)
WHITTAKERW(k;m;z)
 
Definitionsbeispiele:
WHITTAKERM(2;0,5;X)
WHITTAKERW(2;0,5;X)


 

 

 
Verteilungen

 

 
Beta-Verteilung
 
Dichte:
 
f(a,b,x) = x^a-1(1-x)^b-1/B(a,b)
 
Verteilung:
 
F(a,b,x) = I_x(a,b)
 
mit



 
a,b: Parameter (a > 0, b > 0)
B(a,b): Beta-Funktion
I_x(a,b): regularisierte unvollständige Betafunktion
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: BETAPDF(a;b;x)
Verteilung: BETACDF(a;b;x)
 
Definitionsbeispiele:
BETAPDF(5;1;X)
BETACDF(2;5;X)

 

 
Binomial-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
mit
 



 
n > k
k ³ 0, n ³ 0
0 £  x £  1
 
n: Anzahl Versuche
k: Anzahl Ereignisse
x: Wahrscheinlichkeit
 
Syntax:
Dichte: BINOMIALPMF(n;k;x)
Verteilung: BINOMIALCDF(n;k;x)
 
Definitionsbeispiele:
BINOMIALPMF(8;4;X)
BINOMIALCDF(14;3;X)

 

 
Cauchy-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

 
x₀,g: Parameter (g > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: CAUCHYPDF(x₀;g;x)
Verteilung: CAUCHYCDF(x₀;g;x)
 
Definitionsbeispiele:
CAUCHYPDF(0;1;X)
CAUCHYCDF(-2;0,5;X)

 



 

 
Chi²-Verteilung
 
Dichte:

Verteilung:
 

 
n: Freiheitsgrad (n ³  0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: CHI2PDF(n;x)
Verteilung: CHI2CDF(n;x)
 
Definitionsbeispiele:
CHI2PDF(1;X)
CHI2CDF(3;X)

 



 

 
Extreme Value Type I–Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
m,b: Parameter (b > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: EVDTPDF(m;b;x)
Verteilung: EVDTCDF(m;b;x)
 
Definitionsbeispiele:
EVDTPDF(-0,5;1;X)
EVDTCDF(2;3;X)

 



 

 
Exponential-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
λ: Parameter (λ > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: EXPPDF(a;λ;x)
Verteilung: EXPCDF(a;λ;x)
 
Definitionsbeispiele:
EXPPDF(0;3;X)
EXPCDF(0;2;X)

 



 

 
F-Verteilung
 
Dichte:
 

Verteilung:
 




mit



m,n: Freiheitsgrade (m > 0, n > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: FPDF(m;n;x)
Verteilung: FCDF(m;n;x)
 
Definitionsbeispiele:
FPDF(100;10;X)
FCDF(5;5;X)
 

 

 
Gamma-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

 
k,f: Parameter (k > 0, f > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: GAMMAPDF(k;f;x)
Verteilung: GAMMACDF(k;f;x)
 
Definitionsbeispiele:
GAMMAPDF(2;2;X)
GAMMACDF(1;2;X)

 



 

 
Inverse Gamma-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

 
mit

 
a,b: Parameter (a > 0, b > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: INVGAMMAPDF(a;b;x)
Verteilung: INVGAMMACDF(a;b;x)
 
Definitionsbeispiele:
INVGAMMAPDF(0,5;1;X)
INVGAMMACDF(0,3;2;X)

 



 

 
Laplace-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:
 

 
m,b: Parameter (b > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: LAPLACEPDF(m;b;x)
Verteilung: LAPLACECDF(m;b;x)
 
Definitionsbeispiele:
LAPLACEPDF(-5;4;X)
LAPLACECDF(2;1;X)

 



 

 
Levy-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

 
mit

m,g: Parameter (m > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: LEVYPDF(m,g,x)
Verteilung: LEVYCDF(m,g,x)
 
Definitionsbeispiele:
LEVYPDF(-0,5;1;X)
LEVYCDF(2;2;X)

 



 

 
Logistische-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
m,s: Parameter  (s > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: LOGISTICPDF(m;s;x)
Verteilung: LOGISTICCDF(m;s;x)
 
Definitionsbeispiele:
LOGISTICPDF(2;3;X)
LOGISTICCDF(2;0,4;X)

 



 

 
Logarithmische Normalverteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
mit


 
m,s: Parameter (s > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: LOGNORMALPDF(m;s;x)
Verteilung: LOGNORMALCDF(m;s;x)
 
Definitionsbeispiele:
LOGNORMALPDF(-2;5;X)
LOGNORMALCDF(2;3;X)

 



 

 
Kumaraswamy-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

 
a,b: Parameter (a > 0, b > 0)
x: Zufallsgröße x Є [0..1]
 
Syntax:
Dichte: KUMURASWAMYPDF(a,b,x)
Verteilung: KUMURASWAMYCDF(a,b,x)
 
Definitionsbeispiele:
KUMURASWAMYPDF(2;5;X)
KUMURASWAMYCDF(1;3;X)

 



 

 
Maxwell-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:

 
mit


a: Parameter (a > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: MAXWELLPDF(a;x)
Verteilung: MAXWELLCDF(a;x)
 
Definitionsbeispiele:
MAXWELLPDF(1;X)
MAXWELLCDF(2;X)

 



 

 
Moyal-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

mit

 
m,s: Parameter (s > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: MOYALPDF(m,s,x)
Verteilung: MOYALCDF(m,s,x)
 
Definitionsbeispiele:
MOYALPDF(2;2;X)
MOYALCDF(-0,5;1;X)

 



 

 
Negative Binomialverteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 


mit




k,r: Parameter (k Î {0,1,3...}, r > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: NEGBINOMPMF(k;r;x)
Verteilung: NEGBINOMCDF(k;r;x)
 
Definitionsbeispiele:
NEGBINOMPMF(2;0,7;X)
NEGBINOMCDF(2;0,1;X)

 



 

 
Standard-Normalverteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

mit

x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: NORMSTDPDF(x)
Verteilung: NORMSTDCDF(x)
 
Definitionsbeispiele:
NORMSTDPDF(X)
NORMSTDCDF(X)

 



 

 
Gaußsche Normalverteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

mit

 
m,s²: Parameter (s² > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: NORMALPDF(m;s²;x)
Verteilung: NORMALCDF(m;s²;x)
 
Definitionsbeispiele:
NORMALPDF(-2;5;X)
NORMALCDF(0;1;X)

 



 

 
Pareto-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
k,x_m: Parameter (k > 0, x_m > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: PARETOPDF(k;x_m;x)
Verteilung: PARETOCDF(k;x_m;x)
 
Definitionsbeispiele:
PARETOPDF(1;2;X)
PARETOCDF(1,1;0,5;X)

 



 

 
Poisson-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:

 
l: Parameter (l > 0)
k: Zufallsgröße (ganzzahlig)
 
Syntax:
Dichte: POISSONPMF(l;k)
Verteilung: POISSONCDF(l;k)
 
Definitionsbeispiele:
POISSONPMF(2;X)
POISSONCDF(1;X)

 



 

 
Rayleigh-Verteilung
 
Dichte:

 
Verteilung:

 
s: Parameter
x: Zufallsgröße (x > 0)
 
Syntax:
Dichte: RAYLEIGHPDF(s,x)
Verteilung: RAYLEIGHCDF(s,x)
 
Definitionsbeispiele:
RAYLEIGHPDF(1;X)
RAYLEIGHCDF(2;X)

 



 

 
Dreiecksverteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
a,b,c: Parameter (a < b, a < c < b)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: TRIANGULARPDF(a;b;c;x)
Verteilung: TRIANGULARCDF(a;b;c;x)
 
Definitionsbeispiele:
TRIANGULARPDF(0;3;1;X)
TRIANGULARCDF(-1;1;0;X)

 



 

 
Student-t-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
mit





n: Freiheitsgrade (n > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: STUDENTPDF(n;x)
Verteilung: STUDENTCDF(n;x)
 
Definitionsbeispiele:
STUDENTPDF(5;X)
STUDENTCDF(2;X)

 



 

 
Uniform-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
a,b: Parameter
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: UNIFORMPDF(a;b;x)
Verteilung: UNIFORMCDF(a;b;x)
 
Definitionsbeispiele:
UNIFORMPDF(-5;5;X)
UNIFORMCDF(-4;3;X)

 



 

 
Wald-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:

 
m,l: Parameter (m > 0, l > 0)
x: Zufallsgröße (x > 0)
Φ : Gauß'sche Standard-Normalverteilung (CDF)
 
Syntax:
Dichte: WALDPDF(m,l,x)
Verteilung: WALDCDF(m,l,x)
 
Definitionsbeispiele:
WALDPDF(0,5;1;X)
WALDCDF(0,1;2;X)

 



 

 
Weibull-Verteilung
 
Dichte:
 

 
Verteilung:
 

 
l,k: Parameter (l > 0, k > 0)
x: Zufallsgröße
 
Syntax:
Dichte: WEIBULLPDF(l;k;x)
Verteilung: WEIBULLCDF(l;k;x)
 
Definitionsbeispiele:
WEIBULLPDF(1/2;1;X)
WEIBULLCDF(4;1;X)

 



 

 
Sonstige spezielle Funktionen

 

 
Bernoulli-Polynom
 

 
b_k: Bernoulli-Zahlen
 
Syntax:
BERNPOLY(n;x)
mit n Î {0,1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
BERNPOLY(3;X)
-BERNPOLY(4;X)+2

 
 
 

 
Gudermann-Funktion
 


Syntax:
GD(x)
 
Definitionsbeispiele:
GD(X)
1+GD(3*X)

 

 

 
Inverse Gudermann-Funktion
 


Syntax:
ARCGD(x)
 
Definitionsbeispiele:
ARCGD(X)
2*ARCGD(-X/3)+3

 
 
 

 
Debye-Funktion



Syntax:
DEBYE(n;x)
mit n Î {1,2,3...}
 
Definitionsbeispiele:
4*DEBYE(1;X)
-3*DEBYE(14;X/2)+2

 
 
 

 
Dedekindsche Eta-Funktion
 

 
Für jede komplexe Zahl τ mit Im(τ) > 0
 
Syntax:
DETAI(l)
 
Definitionsbeispiele:
4*DETAI(X)-1
DETAI(3*X)

 
 
 

 
Fibonacci-Polynom
 


Syntax:
FIBPOLY(n;x)
mit n >= 1
 
Definitionsbeispiele:
FIBPOLY(4;X)
2*FIBPOLY(4;X)-3

 
 
 

 
Allgemeine Fibanocci-Funktion
 
 

 
Syntax:
FIBFUN(r;x)
 
Definitionsbeispiele:
FIBFUN(3,6;X)
-FIBFUN(2,8;X+1)+2

 
 
 

 
Lambertsche W-Funktion
 

 
Syntax:
Für oberen Zweig W₀(x) ³ -1 und x < 0: LAMBERTW(x)
Für unteren Zweig W_-1(x) £ -1 und x < 0: LAMBERTW1(x)
 
Definitionsbeispiele:
LAMBERTW(X)
2*LAMBERTW(X/2-1)

 
 
 

 
Lucas-Polynom


 
Syntax:
LUCPOLY(n;x)
 
Definitionsbeispiele:
LUCPOLY(5;X-3)
2*LUCPOLY(3;X)

 

 

 
Riemannsche Primzahl-Anzahl-Funktion
 

 
Syntax:
RIEMANN(x)
 
Definitionsbeispiele:
4*RIEMANN(X)-1
RIEMANN(3*X)

 

 

 
Wrightsche Omega-Funktion
 

 
Anwendbar z.B. zur Auffindung der Lösung für w bei der Gleichung w + ln(w) = x
 
Syntax:
OMEGA(z)
 
Definitionsbeispiele:
OMEGA(X)
2*OMEGA(X)

 

    

Nützliche Infos zu diesem Themengebiet

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Integralkosinus
Wikipedia - Integralexponentialfunktion
Wikipedia - Exponential-Integral
Wikipedia - Integrallogarithmus
Wikipedia - Sinc-Funktion
Wikipedia - Fehlerfunktion
Wikipedia - Fresnel-Integral
Wikipedia - Gammafunktion
Wikipedia - Digammafunktion
 

Relevante Unterprogramme

 
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Screenshots einiger Module von MathProf

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurvendiskussion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform

 

Screenshot eines Moduls von PhysProf

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

Screenshot einer mit SimPlot erstellten Animationsgrafik

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Unsere Produkte

 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie Kurzinfos zu den von uns entwickelten Produkten.

 

I - MathProf 5.0
Mathematik interaktiv
 

MathProf 5.0 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich mathematische Sachverhalte auf einfache Weise zu verdeutlichen. Zudem spricht es diejenigen an, die sich für Mathematik interessieren, oder mathematische Probleme verschiedenster Art zu lösen haben und von grafischen 2D- und 3D-Echtzeitdarstellungen sowie Animationen beeindruckt sind.
 

 

Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.

Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
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• Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
• Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
• Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
• Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
• Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Analysis eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich Vektoralgebra eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in MathProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter MathProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 

II - PhysProf 1.1
Physik interaktiv
 

PhysProf 1.1 ist ein Programm für alle, die die Aufgabe oder das Ziel haben, sich physikalische Gesetzmäßigkeiten und Gegebenheiten zu verdeutlichen. Es spricht alle an, die sich für die Ergründung physikalischer Prozessabläufe und derartige Zusammenhänge interessieren. In zahlreichen Unterprogrammen besteht die Möglichkeit, Veränderungen von Einflussgrößen manuell, oder durch die Ausgabe automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren. Inhaltlich umfasst es ca. 70 verschiedene Unterprogramme zu den Fachthemenbereichen Mechanik, Elektrotechnik, Thermodynamik und Optik.
 

 

Durch die Benutzung dieses Programms wird es ermöglicht, bereits bekannte Fachthemeninhalte aufzuarbeiten und entsprechende Sachverhalte numerisch wie auch grafisch zu analysieren. Mittels der freien Veränderbarkeit der Parameter von Einflussgrößen bei der Ausgabe grafischer Darstellungen besteht in vielen Unterprogrammen die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Zusammenhängen manuell oder durch die Anwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.

Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
 

Eine Übersicht aller in PhysProf 1.1 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im PhysProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Kurzinfos zu Inhalten einiger Unterprogramme von Physprof 1.1 erhalten Sie unter:
 

• Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
• Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
• Kurzinfos zum Themengebiet Optik
• Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
• Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen in PhysProf implementierten Modulen finden Sie, indem Sie den Reiter PhysProf-Videos wählen, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

 
 

 

 
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
 

SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.

Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.

 

 
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.

Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
 

Eine Inhaltsübersicht dessen finden Sie unter SimPlot - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

 

Beispiele einiger mit Simplot 1.0 erzeugter Grafiken finden Sie unter Beispiele, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.

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Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Weitere Videos zu einigen mit SimPlot erzeugten Animationen finden Sie unter SimPlot-Videos, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
 

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