PhysProf - Harmonische Schwingungen - Formeln - Frequenz
Fachthema: Harmonische Schwingungen
PhysProf - Mechanik - Ein Programm zur Visualisierung physikalischer Sachverhalte mittels Simulationen und 2D-Animationen als Begleiter zum Physik-Unterrichtsmaterial für die Schule, das Abitur sowie für Lehrer und alle die sich für Physik interessieren.
Eine Software, welche unter anderem als Begleiter beim Maschinenbau-Studium oder Elektrotechnik-Studium zur Erlangung tiefergreifenden Fachwissens der Physik eingesetzt werden kann.
Online-Hilfe für das Modul
zur Verdeutlichung und grafischen Darstellung der Zusammenhänge, welche bei ungedämpften harmonischen Schwingungen vorherrschen.
Dieses Unterprogramm ermöglicht die Durchführung der Steuerung entsprechender Abläufe zur Echtzeit und bietet die Möglichkeit, die Einflüsse relevanter Größen interaktiv zu untersuchen.
Es eignet sich zudem als ergänzendes Unterrichtsmaterial zum Physikunterricht, unterstützt dabei ein tiefergehendes Verständnis zu diesem Themengebiet zu erlangen und kann zum Lösen vieler diesbezüglich relevanter Aufgaben eingesetzt werden.
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Harmonische Schwingung
Modul Harmonische Schwingungen
Unter Zuhilfenahme des Programmmoduls [Mechanik I] - [Harmonische Schwingungen] wird es ermöglicht, sich Zusammenhänge, die bei harmonisch ungedämpften Schwingungen vorherrschen, zu verdeutlichen.
Harmonische Schwingung - Abbildung 1
Harmonische Schwingung - Abbildung 2
Unter dem Begriff Schwingungen (Oszillationen) werden sich wiederholende zeitliche Fluktuationen von Zustandsgrößen eines Systems verstanden. Als Oszillatoren werden alle Arten schwingungsfähiger Systeme bezeichnet. Bei einem Oszillator handelt es sich um ein einfaches derartiges System, welches sich um seine Ruhelage bewegt.
Eine harmonische Schwingung kann als Schaubild der gleichförmigen Kreisbewegung eines Körpers verstanden werden. Stellt man die Elongation als Funktion des Drehwinkels grafisch dar, so ergibt sich eine Sinuskurve.
Schwingungen dieser Art können allgemein beschrieben werden durch die Gleichung:
Schwingungen sind Vorgänge, bei welchen sich eine physikalische Größe in Abhängigkeit von der Zeit periodisch ändert.
Die einfachste Schwingungsform sind harmonische Schwingungen. Bei ihnen erfolgt die zeitliche Änderung der charakteristischen physikalischen Größe in Form einer Sinusfunktion. Alle anderen Schwingungsarten werden als anharmonisch bezeichnet.
Die Zeit, welche ein Prozess für einen gesamten Durchlauf benötigt, wird als Schwingungsdauer (Periodendauer) T bezeichnet. Die Inverse der Schwingungsdauer trägt die Bezeichnung Frequenz bzw. Schwingungsfrequenz. Sie ist wie folgt definiert:
Diese gibt Auskunft bezüglich der Anzahl der ausgeführten Schwingungen über einen Zeitraum von einer Sekunde. Die Frequenz einer Schwingung hängt mit der Winkelfrequenz (Kreisfrequenz) und der Dauer einer Schwingung folgendermaßen zusammen:
Der Phasenwinkel bestimmt den Schwingungszustand des Systems zur Zeit t:
y: Elongation [m]
ym: Amplitude [m]
f: Frequenz [1/s]
T: Dauer einer vollen Schwingung [s]
ω: Kreisfrequenz [1/s]
φ: Phasenwinkel [rad]
φ0: Phasenwinkel zur Zeit t = 0 [rad]
Fachbegriffe - Übersicht
Bei einer Sinusschwingung handelt es sich um eine regelmäßige, sich periodisch wiederholende Schwingung. Ihr Verlauf läßt sich mathematisch mit einer gleichförmigen Rotation (Bewegung auf einer Kreisbahn) beschreiben.
Als Elongation (Auslenkung) y = y(t) wird der momentane Abstand eines Punktes von seiner Ruhelage bezeichnet.
Der Maximalwert ŷ einer Auslenkung wird Amplitude oder (Schwingungsamplitude) genannt.
Als Momentanwert (Augenblickswert) wird der Wert einer zeitabhängigen Größe bezeichnet, den diese zu einem definierten Zeitpunkt besitzt.
Als Scheitelwert (maximale Auslenkung) wird der größte Betrag der Augenblickswerte einer Wechselgröße bezeichnet.
Die Schwingungsdauer beschreibt die Dauer einer vollen Schwingung. Es gilt T = 1/f.
Die Frequenz beschreibt die Anzahl der Schwingungen je Zeiteinheit. Für sie gilt f = 1/T.
Eine Kreisfrequenz (Winkelfrequenz) ω beschreibt die Geschwindigkeit (Winkelgeschwindigkeit) mit der eine Schwingung abläuft. Es gilt: ω = 2πf = ω = 2π/T. Sie ist der Quotient aus einer vollständigen Rotation (2π) und der Periodendauer der Schwingung.
Der Phasenwinkel (die Phase) φ beschreibt die aktuelle Position (den Schwingungszustand) beim Ablauf eines periodischen Vorgangs. Es gilt: φ = ωt + φ0 = 2πft + φ0.
Als Nulldurchgang wird eine Nullstelle bezeichnet, bei welcher ein Vorzeichenwechsel vorliegt. Eine periodische Schwingung besitzt eine geradzahlige Anzahl dieser je Periode und eine sinusförmige Spannung besitzt zwei Nulldurchgänge je Periode.
Der Nullphasenwinkel (Phasenkonstante) φ0 beschreibt den Phasenwinkel zum Zeitpunkt t = 0.
Als Periode oder Schwingungsperiode wird der kleinste örtliche bzw. zeitliche Abschnitt bezeichnet, nach dem sich ein Schwingungsvorgang wiederholt.
Als Periodendauer wird die Länge eines Zeitabschnitts bezeichnet, gemäß dem sich die ein Vorgang wiederholt.
Periodische Vorgänge oder periodische Prozesse: Als periodischer Vorgang oder periodischer Prozess wird ein Ablauf bezeichnet, welcher sich zeitlich mit konstantem Abstand wiederholt.
Der Phasenverschiebungswinkel erteilt Auskunft darüber, wie weit voreilend bzw. nacheilend ein Nulldurchgang zweier Schwingungsvorgänge stattfindet.
Mit dem Begriff Schwingungsgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, mit Hilfe derer der Vorgang einer Schwingung beschrieben werden kann.
Programmbedienung
In diesem Modul werden die o.a. Zusammenhänge am Beispiel der harmonischen Schwingung eines Körpers demonstriert. Hierbei ist es möglich, die Amplitude xm, die Periodendauer T und die Phasenverschiebung φ0 durch die Positionierung der dafür vorgesehenen Rollbalken einzustellen sowie durch die Beobachtung der wandernden Punkte der x-Koordinaten (Auslenkung) der Geschwindigkeit v und der Beschleunigung a in Abhängigkeit von der Zeit, Erkenntnisse zu erlangen.
Des Weiteren besteht durch die Aktivierung der Kontrollkästchen x(t), v(t) bzw. a(t) die Möglichkeit, nur bestimmte Kurven darstellen zu lassen. Da es sinnvoll ist, die Kurven der Größen x, v/ω und a/ω² auf den Koordinatenachsen auszugeben (da alle dieselben Maßeinheiten besitzen), wurde dies in diesem Unterprogramm umgesetzt.
Die in diesem Unterprogramm dargestellte Grafik kann als y-t-Diagramm interpretiert werden. In vertikaler Richtung (y-Richtung) werden die Werte der Größen x, v/ω und a/ω² ausgegeben. Als horizontale Achse kann die Zeit t in [s] angesehen werden.
Die Durchführung einer Simulation der wandernden Punkte können Sie veranlassen, indem Sie auf die Schaltfläche Start klicken. Mit der Bedienung des Schalters Urzustand beenden Sie den Simulationsablauf und versetzen die Darstellung wieder in deren Anfangszustand.
Ungedämpfte harmonische Schwingung - Zusammenhänge
Nachfolgend wird auf Zusammenhänge hinsichtlich der Phasenverschiebung (Verschiebung der Phase), der Elongation, der Geschwindigkeit und der Beschleunigung bei ungedämpft harmonischen Schwingungen eingegangen.
Der Drehwinkel φ einer Kreisbewegung kann als Phasenwinkel einer Schwingung dieser Art betrachtet werden. Der Radius des Kreises entspricht dem Ampltudenwert der Sinuskurve.
1. Phasenverschiebung:
Liegt der Beginn der Zeiterfassung eines schwingenden Systems dieser Art nicht genau beim Wert φ = 0, so wird von einer Phasenverschiebung gesprochen. Diese trägt die Bezeichnung φ0. Es gilt:
φ = ωt + φ0 = 2πft + φ0
φ: Phasenwinkel zur Zeit t [rad]
ω: Kreisfrequenz (ω = 2πf)
φ0: Phasenverschiebungswinkel (Nullphasenwinkel) [rad]
2. Elongation:
Die Elongation beschreibt die Auslenkung des schwingenden Systems zur Zeit t. Für sie gilt:
y: Elongation zur Zeit t [m]
ŷ: Amplitude [m]
φ: Phasenwinkel zur Zeit t [rad]
ω: Kreisfrequenz (ω = 2πf)
f: Frequenz [1/s]
φ0: Phasenverschiebungswinkel (Nullphasenwinkel) [rad]
3. Geschwindigkeit:
Für die momentane Geschwindigkeit eines derartigen Systems zu einem Zeitpunkt t gilt:
Zudem gilt:
v: Geschwindigkeit zur Zeit t [m/s]
y: Elongation zur Zeit t [m]
ŷ: Amplitude [m]
φ: Phasenwinkel zur Zeit t [rad]
ω: Kreisfrequenz (ω = 2πf)
f: Frequenz [1/s]
4. Beschleunigung:
Bei einer harmonischen Schwingung liegt eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Die Beschleunigung ist hierbei nicht konstant, sondern eine Funktion der Zeit. Für sie gilt:
Auch gilt:
a: Beschleunigung zur Zeit t [m/s²]
y: Elongation zur Zeit t [m]
ŷ: Amplitude [m]
φ: Phasenwinkel zur Zeit t [rad]
ω: Kreisfrequenz (ω = 2πf)
f: Frequenz [1/s]
Mechanische Schwingungen - Schwingungsenergie
Mechanische Schwingungen: Als mechanische Schwingung wird eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Ruhelage (Gleichgewichtslage) bezeichnet. Voraussetzung für die Entstehung einer derartigen Schwingung ist, dass eine rücktreibende Kraft in Richtung der Gleichgewichtslage des Systems wirksam ist.
Die Schwingungsenergie eines Systems ungedämpfter mechanischer Schwingungen setzt sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen, wobei sich diese periodisch ändern. Sie ist konstant.
Für ein derartiges System gilt:
E = Epot + Ekin
Hieraus resultiert für die Energie eines Schwingungssystems dieser Art:
bzw.
Für den Phasenwinkel φ gilt:
φ = ωt + φ0
E: Energie des Schwingungssystems [J]
D: Richtgröße [kg/s]
y: Schwingungsamplitude [m]
ω: Kreisfrequenz (ω = 2πf)
φ: Phasenwinkel [rad]
φ0: Phasenverschiebung [rad]
Harmonische Schwingung - Abbildung 3
Harmonische Schwingung - Abbildung 4
Harmonische Schwingung - Abbildung 5
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu nützlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Mechanik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Elektrotechnik - Kurzbeschreibungen von Modulen zum Themengebiet Optik - Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik sowie unter Kurzbeschreibungen von Modulen zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Harmonische Schwingungen zu finden.
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Unterprogramm Harmonische Schwingungen
PhysProf 1.1 - Unterprogramm RLC-Kreis
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven in Parameterform
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Physik interaktiv
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Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
Eine Übersicht aller in MathProf 5.0 zur Verfügung stehender Programmteile finden Sie im MathProf - Inhaltsverzeichnis, oder durch einen Klick auf die nachfolgend dargestellte Schaltfläche.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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