MathProf - Proportionalität - Zuordnungen - Relationen - Dreisatz

 

Modul Zusammenhang von Messwerten

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Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Sonstiges] - Zusammenhang von Messwerten können funktionale Zusammenhänge der Daten von Messwertreihen analysiert werden.

 

  

Mit Hilfe dieses Unterprogramms kann ermittelt werden, ob sich aus Messwertpaaren ein funktionaler Zusammenhang ableiten lässt.

Dies bedeutet: Liegt eine Messwertreihe vor, unter der Annahme, dass die ermittelten Messwertpaare beispielsweise einer linearen Proportionalität unterliegen, so kann dies hiermit überprüft werden. Sind n Messwertpaare (x[i],y[i]) vorhanden und folgen diese beispielsweise näherungsweise dem Zusammenhang k = x[i]/y[i], so kann hieraus, unter der Berücksichtigung aufgetretener Messwertfehler, abgeleitet werden, dass ein linearer Zusammenhang sehr wahrscheinlich ist. Ein linearer Zusammenhang (eine lineare Zuordnung) wird durch eine Gerade beschrieben. Dies kann in Form einer Funktionsgleichung der Art y = m·x + b erfolgen.
 
Zwei zueinander direkt proportionale Größen sind quotientengleich. Ist der Quotient aus y und x konstant, wird von Quotientengleichheit gesprochen.
 

Funktionale Abhängigkeit: Um eine Untersuchung dieser Art durchführen zu lassen, stehen in diesem Modul Eingabefelder zur Aufnahme der Daten der Messwertreihe, sowie zwei Eingabefelder für Funktionsdefinitionen zur Verfügung. In diesen können Sie Funktionsterme der Form f(x,y) definieren und somit untersuchen, welchem der definierten funktionalen Zusammenhänge (funktionalen Abhängigkeiten) sich die Messwertreihe am besten nähert. Funktionale Abhängigkeiten (Funktionen) beschreiben den funktionalen Zusammenhang (die funktionalen Zusammenhänge) zwischen verschiedenen Größen.
 
Das Programm ermittelt hiernach den kleinsten mittleren quadratischen Fehler für beide Zusammenhänge und gibt aus, welchem derer die Messwertreihe am wahrscheinlichsten entspricht. Der mittlere quadratische Fehler (die mittlere quadratische Abweichung) gibt den Durchschnitt der quadrierten Differenz zwischen Erwartungswert und Zielwert an.
 

 
Proportionalität:

Bei Proportionalitäten handelt es sich funktionale Zusammenhänge, die beschreiben, in welcher Form mathematische Objekte miteinander in Beziehung stehen. Eine Proportionalität besteht zwischen zwei veränderlichen Größen, wenn diese stets im selben Verhältnis zueinander stehen.
 
Proportionale Zuordnungen - Antiproportionale Zuordnungen:

Eine proportionale Zuordnung beschreibt ein gleichmäßiges Wachstum. Dies bedeutet, dass der Quotient aus einem zugeordneten Wert und einem Ausgangswert stets konstant bleibt und sich beispielsweise bei der Verdoppelung eines Werts auch der andere Wert verdoppelt. Für eine antiproportionale Zuordnung trifft dies nicht zu.
 
Direkte Proportionalität:



Von einer direkten Proportionalität (direkt proportionale Zuordnung oder direktes Verhältnis) wird gesprochen, wenn eine Größe um denselben Faktor k ansteigt wie die zweite. Beide Größen sind in diesem Falle quotientengleich. Verdoppelt sich beispielsweise der Wert einer Größe, so verdoppelt sich der Wert der anderen Größe ebenfalls.

Ein derartiger Zusammenhang wird als direkt proportional bezeichnet. In diesem Falle würde das Verhältnis k = y/x vorliegen. Im Koordinatensystem wird eine direkte Proportionalität durch eine Gerade dargestellt. Der Proportionalitätsfaktor (die Proportionalitätskonstante) beschreibt den jeweiligen Sachverhalt und bestimmt grafisch die Steigung dieser.
 
Indirekte Proportionalität:



 
Eine indirekte Proportionalität oder umgekehrt proportionale Zuordnung (reziproke Proportionalität oder indirekt proportionale Zuordnung bzw. indirektes Verhältnis) liegt vor, wenn eine Größe um einen Faktor zunimmt, die andere jedoch im gleichen Verhältnis sinkt. Größen dieser Art werden als produktgleich bezeichnet. Zu jeder indirekten Proportionalität gehören produktgleiche Größenpaare. Es gilt: a·b = c (c - konstante Größe).

Antiproportionalität:

Von einer Antiproportionalität (antiproportionale Zuordnung) zweier Größen wird gesprochen, wenn keiner der beiden zuvor aufgeführten Sachverhalte vorliegt und somit keine lineare Zuordnung dieser beiden Größen möglich ist. Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn ihre Wertepaare produktgleich sind. Werden die Zahlen eines Wertepaares bei einer antiproportionalen Zuordnung miteinander multipliziert, so resultiert hierbei stets dasselbe Ergebnis. Dieser Sachverhalt wird als Produktgleichheit bezeichnet.
 
  
Durch eine Zuordnung wird einem Wert ein anderer Wert eindeutig zugeordnet. Mit Hilfe von Zuordnungen kann ein Wert (eine Zahl) oder eine Größe exakt einem anderen Wert (einer anderen Zahl) oder Größe zugeordnet werden. Als Ausgangsgrößen werden diejenigen Größen bezeichnet, die auf bestimmte Werte zu bringen sind. Wird ein zweiter Wert wird einem ersten festgelegten Wert zugeordnet, so werden Zuordnungen dieser Art als Zuordnungsvorschrift (Funktion) bezeichnet.

Zuordnungen werden häufig in Form von Wertetabellen (Zuordnungstabellen) oder Grafiken dargestellt. Nachfolgend werden Eigenschaften von Zuordnungen beschrieben.
 


Relation:
Eine Paarmenge, bei welcher die Elemente aufgrund einer Zuordnungsvorschrift gebildet werden, wird als Relation bezeichnet.

Injektive Abbildung - Eineindeutige Zuordnung (Injektion):
Eine Relation heißt eineindeutig, wenn auch die Umkehrung der Zuordnung eindeutig ist. Jedem Element der Menge A ist genau ein Element der Menge B und jedem Element der Menge B genau ein Element der Menge A zugeordnet.

Bijektive Abbildung - Eindeutige Zuordnung (Bijektion):
Eine Relation heißt eindeutig, wenn jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zugeordnet ist.

Abbildung - Mehrdeutige Zuordnung:
Jedem Element einer Urbildmenge oder Ausgangsmenge A können beliebig viele Elemente der Bildmenge oder Zielmenge B zugeordnet werden

Surjektive Abbildung - Surjektivität:
Jedes Element aus der Menge B kommt als Element wenigstens eines Elements aus der Menge A vor.
 

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Hinsichtlich der Eigenschaften von Funktionen gilt für Zuordnungen:

Es sei f: M → N eine Funktion

Eine Funktion f heißt injektiv, falls die Gleichung f(x) = y für y ∈ N höchstens eine Lösung x ∈ M besitzt.
Eine Funktion f heißt surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y ∈ N mindestens eine Lösung x ∈ M besitzt.
Eine Funktion f heißt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
 
Injektive Funktion: Eine Funktion f: M → N heißt injektiv, wenn jedes Element in N von höchstens einem Element aus M als Funktionswert angenommen wird.

Surjektive Funktion: Eine Funktion f: M → N heißt surjektiv, wenn jedes Element in N auch wirklich von f getroffen wird. Anders formuliert: Das Bild der Funktion ist ganz M.

Bijektive Funktion: Eine Funktion f: M → N heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Bei einer bijektiven Funktion wird jedes Element in N von genau einem Element in M getroffen.
 
 

Führen Sie Folgendes aus, um in diesem Modul einen funktionalen Zusammenhang von Messwerten zu analysieren:
 

1. Definieren Sie im dafür vorgesehenen Eingabefeld Fkt. Zusammenhang 1 die Funktion der Form f(x,y) mit welcher Sie die Daten der Messwertreihe vergleichen möchten, gemäß den geltenden Syntaxregeln.
   
   Ist der Zusammenhang zweier Funktionsgleichungen gleichzeitig zu analysieren, so muss das Kontrollkästchen Fkt. Zusammenhang 2 aktiviert werden und ein zusätzlicher Term im dafür vorgesehenen Eingabefeld definiert werden. Beachten Sie hierbei, dass beide Funktionsterme stets die Variablen x und y enthalten müssen.
    
2. Geben Sie die auszuwertenden Daten in die dafür vorgesehenen Felder X und Y ein und bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen.
    
3. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle zur Auswertung erforderlichen Messwerte aufgenommen sind.
    
4. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Eingabefeld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
6. Durch einen Klick auf die Schaltfläche Darstellen können Sie die ermittelte Funktion, sowie die Darstellung der hierfür benutzten Messwerte grafisch ausgeben lassen.
   
   Mit der Aktivierung des Kontrollkäschens Punkte verbinden, veranlassen Sie das Programm dazu, die Punkte der definierten Messwertreihe bei Ausgabe der grafischen Darstellung mit Linien zu verbinden.

 

 

Möchten Sie eingegebene Messwerte speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Daten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Öffnen. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!

 

Es besteht zudem die Möglichkeit die auszuwertenden Datenpaare in einer Excel-Tabelle zu definieren. Die Zahlenwerte sind nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen:

 

In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Werte für die X-Koordinaten und in Spalte B die Y-Koordinaten der Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe in den obersten Feldern der entsprechenden Spalten. Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab.

 

Sollen diese Daten wieder geladen werden, so wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld in einer Excel-Tabellen-Spalte.
 
 

Verhältnisse bilden und berechnen.

Als Verhältnis zweier zu vergleichender Größen a und b wird der Quotient a:b verstanden. Eine Gleichung, die sich aus zwei Verhältnissen zusammensetzt wird als Verhältnisgleichung oder Proportion bezeichnet. Proportionen besitzen die Form:
 
a : b = c : d

a,d: Außenglieder
b,c: Innenglieder

 
Verhältnisrechnung:

Unter dem Begriff Verhältnisrechnung wird das Rechnen mit Verhältnissen verstanden. Eine Proportion ist wahr, wenn sich auf beiden Seiten das gleiche Verhältnis steht. Sie darf wie eine Gleichung umgeformt werden. Durch die Multiplikation der Proportion mit dem Hauptnenner der Gleichung b·d entsteht die Produktgleichung.

Diese lautet:

a · d = b · c

Als Innenglieder werden Glieder b und c bezeichnet. Die Glieder a und d sind die Außenglieder der Proportion. Die Produktgleichung besagt, dass das Produkt der Innenglieder gleich dem der Außenglieder ist. Bei einer wahren Proportion dürfen deren Außenglieder miteinander, deren Innenglieder miteinander oder die Innenglieder mit den Außengliedern vertauscht werden. Das Lösen von Proportionalen wird auch als das Bestimmen der vierten Proportionale bezeichnet.

Beispiel 1:

a : b = c : d

a : b = c : d  |  ·b
a = c · b / d  |  ·d

a·d = b·c

Beispiel 2:

Ein Gewinn wird zwischen zwei Partnern A und B im Verhältnis 4 : 5 aufgeteilt. A erhielt 300 Euro. Wie viel Euro erhält B?

300 : x = 4 : 5

300 · 5 = x · 4

1500 = x · 4  | :4

375 = x

B erhielt 375 Euro

 

 
Da es sich bei Dreisätzen ebenfalls um proportionale Zuordnungen handelt, wird auch dieses Fachthema nachfolgend in diesem Kapitel kurz behandelt.
 
Der Dreisatz ist ein einfaches mathematisches Verfahren, mit Hilfe dessen, durch das bekannte proportionale Verhältnis zweier Größen sowie einer weiteren Größe, der Wert einer unbekannten vierte Größe berechnet werden kann. Es wird dazu eingesetzt Aufgaben dieser Art in drei Schritten zu lösen und dient als Verfahren zur Lösung von Proportionalitätsaufgaben. Diese Methode wird auch als Dreisatzrechnung bezeichnet.
 
Proportionaler Dreisatz: Unter dem proportionalen Dreisatz wird der einfache Dreisatz verstanden. Der antiproportionale Dreisatz wird auch als umgekehrter Dreisatz bezeichnet.
 
Antiproportionaler Dreisatz: Der antiproportionale Dreisatz hingegen bezeichnet den umgekehrten Dreisatz.

Zusammengesetzter Dreisatz (Kettensatz): Unter dem zusammengesetzten Dreisatz wird eine Ausdehnung des einfachen Dreisatzes verstanden, bei welchem der Dreisatz mehrfach aufeinanderfolgend ausgeführt wird. Er beinhaltet deshalb wenigstens drei Größen. Der zusammengesetzte Dreisatz wird häufig auch als Kettensatz bezeichnet.
 
Im Weiteren wird die Vorgehensweise zur Anwendung dieses Verfahrens beschrieben.
 
Schema zur Lösung von Dreisatzaufgaben:
 
Bei der Berechnung der Lösung einer Dreisatzaufgabe handelt es sich um das Lösen einer Verhältnisgleichung der Form:

a : b = c : x

Gegeben sind a Einheiten einer Größe A sowie b Einheiten einer Größe B.

Es gilt, die Anzahl x der Einheiten der Größe B, die im selben Verhältnis zu c Einheiten von A stehen, zu ermitteln.

Durch die entprechende Umstellung der o. a. Verhältnisgleichung kann die gesuchte Anzahl x der Einheiten der Größe B berechnet werden:

x = c ⋅ b / a


Beispiele:

Beispiel 1. Einfacher Dreisatz (proportionaler Dreisatz):

15 Mitarbeiter in einer Bäckerei produzieren 200 Brote an einem Arbeitstag. Wie viel Brote produzieren im gleichen Zeitraum 6 Mitarbeiter (Bäcker)?

15 Mitarbeiter = 200 Brote
6 Mitarbeiter = x Brote

x = 6·200/15 = 80

Somit produzieren 6 Bäcker an einem Arbeitstag 80 Brote.

Die nachfolgend dargestellte Abbildung zeigt das Schema auf, welches für die Durchführung der entsprechenden Rechenschritte zur Ermittlung des Ergebnisses der zuvor gestellten Aufgabe erforderlich ist.




Beispiel 2. Umgekehrter Dreisatz (antiproportionaler Dreisatz):

15 Mitarbeiter benötigen 5 Tage für die Produktion einer bestimmten Menge von Broten. Wie viel Zeit benötigen hierfür 6 Mitarbeiter (Bäcker)?

15 Mitarbeiter = 5 Tage
6 Mitarbeiter = x Tage

x = 5·15/6 = 12,5 Tage

Somit benötigen 6 Bäcker 12,5 Tage dazu, um die selbe Menge an Broten zu produzieren wie 15 Bäcker.

Die nachfolgend dargestellte Abbildung zeigt das Schema auf, welches für die Durchführung der entsprechenden Rechenschritte zur Ermittlung des Ergebnisses der zuvor gestellten Aufgabe erforderlich ist.



Beispiel 3. Zusammengesetzter Dreisatz:

4 Bäcker backen 250 Brote in 8 Stunden.
Wie lange benötogen 5 Bäcker um 100 Brote zu backen?
 
Bekannt sind damit folgende Größen und Angaben:

Anzahl Bäcker: 4
Anzahl Brote: 250
Anzahl Stunden: 8

Vorgehensweise:

Wie lange benötigt 1 Bäcker für 250 Brote?

1 Bäcker backt 250 Brote in 4·8 Stunden = 32 Stunden

1 Bäcker backt 1 Brot in 4·8/250 Stunden = 32/250 Stunden = 0,128 Stunden

Wie lange benötigen 5 Bäcker für 1 Brot?

5 Bäcker backen 1 Brot in 4·8/250/5 Stunden = 0,0256 Stunden

Wie lange benötigen 5 Bäcker für 100 Brote?

Ergebnis:

5 Bäcker backen 100 Brote in 4·8/250/5·100 Stunden = 2,56 Stunden
 
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Statistische Messwertanalyse

 

 
Für nachfolgend aufgeführte Messwertreihe soll untersucht werden, zwischen welchen Messgrößen ein wahrscheinlicherer Zusammenhang besteht. Die hierbei vorliegenden Zusammenhänge lassen sich mathematisch durch den Quotienten k = y/x bzw. durch die Gleichung k = y/x² beschreiben.
 

X-Werte	Y-Werte
0,2	0,65
0,95	3,0
1,7	5,0
1,85	5,3
2,1	6,0
2,4	7,0
2,55	7,2
2,7	8,0
2,95	9,0
3,0	9,1
3,1	9,2
3,3	10,0

Vorgehensweise und Lösung:

Nach der Eingabe der Messwerte, der Definition der beiden Funktionsterme y/x², sowie y/x in den Eingabefeldern Zusammenhang 1 und Zusammenhang 2, einer Aktivierung des Kontrollschalters Fkt. Zusammenhang 2 und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Mittlerer Fehler bei Zusammenhang 1 (Y/X ): 0,0157

Mittlerer Fehler bei Zusammenhang 2 (Y/X^2): 18,831

Hieraus lässt sich entnehmen, dass Zusammenhang 1 wahrscheinlicher ist.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Proportionalität zu finden. 

 

 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Zufallsexperimente

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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