MathProf - Zissoide des Diokles - Kurve dritter Ordnung - Polar

Modul Zissoide

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Kurven n-ter Ordnung] - Zissoide kann die Konstruktion einer Zissoide untersucht werden.

 

 

Die Zissoide (des Diokles) ist eine Kurve 3. Ordnung, die vom griechischen Mathematiker Diokles (um 200 v. Chr.) beschrieben wurde, um mit diesem Hilfsmittel das Problem der Würfelverdoppelung (auch als delisches Problem bekannt) zu lösen. Diese Bezeichnung leitet sich vom griechischen Wort kissós (Efeu) ab.

Eine Zissoide kann durch folgende Gleichungen beschrieben werden:
 

1. Gleichung in kartesischer Form:

 

y²(a - x) = x³; a > 0
 

2. Gleichungen in Parameterform:

 

x = ak² / (1 + k²)

y = ak³ / (1 + k²)

 

3. Gleichung in Polarform:

 

r = a sin² (φ) / cos (φ)  = a sin (φ) tan (φ)  

 

 

Beschreibung der Erzeugung einer Zissoide:

 

Gegeben seien ein Kreis mit Radius a, ein Punkt S auf diesem sowie die vertikale Tangente, welche diesen Kreis im Punkt auf der Abszisse gegenüber von S berührt. Bezeichnet man für einen beliebigen Punkt P der Zissoide den Schnittpunkt der Geraden durch die Punkte S und P mit dem Kreis als Punkt K, und den Schnittpunkt dieser Geraden mit der vertikalen Kreistangente als Punkt A, so ist die Länge der Strecke SP gleich der Länge der Strecke KA.

 

Diese Sachverhalte können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

1. Asymptote einer Zissoide:
 

Die Gleichung der Asymptote einer Zissoide lautet:

x = a

2. Fläche (Flächeninhalt) zwischen der Kurve und der Asymptote:

Die Fläche zwischen einer Zissoide und derer Asymptote beträgt:

A = 3/4 π a²
 

Darstellung

 
Durch die Bedienung des Rollbalkens Radius legen Sie den Radius des Kreises fest. Bei einer Veränderung der Position des Rollbalkens Winkelpos. wird der Verlauf der Konstruktion der Kurve demonstriert.
 

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Hilfslinien: Darstellung der zur Konstruktion benötigten Hilfslinien (u. Kreis) ein-/ausschalten
• Kurve hervorheben: Linienstärke der Zissoide normal/fett

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

 

 

Positionieren Sie Rollbalken Radius auf den Wert 7 und Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 150, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform

 

r = 14·sin(φ)·tan(φ)

 

über einen Winkelbereich von 0 ≤ φ ≤ 150 (im Gradmaß) beschrieben wird.

 

Für den Inhalt der Fläche (bei komplett dargestellter Kurve) zwischen der Asymptote und der Kurve ermittelt das Programm: A = 461,814 FE. Die vertikal verlaufende Asymptote der Kurve befindet sich bei x = 14.

 

Für die Längen der Strecken SP und KA ermittelt das Programm den Wert 4,041. Der Mittelpunkt des Kreises befindet sich bei Punkt M (7 / 0).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Zissoide zu finden. 

 

 

 

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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