MathProf - Zinseszins - Verzinsung - Grundwert - Jahre - Dauer - Zeit

 

Modul Zins und Zinseszins

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Das kleine Unterprogramm [Sonstiges] - [Zinsrechnung] - Zins und Zinseszins ermöglicht die Durchführung numerischer Zins- und Zinseszinsberechnungen verschiedener Arten.

 

 

Berechnungen mit Zinsen können durchgeführt werden für:
 

• Einfacher Anteil
• Einmalige Zunahme (einmalige Erhöhung des Grundwerts)
• Einmalige Abnahme (einmalige Verminderung des Grundwerts)
• Mehrfache Zunahme über n Jahre (n-malige Erhöhung des Grundwerts)
• Mehrfache Abnahme über n Jahre (n-malige Verminderung des Grundwerts)
• Mehrfache Zunahme pro Jahr (n-malige Erhöhung des Grundwerts pro Jahr)
• Mehrfache Abnahme pro Jahr (n-malige Verminderung des Grundwerts pro Jahr)
• Mehrfache Zunahme über mehrere Jahre (bei n-maliger Erhöhung des Grundwerts pro Jahr)
• Mehrfache Abnahme über mehrere Jahre (bei n-maliger Verminderung des Grundwerts pro Jahr)

    
Verwendete Kürzelbezeichnungen:
 
P: Prozentwert
G: Grundwert
p: Prozentsatz
j: Anzahl der Jahre
 
Formeln:
 
Einfacher Anteil:
 
P = p·G
G = P/p
p = P/G
 
Einmalige Zunahme:
 
P = G·(1+p)
G = P/(1+p)
p = P/G-1
 
Einmalige Abnahme:
 
P = G·(1-p)
G = P/(1-p)
p = P/G+1
 
Mehrfache Zunahme über n Jahre (n-malige Erhöhung des Grundwerts):
 
P = G·(1+p)ⁿ
G = P/(1+p)ⁿ
p = (P/G)^1/n-1
n = log(P/G)/log(p+1)
 
Mehrfache Abnahme über n Jahre (n-malige Verminderung des Grundwerts):
 
P = G·(1-p)ⁿ
G = P/(1-p)ⁿ
p = 1-(P/G)^1/n
n = log(P/G)/log(1-p)
 
Mehrfache Zunahme pro Jahr (n-malige Erhöhung des Grundwerts pro Jahr):
 
P = G·(1+p/n)ⁿ
G = P/(1+p/n)ⁿ
p = n·P^1/n·G^-1/n-n
n -> algebraisch nicht lösbare Gleichung
 
Mehrfache Abnahme pro Jahr (n-malige Verminderung des Grundwerts pro Jahr):
 
P = G·(1-p/n)ⁿ
G = P/(1-p/n)ⁿ
p = n - n·P^1/n·G^-1/n
n -> algebraisch nicht lösbare Gleichung
 
Mehrfache Zunahme über mehrere Jahre (bei n-maliger Erhöhung des Grundwerts pro Jahr):
 
P = G·(1+p/n)^j·n
G = P/(1+p/n)^j·n
p = n·P^1/(j·n)·G^-1/(j·n)-n
j = log(P/G)/(n·log(1+(p/n))
 
Mehrfache Abnahme über mehrere Jahre (bei n-maliger Verminderung des Grundwerts pro Jahr):
 
P = G·(1-p/n)^j·n
G = P/(1-p/n)^j·n
p = n·(1-(P/G)^1/(j·n))
j = log(P/G)/(n·log(1-(p/n))

   
Wählen Sie den entsprechenden Eintrag aus der aufklappbaren Auswahlbox, für welche Art der Verzinsung Sie Berechnungen durchführen lassen möchten. Geben Sie die relevanten Werte in die horizontal angeordneten Felder ein und bedienen Sie hierauf die in der entsprechenden Reihe zur Verfügung stehende Schaltfläche Ok. Das Programm gibt daraufhin den Wert der zu ermittelnden Größe rechtsseitig aus.

Hinweis:
Eine Gleichung der Form P = G·(1+p/n)^j·n kann algebraisch nicht nach n aufgelöst werden. Sind beispielsweise folgende Werte bekannt: Prozentwert P = 200, Grundwert G = 100, Prozentsatz p = 0,15 und Jahresanzahl j = 6, so können die entsprechenden Werte in diese Gleichung eingebunden werden und es resultiert die Funktionsgleichung 200 = 100·(1+0,15/X)^(6·x).
 
Hierdurch kann ermittelt werden, wie oft innerhalb eines Jahres Verzinsung durchgeführt werden muss, um bei einem Jahreszinssatz von p = 15% (0,15) nach 6 Jahren aus 100 € 200 € werden zu lassen.
 
Um nach Lösungen für diese Gleichung zu suchen, verwenden Sie das Unterprogramm Gleichungen und geben in das linksseitig angeordnete Feld die Zahl 200 ein. Im rechtsseitig angeordneten Feld definieren Sie den Funktionsterm 100*(1+0,15/X)^(6*X). Das Programm ermittelt hierauf den Wert X1 = 0,2304. Dieser entspricht dem gesuchten Wert für n (n = 0,2304).
 
   
Zinsrechnung - Interaktiv
Tageszinsrechnung - Interaktiv
Jahreszinsrechnung
Zinseszinsrechnung grafisch
   
 
Beispiel 1 - Einfacher Anteil:

Wie viel Zinsen bringt ein Kapital von 850 € bei einer jährlichen Verzinsung von 5% am Ende des Jahres?
 
Vorgehensweise und Lösung:

Der Grundwert beträgt demnach 850 € und der Prozentsatz 5 %. Wählen Sie den Eintrag Einfacher Anteil aus der aufklappbaren Auswahlbox, geben Sie die o.a. Zahlenwerte in die beiden oben angeordneten Felder Grundwert und Prozentsatz p ein und bedienen Sie die oben angeordnete Schaltfläche Ok.

Das Programm gibt aus: Prozentwert: 42,50.
Am Ende des Jahres betragen die Zinsen somit P = G·p = 850·0,05 = 42,50 €.
 
Beispiel 2 - Einfacher Anteil:

Herr Maier muss für einen Kredit in Höhe von 22 000 € jährlich Zinsen in Höhe von 968 € zahlen. Welchen Zinssatz berechnet die Bank?
 
Vorgehensweise und Lösung:

Der Grundwert beträgt demnach 22000 € und der Prozentwert 968 €. Wählen Sie den Eintrag Einfacher Anteil aus der aufklappbaren Auswahlbox, geben Sie die o.a. Zahlenwerte in die beiden unten angeordneten Felder Grundwert und Prozentwert P ein und bedienen Sie die oben angeordnete Schaltfläche Ok.
 
Das Programm gibt aus: Prozentwert: 4,4 %.
Der Zinssatz bei jährlicher Verzinsung beträgt p = P/G = 968/22000 = 0,044 = 4,4 %.

Beispiel 3 - Einmalige Zunahme:
 
Ein Haushaltsgerät kostet inklusive 19 % Mehrwertsteuer 345 €. Wie hoch ist der Nettopreis ohne Mehrwertsteuer?

Vorgehensweise und Lösung:

Der Prozentwert P beträgt demnach 345 € und der Prozentsatz p beträgt 19%. Wählen Sie den Eintrag Einmalige Zunahme aus der aufklappbaren Auswahlbox, geben Sie die o.a. Zahlenwerte in die beiden mittig angeordneten Felder Prozentwert P und Prozentsatz p ein und bedienen Sie die daneben angeordnete Schaltfläche Ok.

Das Programm gibt aus: Grundwert: 289,92
Der Grundwert kann berechnet werden mit: G = P/(1+p) = 345/(1+0,19) ~ 289,92 €.

Beispiel 4 - Mehrfache Zunahme:

Der Betrag von 3000 € wird für einen Zeitraum von 10 Jahren fest angelegt. Der jährliche Zinssatz beträgt 6%. Wie hoch ist das Guthaben nach 10 Jahren bei einmaliger jährlicher und bei halbjährlicher Verzinsung?

Vorgehensweise und Lösung:

Die Anzahl der Jahre beträgt n = 10, der Grundwert G beläuft sich auf 3000 € und der Prozentsatz p beträgt 6 %.

I. Einmalige jährliche Verzinsung:

Wählen Sie den Eintrag Mehrfache Zunahme über n Jahre (n-malige Erhöhung des Grundwerts) aus der aufklappbaren Auswahlbox, geben Sie die hierfür relevanten Zahlenwerte in die oben angeordneten Felder Anzahl n, Grundwert G sowie Prozentsatz p ein und bedienen Sie die daneben angeordnete Schaltfläche Ok.

Das Programm gibt aus: Prozentwert: 5372,54
Nach zehn Jahren beträgt das Guthaben bei einmaliger jährlicher Verzinsung somit: P = G·(1+p)ⁿ = 3000·(1+0,06)¹⁰ ~ 5372,54 €.
 
II. Halbjährliche Verzinsung:
 
Wird das Geld halbjährlich verzinst, so handelt sich hierbei um eine zweimal jährlich anfallende, 10-malige Verzinsung mit je 6 %, bzw. um eine insgesamt 20-malige Verzinsung mit je 3 %. Es bestehen zwei Möglichkeiten diese Berechnung durchzuführen.
 
Möglichkeit 1:
Mehrfache Zunahme über mehrere Jahre (bei n-maliger Erhöhung des Grundwerts pro Jahr)
 
10-malige Verzinsung mit je 6 %:
 
Anzahl Jahre j: 10
Anzahl n: 2
Grundwert G: 3000
Prozentsatz p: 6
 
Möglichkeit 2:
Mehrfache Zunahme über n Jahre (n-malige Erhöhung des Grundwerts)
 
20-malige Verzinsung mit je 3 %
 
Anzahl Jahre j: 20
Grundwert G: 3000
Prozentsatz p: 3
 
Wählen Sie einen der o.a. Einträge aus der aufklappbaren Auswahlbox und geben Sie die aufgeführten Werte in die entsprechenden, oben angeordneten Felder ein.
 
Bedienen Sie die daneben angeordnete Schaltfläche Ok, so gibt das Programm für den zu ermittelnden Prozentwert P den Betrag 5418,33 aus.
 
Nach zehn Jahren beträgt das Guthaben bei zweimaliger jährlicher Verzinsung somit:
 
P = G·(1+p/n)^j·n = 2000·(1+0,06/2)^2·10 ~ 5418,33 €.
 
bzw.
 
P = G·(1+p)ⁿ = 2000·(1+0,03)²⁰ ~ 5418,33 €.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Benutzbarbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
 
Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf anschauliche Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthemengebiet.

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind,können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Zinsrechnung sowie unter Wikipedia - Effektiver Jahreszins zu finden.

 

 

Zahlenstrahl - Römische Zahlen - Schriftliche Addition - Schriftliche Subtraktion - Schriftliche Multiplikation - Schriftliche Division - Schriftliche Potenzierung - Aussagenlogik - Zahltypumwandlung - Zinsrechnung - Zinseszinsrechnung grafisch - Annuitätentilgung - Jahreszinsrechnung - Physikalische Größen - Materialkonstanten - Fachbegriffe Deutsch - Englisch - Mandelbrot- und Juliamengen - Zusammenhänge Mandelbrot-Juliamengen - Sierpinski-Dreieck - Koch-Kurve - Feigenbaum-Diagramm - Lindenmayer-System - Lindenmayer-System II - Logistische Gleichung I - Logistische Gleichung II - Diagramme - Tortendiagramm - Kryptografie - Raumgittermodelle (3D) - Paare geordnet - Kalender - Rechnen mit selbstdefinierten Formeln - Zeichenprogramm - Tangram - Tetris - Spiel 15 - Türme von Hanoi - Dame - Schach - Logische Verknüpfungen - Dualzahl - Dezimalzahl - Zinsrechnung - Interaktiv - Tageszinsrechnung - Interaktiv - Annuitätentigung - Interaktiv - Rechenschieber - Iterated function systems IFS - Acht-Damen-Problem - Rucksack-Problem - Weltzeiten - Josephus-Problem - Chinesisches Solitaire

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Feigenbaum-Diagramm

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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