MathProf - Zahlensystem - Binär - Addieren - Subtrahieren - Multiplizieren

Modul Zahlensysteme

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - [Zahlensysteme] - Zahlensysteme können Berechnungen mit Zahlen verschiedener Stellenwertsysteme, welche unter anderem in der Informatik und Digitaltechnik zum Einsatz kommen, durchgeführt werden.

 

Hierbei wird es ermöglicht, Berechnungen im Bereich der ganzen Zahlen mit Zahlensystemen einer frei festlegbaren Basis zwischen 2 und 16 durchführen zu lassen. Hierzu zählen unter anderem die folgenden Stellenwertsysteme (Positionssysteme):
 
Binärsystem (Dualsystem): Binäres Zahlensystem (duales Zahlensystem oder 2er-System). Es wird auch als binäres System oder Dualsystem bezeichnet.
Dualzahl (Binärzahl): Zahlen dieses Systems werden als Binärzahlen (Dualzahlen oder duale Zahlen) bezeichnet. Es ist ein Stellenwertsystem mit der Basiszahl 2.

Oktalsystem: Oktales Zahlensystem (4er-System)
Oktalzahl: Zahlen dieses Systems werden als Oktalzahlen bezeichnet. Es ist ein Stellenwertsystem mit der Basiszahl 4.

Hexadezimalsystem: Hexadezimales Zahlensystem (8er-System)
Hexadezimalzahl: Zahlen dieses Systems werden als Hexadezimalzahlen bezeichnet. Es ist ein Stellenwertsystem mit der Basiszahl 8.

Zehnersystem: Dezimales Zahlensystem (Dezimalsystem oder 10er-System)
Dezimalzahl: Zahlen dieses Systems werden als Dezimalzahlen bezeichnet. Es ist ein Stellenwertsystem mit der Basiszahl 10.

Additionssystem: Bei einem Additionssystem handelt es sich um ein Zahlensystem, bei welchem sich der Wert einer Zahl durch die Addition der Werte ihrer Ziffern errechnet.
 
In diesem Modul wird die Durchführung von Berechnungen mit den nachfolgend aufgeführten arithmetischen Operationen ermöglicht:

• Addition
• Subtraktion
• Multiplikation
• Division (nur Ganzzahldivisionen ohne Rest werden ausgeführt)

Für das Rechnen mit Binärzahlen (Rechnen mit Dualzahlen) steht der in diesem Teilprogramm speziell für Binärzahlen implementierte Binärrechner (Binärcode Rechner bzw. Binäraddierer) zur Verfügung. Dieser ermöglicht binäres Rechnen (binär Rechnen) auch für negative Binärzahlen. Ergebnisse durchgeführter Berechnungen werden in diesem Fall sowohl in Binärdarstellung (als Binärwert) wie auch in Form von Dezimalzahlen ausgegeben.
   
Nachfolgend sind einige häufig benutzte Zahlensysteme aufgeführt, mit denen in diesem Modul Berechnungen durchgeführt werden können:

Als Zweiersystem (2er-System, Dualsystem oder duales Zahlensystem) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 2 bezeichnet.
Als Dreiersystem (3er-System, Ternärsystem) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 3 bezeichnet.
Als Vierersystem (4er-System) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 4 bezeichnet.
Als Fünfersystem (5er-System) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 5 bezeichnet.
Als Sechsersystem (6er-System) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 6 bezeichnet.
Als Achtersystem (8er-System) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 8 bezeichnet.
Als Zehnersystem (10er-System) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 10 bezeichnet.
Als Zwölfersystem (12er-System oder Duodezimalsystem) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 12 bezeichnet.
Als Sechzehnersystem (16er-System) wird ein Stellenwertsystem zur Basis 16 bezeichnet.
 

 
Nachfolgend ist eine kurze Beschreibung zur prinzipiellen Vorgehensweise der Durchführung von Grundrechenoperationen mit Dualzahlen (hierbei ist die Basis bzw. Basiszahl 2) aufgeführt. Auch wird bei relevanten Zusammenhängen der zu durchlaufende Rechenweg aufgezeigt und es werden die hierbei zu beachtenden Regeln bzw. Rechenregeln angewandt.

 
1. Dualzahlen addieren bzw. Binärzahlen addieren (binär addieren)

Das anzuwendende Verfahren entspricht der Methode der Durchführung der Addition beim Dezimalsystem. Folgende Rechenregeln finden hierbei Anwendung:

 0 + 0 = 0
 0 + 1 = 1
 1 + 0 = 1
 1 + 1 = 0 , denn 1 + 1 ergibt 10 → Die 0 wird übernommen und es erfolgt ein Übertrag von 1 an die nächste Stelle nach links

Vorgehensweise:

Begonnen wird mit der Ziffer, die den geringsten Wert besitzt (rechts).

Fortgefahren wird mit den folgenden Ziffern (von rechts nach links).

Ist ein Übertrag zu bilden (wenn beide Summanden 1 sind), so wird eine Eins gesetzt und die Zahl 1 wird als Übertrag verwendet (analog dem Rechnen im Dezimalsystem).

Beispiel:

    1101
 + 1110
+ 11
---------
    11011
 

2. Dualzahlen subtrahieren bzw. Binärzahlen subtrahieren (binär subtrahieren)

Das anzuwendende Verfahren entspricht der Methode der Durchführung der Subtraktion beim Dezimalsystem. Folgende Rechenregeln finden hierbei Anwendung:

 0 - 0 = 0
 0 - 1 = 1 , denn 0 - 1 ergibt -1 → Die 1 wird übernommen und es erfolgt ein Übertrag von 1 an die nächste Stelle nach links
 1 - 0 = 1
 1 - 1 = 0

Vorgehensweise:

Begonnen wird mit der Ziffer, die den geringsten Wert besitzt (rechts).

Fortgefahren wird mit den folgenden Ziffern (von rechts nach links).

Ist ein Übertrag zu bilden (wenn der Minuend kleiner ist als der Subtrahend), so wird eine 1 gesetzt und die Zahl 1 wird als Übertrag verwendet (analog dem Rechnen im Dezimalsystem).

Beispiel:

  1110
  -111
-111
------
0111


3. Dualzahlen multiplizieren bzw. Binärzahlen multiplizieren (binär multiplizieren)

Das anzuwendende Verfahren entspricht der Methode der Durchführung der Multiplikation beim Dezimalsystem. Folgende Rechenregeln finden hierbei Anwendung:

 0 · 0 = 0
 0 · 1 = 0
 1 · 0 = 0
 1 · 1 = 1

Vorgehensweise:

Jede Ziffer der rechten Seite der Ziffernfolge wird mit der linken Seite multipliziert. Die resultierenden Zwischenergebnisse werden untereinander geschrieben und hierauf addiert. Es gilt darauf zu achten die Zwischenergebnisse, ihrem Stellenwert entsprechend, jeweils nach links versetzt, anzuordnen.

Beispiel:

101 ·  101 = 11001
         101
     + 000
   + 101
----------
      11001


4. Dualzahlen dividieren bzw. Binärzahlen dividieren (binär dividieren)

Das anzuwendende Verfahren entspricht der Methode der Durchführung der Division beim Dezimalsystem. Folgende Rechenregeln finden hierbei Anwendung:

 0 : 0 nicht definiert
 0 : 1 = 0
 1 : 0  nicht definiert
 1 : 1 =  1

Vorgehensweise:

Begonnen wird mit der höchsten Stelle des Dividenden. Diese Ziffer wird heruntergeholt und es wird geprüft, ob der Divisor kleiner oder gleich dem Dividenden ist. Ist der Divisor kleiner oder gleich dem Dividenden, so wird eine 1 an die Stelle des Quotienten geschrieben.

Hierauf wird der Divisor von der entsprechenden Ziffer bzw. Ziffernfolge subtrahiert und es wird die nächste Stelle des Dividenden heruntergezogen. Wiederum wird geprüft, ob der Divisor kleiner dem Dividenden ist.

Ist der Divisor größer als die Ziffer bzw. die Ziffernfolge, so wird eine 0 an die Stelle des Quotienten geschrieben. Trifft dies zu, so wird die folgende Ziffer des Dividenden angehängt, ohne den Divisor von der Ziffer bzw. der Ziffernfolge zu subtrahieren.

Beispiel:

   1000010 ÷ 11 = 010110
 - 011
---------
= 00100
    - 011
---------
=    0011
    -  011
---------
=        0
 

 

Um Berechnungen in diesem Modul ausführen zu lassen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Legen Sie durch die Bedienung des Auswahlschalters Basis die Basis des Stellenwertsystems (voreingestellt: 16) fest.
    

2. Geben Sie durch die Benutzung der entsprechenden Schalter, oder per Tastaturbedienung eine Zahl (die Zeichen) ein.
    

3. Wählen Sie die durchzuführende arithmetische Operation durch die Fokussierung der entsprechenden Schaltfläche (+, -, *, /) und geben Sie die zweite Zahl ein.
    

4. Bedienen Sie die Schaltfläche = , so wird das Ergebnis ausgegeben.

 
Ausgeführte Operationen werden protokolliert und in einer Tabelle aufgelistet. Nach jeder durchgeführten Operation werden außerdem die entsprechenden Dezimalwerte (Basis 10) angezeigt.

Löschen können Sie getätigte Eingaben durch eine Bedienung der Taste CE. Möchten Sie eine neue Berechnung durchführen, so klicken Sie auf die Taste C.

Hinweis : 

Diese Operationen können nur mit ganzen Zahlen bis zum Wert 2.500.000.000 durchgeführt werden. Übersteigt ein Eingabe- oder Berechnungswert dieses Limit, so erhalten Sie eine entsprechende Fehlermeldung. Ebensolches geschieht, wenn Divisionen durchgeführt werden deren Ergebnisse einen Rest besitzen.

 

 
In nachfolgender Tabelle sind die Werte der Dezimalzahlen von 0 bis 255 sowie deren Darstellung als Dualzahlen (Binärzahlen), Hexadezimalzahlen und Oktalzahlen aufgeführt.
 
 

Dezimal	Dual / Binär	Hexadezimal	Oktal
0	00000000	00	0
1	00000001	01	1
2	00000010	02	2
3	00000011	03	3
4	00000100	04	4
5	00000101	05	5
6	00000110	06	6
7	00000111	07	7
8	00001000	08	10
9	00001001	09	11
10	00001010	0A	12
11	00001011	0B	13
12	00001100	0C	14
13	00001101	0D	15
14	00001110	0E	16
15	00001111	0F	17
16	00010000	10	20
17	00010001	11	21
18	00010010	12	22
19	00010011	13	23
20	00010100	14	24
21	00010101	15	25
22	00010110	16	26
23	00010111	17	27
24	00011000	18	30
25	00011001	19	31
26	00011010	1A	32
27	00011011	1B	33
28	00011100	1C	34
29	00011101	1D	35
30	00011110	1E	36
31	00011111	1F	37
32	00100000	20	40
33	00100001	21	41
34	00100010	22	42
35	00100011	23	43
36	00100100	24	44
37	00100101	25	45
38	00100110	26	46
39	00100111	27	47
40	00101000	28	50
41	00101001	29	51
42	00101010	2A	52
43	00101011	2B	53
44	00101100	2C	54
45	00101101	2D	55
46	00101110	2E	56
47	00101111	2F	57
48	00110000	30	60
49	00110001	31	61
50	00110010	32	62
51	00110011	33	63
52	00110100	34	64
53	00110101	35	65
54	00110110	36	66
55	00110111	37	67
56	00111000	38	70
57	00111001	39	71
58	00111010	3A	72
59	00111011	3B	73
60	00111100	3C	74
61	00111101	3D	75
62	00111110	3E	76
63	00111111	3F	77
64	01000000	40	100
65	01000001	41	101
66	01000010	42	102
67	01000011	43	103
68	01000100	44	104
69	01000101	45	105
70	01000110	46	106
71	01000111	47	107
72	01001000	48	110
73	01001001	49	111
74	01001010	4A	112
75	01001011	4B	113
76	01001100	4C	114
77	01001101	4D	115
78	01001110	4E	116
79	01001111	4F	117
80	01010000	50	120
81	01010001	51	121
82	01010010	52	122
83	01010011	53	123
84	01010100	54	124
85	01010101	55	125
86	01010110	56	126
87	01010111	57	127
88	01011000	58	130
89	01011001	59	131
90	01011010	5A	132
91	01011011	5B	133
92	01011100	5C	134
93	01011101	5D	135
94	01011110	5E	136
95	01011111	5F	137
96	01100000	60	140
97	01100001	61	141
98	01100010	62	142
99	01100011	63	143
100	01100100	64	144
101	01100101	65	145
102	01100110	66	146
103	01100111	67	147
104	01101000	68	150
105	01101001	69	151
106	01101010	6A	152
107	01101011	6B	153
108	01101100	6C	154
109	01101101	6D	155
110	01101110	6E	156
111	01101111	6F	157
112	01110000	70	160
113	01110001	71	161
114	01110010	72	162
115	01110011	73	163
116	01110100	74	164
117	01110101	75	165
118	01110110	76	166
119	01110111	77	167
120	01111000	78	170
121	01111001	79	171
122	01111010	7A	172
123	01111011	7B	173
124	01111100	7C	174
125	01111101	7D	175
126	01111110	7E	176
127	01111111	7F	177
128	10000000	80	200
129	10000001	81	201
130	10000010	82	202
131	10000011	83	203
132	10000100	84	204
133	10000101	85	205
134	10000110	86	206
135	10000111	87	207
136	10001000	88	210
137	10001001	89	211
138	10001010	8A	212
139	10001011	8B	213
140	10001100	8C	214
141	10001101	8D	215
142	10001110	8E	216
143	10001111	8F	217
144	10010000	90	220
145	10010001	91	221
146	10010010	92	222
147	10010011	93	223
148	10010100	94	224
149	10010101	95	225
150	10010110	96	226
151	10010111	97	227
152	10011000	98	230
153	10011001	99	231
154	10011010	9A	232
155	10011011	9B	233
156	10011100	9C	234
157	10011101	9D	235
158	10011110	9E	236
159	10011111	9F	237
160	10100000	A0	240
161	10100001	A1	241
162	10100010	A2	242
163	10100011	A3	243
164	10100100	A4	244
165	10100101	A5	245
166	10100110	A6	246
167	10100111	A7	247
168	10101000	A8	250
169	10101001	A9	251
170	10101010	AA	252
171	10101011	AB	253
172	10101100	AC	254
173	10101101	AD	255
174	10101110	AE	256
175	10101111	AF	257
176	10110000	B0	260
177	10110001	B1	261
178	10110010	B2	262
179	10110011	B3	263
180	10110100	B4	264
181	10110101	B5	265
182	10110110	B6	266
183	10110111	B7	267
184	10111000	B8	270
185	10111001	B9	271
186	10111010	BA	272
187	10111011	BB	273
188	10111100	BC	274
189	10111101	BD	275
190	10111110	BE	276
191	10111111	BF	277
192	11000000	C0	300
193	11000001	C1	301
194	11000010	C2	302
195	11000011	C3	303
196	11000100	C4	304
197	11000101	C5	305
198	11000110	C6	306
199	11000111	C7	307
200	11001000	C8	310
201	11001001	C9	311
202	11001010	CA	312
203	11001011	CB	313
204	11001100	CC	314
205	11001101	CD	315
206	11001110	CE	316
207	11001111	CF	317
208	11010000	D0	320
209	11010001	D1	321
210	11010010	D2	322
211	11010011	D3	323
212	11010100	D4	324
213	11010101	D5	325
214	11010110	D6	326
215	11010111	D7	327
216	11011000	D8	330
217	11011001	D9	331
218	11011010	DA	332
219	11011011	DB	333
220	11011100	DC	334
221	11011101	DD	335
222	11011110	DE	336
223	11011111	DF	337
224	11100000	E0	340
225	11100001	E1	341
226	11100010	E2	342
227	11100011	E3	343
228	11100100	E4	344
229	11100101	E5	345
230	11100110	E6	346
231	11100111	E7	347
232	11101000	E8	350
233	11101001	E9	351
234	11101010	EA	352
235	11101011	EB	353
236	11101100	EC	354
237	11101101	ED	355
238	11101110	EE	356
239	11101111	EF	357
240	11110000	F0	360
241	11110001	F1	361
242	11110010	F2	362
243	11110011	F3	363
244	11110100	F4	364
245	11110101	F5	365
246	11110110	F6	366
247	11110111	F7	367
248	11111000	F8	370
249	11111001	F9	371
250	11111010	FA	372
251	11111011	FB	373
252	11111100	FC	374
253	11111101	FD	375
254	11111110	FE	376
255	11111111	FF	377

 

  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurss (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Zahlumwandlung

 

Beispiel 1:

Die Addition der Zahlen 7 + 5 ergibt bei einer eingestellten Basis von 16 folgende Ergebnisse:

Zahl zur Basis 16: 7 + 5 = C

Dezimal (Zahl zur Basis 10): 7 + 5 = 12
(entspricht der Durchführung der Berechnung 7+5 = 12 im Dezimalsystem)
 

Beispiel 2:

Wird bei einer Basis von 2 (Dualzahlen) eine Addition der Zahlen 7 + 5 durchgeführt, so ermittelt das Programm:

Zahl zur Basis 2: 1 + 111 = 1000

Dezimal (Zahl zur Basis 10): 1 + 7 = 8

(entspricht der Durchführung der Berechnung 1 + 7 = 8 im Dezimalsystem)
 

 

Beispiel 1


Beispiel 2

 

Beispiel 3
 

Beispiel 4
 

Beispiel 5
 

Beispiel 6
 

Beispiel 7
 

Beispiel 8

     

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Stellenwertsystem
Wikipedia - Zahlensystem
Wikipedia - Dezimalsystem
Wikipedia - Dualsystem

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Zahlenumwandlung - Umrechner für Stellenwertsysteme

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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