MathProf - Fibonacci-Zahlen - Lucas-Zahlen - Fibonacci Folge - Fibonacci Folgen

Modul Zahlen III

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Das kleine Unterprogramm [Algebra] - [Zahlen] - Zahlen III ermöglicht die Ermittlung der ersten Glieder von Fibonacci- und Lucas-Zahlen, sowie die Zerlegung gerader Zahlen in Summen zweier Primzahlen.

 

 
Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci fand im Jahre 1202 die nach ihm benannte Folge beim Studium der Vermehrung von Kaninchen.
 
Betrachtet wird die Nachkommenschaft eines (idealisierten) Kaninchenpaares, welche bekanntlich sehr groß ist. Für die Simulation werden folgende Annahmen gemacht.
 

• Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von zwei Monaten fortpflanzungsfähig
• Jedes Kaninchenpaar bringt von diesem Zeitpunkt an jeden Monat ein neues Paar zur Welt
• Alle Kaninchen leben ewigWenn $a$_n die Anzahl der Kaninchenpaare bezeichnet, die im $n$-ten Monat leben, so ergibt sich hierfür die Fibonacci-Folge.

 
Ihre rekursive Bildungsvorschrift  lautet:
 
a₁ = 1 , a₂ = 1
a_n+2 = a_n+1 + a_n
 
Die explizite Darstellung für die Fibonacci-Folge mit a₁ = 1 und a₂ = 1 lautet:
 

 
Wie von Johannes Kepler (1571 - 1630) festgestellt wurde, nähert das Verhältnis einer Fibonacci-Zahl zu ihrer Vorangegangenen in der Folge dem Wert des Goldenen Schnitts Φ. Je größer die beiden in Relation stehenden Fibonacci-Zahlen sind, desto genauer wird der Wert für Φ = (1+Ö5)/2 = 1,6180339.
 
Fibonacci-Zahlen tauchen bei der Beschreibung ganz allgemeiner Wachstumsvorgänge in der Natur immer wieder auf. (z.B.: Anordnung der Knospen an einem Stängel, bei der Vermehrung von Tieren, in Spiralen von Sonnenblumen)
 
Die Folge der Lucas-Zahlen baut sich nach derselben Gesetzmäßigkeit auf wie Fibonacci-Zahlen. Deren Startwerte sind jedoch a₁ = 1 , a₂ = 3.
 
Fibonacci-ähnliche Zahlen besitzen die Bildungsvorschrift:
 
a_n+1 = a_n + a_n-1
 
Deren Startwerte a(0) und a(1) sind frei wählbar.
 
 
Tribonacci Zahlen besitzen die Bildungsvorschrift:
 
a_n+1 = a_n + a_n-1 + a_n-2
 
Deren Startwerte a(0), a(1) und a(2) sind ebenfalls frei wählbar.
   
Wählen Sie das Registerblatt Fibonacci- und Lucas-Zahlen und legen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Fibonacci-Zahlen, Lucas-Zahlen, Fibonacci-ähnliche Zahlen oder Tribonacci-Zahlen, die Art der Folge fest, deren Werte Sie sich ausgeben lassen möchten. Sollen Fibonacci-ähnliche, oder Tribonacci-Zahlen ermittelt werden, so legen Sie durch die Eingabe ganzer Zahlen die Werte für die Startglieder a(0), a(1) bzw. a(2) in den entsprechenden Feldern fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so werden die Ergebnisse in der Tabelle ausgegeben.
   
Unter der Goldbachschen Vermutung wird heute allgemein die Behauptung verstanden:
 

Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen, noch widerlegt.

Mathematiker haben mittlerweile (Stand April 2007) diese Vermutung für alle Zahlen bis 10¹⁸ überprüft und für richtig befunden. Ein Beweis dafür, dass diese für jede beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies selbstverständlich nicht. Von einer Mehrzahl der Mathematiker wird angenommen, dass diese Vermutung wahr ist, denn gemäß der statistischen Verteilung der Primzahlen gilt: Je größer eine gerade Zahl ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass es zwei Primzahlen gibt, deren Summe die gewünschte Zahl ist.
 
Bewiesen wurde inzwischen, dass jede gerade Zahl (größer als 2) als Summe von höchstens sechs Primzahlen ausgedrückt werden kann. Ferner bewies 1966 der Mathematiker Chen, dass jede hinreichend große gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl geschrieben werden kann, welche maximal zwei Primfaktoren besitzt.
   
Nach einer Aktivierung des Registerblatts Goldbachsche Paare können Zerlegungen zuvor beschriebener Art durchgeführt werden.
 
Wird der Kontrollschalter Zerlegung in Einzelkombinationen aktiviert, so gibt das Programm stets eine der evtl. mehrfach existierenden Lösungen aus. Wird hingegen der Kontrollschalter Zerlegung in alle Kombinationen gewählt, so versucht es, alle möglichen Primzahl-Kombinationen zu ermitteln, die diese Bedingung erfüllen.
 
Gestartet werden kann diese Suche nach einer Festlegung des Untersuchungsbereichs durch die Eingabe ganzzahliger Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Von und bis. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Kombinationen in der Tabelle ausgegeben.
   
Da die Durchführung dieser Berechnungen sehr zeitaufwändig sein kann, können Sie diese jederzeit durch einmaliges Drücken der Taste ESC abbrechen.
   
Zahlen I
Zahlen II
   
Beispiel 1 - Fibonacci-Zahlen:
 
Für die ersten Fibonacci-Zahlen erhalten Sie: 1,2,3,5,8,13,21,34,55 ...
 
Die ersten Lucas-Zahlen sind: 2,3,4,7,11,18,29,47,76 ...
 
Fibonacci-ähnliche Zahlen mit den Startwerten a(0) = 1 und a(1) = 4 sind:  3,4,7,11,18,29,47,76,123,199 ...
 
Tribonacci-Zahlen mit den Startwerten a(0) = 2, a(1) = 4  und a(2) = 5 sind:  2,4,5,11,20,36,67,123,226 ...
 
Beispiel 2 - Goldbachsche Paare:
 
Wurde in beide Felder die Zahl 56 eingegeben und der Kontrollschalter Zerlegung in Einzelkombinationen gewählt, so gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die Kombination 56 = 3 + 53 aus. Wählen Sie für diese Zahl hingegen Zerlegung in alle Kombinationen, so gibt das Programm folgende Primzahlkombinationen aus:
 
56 = 3 + 53
56 = 13 + 43
56 = 19 + 37
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 Beispiel 1
 

 Beispiel 2
 

 Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Fibonacci-Folge sowie unter Wikipedia - Lucas-Folge zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Taschenrechner

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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