MathProf - Kreis - Sehnenwinkel - Kreiswinkel - Mittelpunktswinkel

Modul Winkel am Kreis

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Das Unterprogramm [Trigonometrie] - [Winkel  an Kreis und Parallelen] - Winkel am Kreis bietet die Möglichkeit, Winkelverhältnisse am Kreis grafisch zu untersuchen.

 

Positionen der einzelnen zur Verfügung stehenden Peripheriepunkte können mit den entsprechenden Rollbalken verändert werden. Ebensolches gilt für den Radius des Kreises. Es werden hierbei die untereinander geltenden Beziehungen der folgenden Winkel aufgezeigt:
 

• Peripheriewinkel
• Zentriwinkel
• Sehnenwinkel
• Sehnentangentenwinkel

Winkel deren Scheitelpunkte auf der Kreisline liegen und deren Schenkel Sehnen sind, heißen Umfangswinkel oder Peripheriewinkel.

Winkel deren Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist, tragen die Bezeichnung Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel. Ein Winkel heißt Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel), wenn sich sein Scheitel im Kreismittelpunkt befindet.

Der Winkel der mit einer Tangente am Kreis, die durch Punkt A oder Punkt B auf der Peripherie des Kreises verläuft, entsteht heißt Sehnentangentenwinkel. Er wird von der Sehne [AB] und der Kreistangente im Punkt A bzw. B begrenzt.
 
Als Basiswinkel werden die beiden gleich großen Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ADM bezeichnet.
 
   
Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz oder Randwinkelsatz):

Der Umfangswinkelsatz besagt: Für alle Dreiecke ADB, bei denen Punkt C auf einem festen Kreisbogen über der festen Sehne AD liegt, ist der Winkel ABD gleich groß. Alle Umfangswinkel über einem gleichen Kreisbogen sind somit gleich groß. Es gilt: Sehnentangentenwinkel bei Punkt A = Peripheriewinkel ABD.

Zudem gilt: Alle Peripheriewinkel über einem Halbkreis sind Winkel mit dem Maße 90.
 
Sehnentangentenwinkelsatz (Kreiswinkelsatz  oder Zentriwinkelsatz):

Der Sehnentangentenwinkelsatz  besagt: Ein Zentriwinkel ist doppelt so gross wie ein Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen. Der Sehnentangentenwinkel eines Kreisbogens ist gleich groß wie der zugehörige Umfangswinkel (Peripheriewinkel) und halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel). Der Sehnentangentenwinkelsatz wird auch als Kreiswinkelsatz  oder Zentriwinkelsatz bezeichnet.
 

 
Veranschaulichen können Sie sich die oben beschriebenen Zusammenhänge, wenn Sie Folgendes ausführen:
 

1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Radius den Radius des Kreises fest.
    
2. Benutzen Sie die auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Position A, Position B, Position C, Position D um Winkeleinstellungen vorzunehmen.
    
3. Bestimmen Sie durch die Aktivierung der Kontrollkästchen Punkte und Koord., ob relevante Punkte beschriftet und zugehörige Koordinatenwerte ausgegeben werden sollen.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:

Da Abhängigkeiten zwischen den Winkeln bestehen, werden momentan nicht benutzte Rollbalken vom Programm automatisch positioniert.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Bei jeder beliebigen Positionierung von Rollbalken kann entnommen werden, dass gilt:

 

Sehnentangentenwinkel bei Punkt A = Peripheriewinkel ABD.
 

Werden die entsprechenden Rollbalken folgendermaßen positioniert:

Position A: 165°

Position B: 72°

Position C: 263°

Position D: 326°
 

so erhalten Sie die Ergebnisse:

Peripheriewinkel ABD: 80,5°

Peripheriewinkel ACD: 99,5°

Zentriwinkel AMD: 161°

Sehnentangentenwinkel an Punkt A: 80,5°

Basiswinkel ADM/DAM: 49,75°

 

Hierbei ist u.a. festzustellen, dass der Zentriwinkel AMD mit 161° doppelt so groß ist wie der Sehnentangentenwinkel bei A mit 80,5° und der Peripheriewinkel ABD mit 80,5°.

 

Verändern Sie die Position beliebiger Rollbalken, so wird ersichtlich, dass gilt: Der Zentriwinkel AMD ist stets doppelt so groß wie die Sehnentangentenwinkel und doppelt so groß wie Peripheriewinkel ABD.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kreiswinkel zu finden.
 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Winkel an Parallelen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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