MathProf - Urnenmodelle - Ohne Zurücklegen - Mit Zurücklegen

 

Modul Urnenmodell

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Das kleine Teilprogramm [Stochastik] - Urnenmodell ermöglicht die Analyse von Zusammenhängen, die bei der Durchführung von Ziehungen (Zufallsversuche) am Urnenmodell gelten.

 

 

Ein Urnenmodell beschreibt ein hypothetisches Experiment und stellt eine Form der Zufallsstichprobe dar. Hierfür wird ein fiktives Gefäß mit unterschiedlich gefärbten Kugeln gefüllt, welche anschließend zufällig gezogen werden. Mit Hilfe eines Urnenmodells lassen sich somit verschiedene Zufallsexperimente simulieren und Erwartungswerte entnehmen. Von einem Zufall wird gesprochen, wenn für ein einzeln eintretendes Ereignis oder für ein Zusammentreffen mehrerer Ereignisse keine ursächliche Erklärung gefunden werden kann.
 
Beeinflussen sich zwei Ereignisse nicht gegenseitig, so werden diese als stochastisch unabhängig bezeichnet. In diesem Fall bleibt die Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Ereignisses nach Bekanntwerden des anderen gleich. Dieses Modul ermöglicht das Erstellen und Untersuchen eines Urnenmodells.
 

Zusammenfassend lassen sich derartige Ziehungen durch folgende Urnenmodelle charakterisieren:
 

Von 1 bis n Kugeln werden k aus einer Urne zufällig gezogen, wobei

• Modell 1: Ziehung in geordneter Reihenfolge, mit Zurücklegen
  Anzahl der Möglichkeiten: n^k
• Modell 2: Ziehung in geordneter Reihenfolge, ohne Zurücklegen
  Anzahl der Möglichkeiten: n! /(n-k)!
• Modell 3: Ungeordnete Ziehung, mit Zurücklegen
  Anzahl der Möglichkeiten: (n+k-1)! / (k! (n-1)!)
• Modell 4: Ungeordnete Ziehung, ohne Zurücklegen
  Anzahl der Möglichkeiten: n! / (k! (n-k)!)

beschreibt.
 

Ziehen mit Zurücklegen:

Als Ziehen mit Zurücklegen wird ein Urnenmodell bezeichnet, bei dem jede gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.

Aus einer Urne wird eine bestimmte Anzahl von Kugeln gezogen. Bei der Ziehung mit Zurücklegen verringert sich die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugel. Bei Wiederholung des Ziehens können maximal so viele Kugeln gezogen werden, wie sich zu Anfang in der Urne befanden.

Ziehen ohne Zurücklegen:

Als Ziehen ohne Zurücklegen wird ein Urnenmodell bezeichnet, bei dem eine gezogene Kugel nicht wieder in die Urne zurückgelegt wird.

Aus einer Urne wird eine bestimmte Anzahl von Kugeln gezogen. Diese werden nach Durchführung der Ziehung wieder zurückgelegt. Das Ziehen mit Zurücklegen entspricht somit der Wiederholung des erstmailgen Ziehens bei anfänglicher Kugelanzahl.

Zufallsversuche - Zufallsexperimente:

Als Zufallsversuch oder Zufallsexperiment wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Experiment bezeichnet, welches unter genau definierten Bedingungen mindestens zweimalig durchgeführt wird und über einen zufälligen Ausgang besitzt.
 
Einstufige Zufallsversuche - Zweistufige Zufallsversuche - Mehrstufige Zufallsversuche:

Dieses Unterprogramm stellt die Ziehungsverläufe eines Urnenmodells in Form eines Baumdiagramms dar. Die Durchführung von Experimenten und Auswertung der Ergebnisse kann einstufig, zweistufig oder mehrstufig mit bis zu drei Ziehungen (Zügen) erfolgen (einstufiges Zufallsexperiment, zweistufiges Zufallsexperiment oder mehrstufiges Zufallsexperiment).

Baumdiagramm - Wahrscheinlichkeitsbaum - Entscheidungsbäume:

Baumdiagramme dienen der hierarchischen Darstellung der möglichen Ergebnisse eines Ablaufs. Im vorliegenden Fall werden Baumdiagramme dazu verwendet, die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens von Ereignissen bei mehrstufigen Zufallsexperimenten grafisch darzustellen. Ein Baumdiagramm wird auch als Wahrscheinlichkeitsbaum oder Entscheidungsbaum bezeichnet.
    

 

Bei dem in diesem Modul durchzuführenden Zufallsexperiment muss unterschieden werden, ob bereits gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt werden, oder nicht. Dies kann durch die Aktivierung der hierfür zur Verfügung stehenden Kontrollschalter Mit Zurücklegen bzw. Ohne Zurücklegen durchgeführt werden. Wird eine Kugel wieder zurückgelegt, so bleibt ihre Wahrscheinlichkeit beim nächsten Zug gezogen zu werden gleich, andernfalls verändert sie sich.

 

Die Anzahl zu wiederholender Züge bestimmen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge. An den Rollbalken Rot, Grün und Blau legen Sie die Anzahl der sich in der Urne befindenden Kugeln fest.

 

Ausgegeben werden die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der Ziehung bestimmter Kugeln an den Pfadenden. Die verwendeten Beschriftungskürzel r, g und b beschreiben die Farben rot, grün und blau.
 

 
Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird dem Eintreten eines Ereignisses bei einem Zufallsexperiment eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Wird ein eintretendes Ereignis mit dem Buchstabe A angegeben, so wird die ihm zuzuordnende Wahrscheinlichkeit mit p(A) bezeichnet.
 
Pfadwahrscheinlichkeit:

Als Pfadwahrscheinlichkeit wird die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, dass bei der Durchführung eines mehrstufigen Zufallsexperiments ein mögliches Ereignis eintritt.

Elementarereignisse:

Als Elementarereignis wird ein Ereignis bezeichnet, das exakt ein Element beinhaltet.

Erwartungswert:

Ein Erwartungswert ist derjenige Wert, den eine Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt (Mittelwert).
 

 
Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments stellt ein Ergebnis dar. Alle Ergebnisse stehen in der Ergebnismenge. Die Ergebnismenge bzw. der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse (Elementarereignisse) eines Zufallsexperiments in einer Menge. Die Anordnung (Reihenfolge) sowie die Anzahl der Elemente mit welchen ein Zufallsexperiment durchgeführt wurde sind hierbei nicht von Bedeutung.
 
Die Ergebnismenge bei einem Zufallsexperiment mit einer, wie oben beschriebenen Urne kann wie folgt beschrieben werden: {Rot ; Grün ; Blau}.

Das Resultat eines Zufallsereigisses wird als Ergebnis ω bezeichnet.

Beispiele für Ergebnisse:

1. Werfen einer Münze:

Mögliche Ergebnbisse (Resultate) sind hierbei Kopf oder Zahl.
Das mögliche Ergebnis Zahl würde wie folgt beschrieben: ω = Z (für das mögliche Ergebnis Zahl)

2. Werfen eines Würfels

Ein mgliches Ergebnis ist hiebei die Zahl 4.
Dieses mögliche Ergebnis (Resultat) würde wie folgt beschrieben: ω = 4 (für die Zahl 4 als mögliches Ergebnis)

Andere mögliche Ergebnisse wären in diesem Fall ω=1, ω=2, ω=3, ω=5 und ω=6.  

Als Ergebnisraum oder Ergebnismengen werden alle Ergebnisse bezeichnet, die bei der Durchführung eines Experiments resultieren können. Das Symbol für einen Ergebnisraum ist der griechische Großbuchstabe Ω.

Beispiele:

1. Beim Würfeln wäre der Ergebnisraum Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, da alle Möglichkeiten der eintretbaren Ergebnisse diese Zahlen sind.

2. Beim Werfen einer Münze wäre der Ergebnisraum Ω = {Kopf ; Zahl}, da alle Möglichkeiten der eintretbaren Ergebnisse ein Kopf oder eine Zahl sind.


Es wird zwischen drei verschiedenartigen Ergebnisräumen unterschieden. Dies sind:

1. Endlicher Raum:

Die Anzahl möglicher eintretbarer Ereignisse kann angegeben werden.
Die obere Grenze hinsichtlich möglicher eintretbarer Ereignisse kann angegeben werden.

Beispiele:
Werfen einer Münze, Würfeln

2. Abzählbarer, unendlicher Raum

Die Anzahl möglicher eintretbarer Ereignisse kann angegeben werden.
Eine obere Grenze hinsichtlich möglicher eintretbarer Ereignisse kann nicht angegeben werden

Beispiele:
Durchführung des Werfens eine Münze bis das Wappen erscheint.
Würfeln bis die Zahl 6 erscheint.

3. Überabzählbarer, unendlicher Raum

Die Anzahl möglicher eintretbarer Ereignisse kann nicht angegeben werden.

Beispiel:
Durchführung eines Tests bis deser bestanden ist. Die dafür benötigte Zeit kann von theoretisch wenigen Minuten bis zur zeitlichen Unendlichkeit reichen.
  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Kombinatorik

Pfadregel

 

 

Zufallsversuche - Beispiel 1:

 

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 2 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen.

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Mit Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 2

 

Das Programm ermittelt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten (Multiplikationsregel):
 

 

Zufallsversuche - Beispiel 2:

In einer Urne befinden sich 3 grüne und 4 blaue Kugeln. Nacheinander werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ohne Zurücklegen. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements Anz. Züge die Zahl 2 fest. Positionieren Sie die Rollbalken wie folgt:

 

Rot: 0

Grün: 3

Blau: 4

 

Das Programm gibt folgende Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeiten aus:

 

 

 

Beispiel 1


Beispiel 2


Beispiel 3


Beispiel 4


Beispiel 5
 

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Urnenmodell zu finden.

 

Kombinatorik - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kombinatorik

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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