MathProf - Ungleichungen - Lösen - Lösungsmenge

Modul Ungleichungen - Prinzp

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Das Unterprogramm [Algebra] - Ungleichungen - Prinzip ermöglicht die grafische Darstellung der Lösungsmengen linearer Ungleichungen.

 

 
Die Verbindung zweier Terme der Form <, >, ≤ oder ≥ heißt Ungleichung. Sie beschreibt die Verbindung zweier Terme, welche durch Ungleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Die Lösungsmenge einer Ungleichung beinhaltet die Menge aller Werte, für welche die Ungleichung in eine wahre Aussage überführt wird.
 
Systeme von Ungleichungen setzen sich aus mehreren Einzelungleichungen zusammen. Ein lineares Ungleichungssystem besteht aus wenigstens zwei linearen Ungleichungen. Die Lösungen gegebener Ungleichungssysteme bilden sich aus den gemeinsamen Lösungen vorliegender Ungleichungen.
 
 

 
Ungleichungen gliedern sich in folgende Bereiche:

Lineare Ungleichungen mit einer Variable:

Eine lineare Ungleichung mit einer Variable ist eine Ungleichung, die eine lineare Funktion mit einer Variable beinhaltet und ein Ungleichheitszeichen enthält.

Beispiel: 5x -4 ≥ 2x - 1

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen:

Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen ist eine Ungleichung, die eine lineare Funktion mit zwei Variablen beinhaltet und ein Ungleichheitszeichen enthält.

Beispiel: -3x + 2y < 4

Betragsungleichungen:

Bei einer Betragsungleichung handelt es sich um eine Ungleichung, die Beträge von Zahlen beinhaltet.

Beispiel:|x-2| > -3

Quadratische Ungleichungen:

Eine quadratische Ungleichung ist eine Ungleichung, die einen quadratischen Term enthält. Sie kann mit Hilfe der pq-Formel gelöst werden.

Beispiel: 3x - 4 ≤ x² - 2x +4

Bruchungleichungen:

Bei einer Bruchungleichung handelt es sich um eine Ungleichung, die wenigstens einmalig eine Variable beinhalten, die im Nenner eines Bruchs vorkommt.

Beispiel: 2/(x - 1) > 3

Ungleichungsketten:

Als Ungleichungskette werden Ungleichungen bezeichnet, deren Terme mehrere Ungleichheitszeichen beinhalten.

Beispiele zu Ungleichungsketten:

−5 < −3 < x
1 < x + 2 < 5
 
    

 
Eine Ungleichung besitzt meist nicht lediglich eine, sondern viele (unendlich viele) Lösungen. Die Menge aller Lösungen einer Ungleichung heißt Lösungsmenge.

Als Vergleichszeichen (Relationszeichen oder Relationssymbole) werden die üblichen Zeichen für die Darstellung der Größenverhältnisse zweier Zahlen oder Terme bezeichnet.
 
Lineare Ungleichungen können nach denselben Regeln und Gesetzmäßigkeiten gelöst werden wie lineare Gleichungen. Es gilt hierbei jedoch das Inversionsgesetz zu beachten. Dieses lautet wie folgt:

Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen (Relationszeichen) um (Äquivalenzumformung)

Eine Äquivalenzumformung bezeichnet die Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die deren Wahrheitswert unverändert lässt.
 

Eine lineare Ungleichung der Form ax + by > c kann in die Form y > -a/bx + c/b gebracht werden.

 

Grundsätzlich gilt hierbei: Die Lösungsmenge einer Ungleichung bleibt bei Äquivalenzumformungen erhalten, wenn beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert (Term) addiert, bzw. subtrahiert wird, oder beide Seiten der Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert, bzw. dividiert werden. Wird dies mit einer negativen Zahl durchgeführt, so muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.

Zusammenfassung äquivalenter Umformungen bei Ungleichungen:
 

• Addition und Subtraktion eines beliebigen Terms auf beiden Seiten
• Beidseitige Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl
• Beidseitige Multiplikation und Division mit einer negativen Zahl mit einem Vertauschen der Relationszeichen (aus < wird >, aus ≤ wird ≥, aus > wird <, aus ≥ wird ≤)

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Nachfolgend aufgeführt sind zwei Beispiele zur Durchführung der oben beschriebenen Vorgehensweise.

Beispiel 1 - Ohne Drehung des Ungleichheitszeichens:

Gegeben sei die Ungleichung 8(x - 1) + 1 > 5x + 10.

Lösungsweg:

8(x - 1) + 1 > 5x + 10
8x - 8 + 1 > 5x + 10
8x - 7 > 5x + 10  | -5x
3x - 7 > 10 | +7
3x > 17 | :3
x > 17/3

Hieraus ergibt sich für die Lösungsmenge: L={x ∣ x>17/3}

Beispiel 2 - Mit Drehung des Ungleichheitszeichens:

4 - x < 2(3 + x)
4 - x < 6 + 2x | -2x
4 - 3x < 6
-3x < 6/4
-3x < 3/2 | : -3

Da eine Division durch eine negative Zahl erfolgt, muss das Ungleichheitzeichen umgekeht werden. Hieraus folgt:

x > -1/2

Die Lösungsmenge lautet somit: L={x ∣x>-1/2}
 
 

 
In diesem Teil stellt das Programm ein Modul zur Verfügung, um Untersuchungen mit einer oder zwei linearen Ungleichungen der Form y ≥ mx+b bzw. y ≤ mx+b durchzuführen und sich die Lösungsmengen dieser grafisch darstellen zu lassen. Die blaue Gerade beschreibt die 1. Ungleichung, die grüne Gerade die 2. Ungleichung.
 

Grafisch interpretiert beschreibt diese Gleichung als Lösungsmenge, alle Punkte die oberhalb der Geraden y = -a/bx + c/b liegen. Die Gerade beschreibt den Verlauf der linearen Ungleichung.

 

Die entsprechenden Zeichen in einer Ungleichung o.a. Art beschreiben Folgendes:

 

Zeichen (Relationszeichen, Relationssymbole)	Menge
>	Größer: Menge aller Punkte, welche oberhalb der Funktion liegen
≥	Größer gleich: Menge aller Punkte, welche oberhalb und auf der Funktion liegen
<	Kleiner: Menge aller Punkte, welche unterhalb der Funktion liegen
≤	Kleiner gleich: Menge aller Punkte, welche unterhalb und auf der Funktion liegen

  

Unter Verwendung einer einzelnen Ungleichung wird die Lösungsmenge einer Ungleichung farblich markiert. Werden zwei Ungleichungen verwendet, so ermittelt das Programm die Lösungsmengen eines Systems zweier Ungleichungen und kennzeichnet diese farblich.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Die Anzahl zu verwendender Gleichungen können Sie durch die Aktivierung der Kontrollschalter 1 Gleichung bzw. 2 Gleichungen festlegen. Die Koeffizientenwerte m und b der linearen Ungleichungen legen Sie durch eine Bedienung der entsprechenden Rollbalken fest. Die Funktionsgleichung der festgelegten Bedingungen wird unterhalb der entsprechenden Rollbalken ausgegeben.

 

Wird das Kontrollkästchen Nat. Lsg.-Menge aktiviert, so stellt das Programm die ganzzahligen Lösungen des Ungleichungssystems grafisch dar. Hierbei markiert es Punkte der Lösungsmenge, die ganzzahlige Koordinatenwerte besitzen.

 

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok.
 

Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter 2 Gleichungen. Es gilt, sich die Lösungsmengen des nachfolgend aufgeführten Ungleichungssystems grafisch darstellen zu lassen:

 

1. Ungleichung: Y ≥ -2·x+1

2. Ungleichung: Y ≤ 0,5·x+2

 

Die blaue Gerade beschreibt die 1. Ungleichung, die grüne Gerade die Zweite dieser.

 

 

Aktivieren Sie für Ungleichung 1 (links) den Kontrollschalter >= (oben) und für Ungleichung 2 (rechts) den Kontrollschalter <= (unten), so liegen die Lösungen des Systems aufgrund der gegebenen Relationsbedingungen (auf und) oberhalb der blauen Gerade (>=) und (auf und) unterhalb der grünen Gerade (<=).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Ungleichung
Wikipedia - Lösen von Ungleichungen

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Spezielle Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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