MathProf - Tangente - Polardarstellung - Polarform

 

Modul Tangente - Normale mit Funktionen in Polarform

---

Das Modul [Analysis] - [Funktionen in Parameter- und Polarform] - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform bietet die Möglichkeit, Analysen bzgl. der Tangenten und Normalen mit Funktionen in Polarform durchzuführen.

 

    
Das Programm untersucht hierbei mathematische Funktionen die in Polarform definiert sind auf Folgendes:

• Gleichungen der Tangenten in Kurvenpunkten
• Gleichungen der Normalen in Kurvenpunkten
• Eigenschaften von Krümmungskreisen

Grafisch darstellen lassen sich u.a.:
 

• Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form r = f(w,p) bzw. r = f(j,p)
• Funktionen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form w = f(r,p) bzw. j = f(r,p)
   
• Kurven der 1. und 2. Ableitung der Funktionen
• Tangenten in Hoch-, Tief- und Wendepunkten, sowie Krümmungskreise der untersuchten Kurven
• Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)

   
Das Unterprogramm ermöglicht die Verwendung von Funktionstermen in Polarform der Arten:
 
Standardform: r = f(w)
Variante:  w = f(r)
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Eine in Polarkoordinaten dargestellte Funktion wird durch eine Gleichung der Form r = f(j) beschrieben. In diesem Programm muss das Zeichen W für den Winkel j verwendet werden. Bei der Durchführung von Untersuchungen mit Funktionen der Form j = f(r) ist bei der Definition eines Funktionsterms das Zeichen R zu verwenden.
 
Durch eine Selektion des Eintrags Standard bzw. Variante aus der Auswahlbox legen Sie fest, mit welcher Definitionsform Kurven dargestellt, bzw. Untersuchungen durchgeführt werden sollen. Voreingestellt ist die Verwendung der am häufigsten benötigten Form Standard.
 
Übersicht:
 

Definition	In Fachliteratur übliche Bezeichnung	Bezeichnung in MathProf
Standardform:	r = f(j)	r = f(w)
Variante:	j = f(r)	w = f(r)

 
Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung der Standard-Definitionsform eingegangen.
 
Die Durchführung einer Analyse mit Funktionen in Polarform können Sie veranlassen, indem Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie den Funktionsterm in dem zur Verfügung stehenden Eingabefeld mit der Bezeichnung r = f(w,p) =, gemäß den geltenden Syntaxregeln.
    
2. Soll die Untersuchung nur an einem bestimmten Kurvenpunkt durchgeführt werden, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Statisch und legen den Wert für Winkel w im dafür vorgesehenen Eingabefeld fest. Um eine interaktive Analyse an beliebiger Position der Kurve durchzuführen, wählen Sie den Kontrollschalter Interaktiv.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte den Untersuchungsbereich für den Wertebereich für Winkel w fest, innerhalb dessen die Analyse durchgeführt werden soll (Winkel w von w1 = und bis w2 =) (voreingestellt: -π £ w £ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die Berechnungen durchgeführt und deren Ergebnisse ausgegeben. Zur Ausführung von Berechnungen darf keiner der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P enthalten!
    
5. Bestimmen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    
6. Um sich die Tangenten oder Normalen, welche durch den untersuchten Punkt verlaufen, zeigen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um Krümmungskreise, welche durch den untersuchten Punkt verlaufen, grafisch ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskr.
    
7. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung und 2. Ableitung fest, ob eine Darstellung der 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung der Kurve ausgegeben werden soll.
    
8. Wurde die Darstellungsart Interaktiv gewählt, so legen Sie mit Hilfe des Rollbalkens Winkelpos. w den Wert für die Winkelposition w fest, bei welcher die Untersuchung durchgeführt werden soll. Die einstellbare Untersuchungsbereichsweite richtet sich nach den auf dem Hauptformular, unter Winkel von w1 = und bis w2 = vorgegebenen Einstellungen.
    
9. Die Darstellung der Evolute der Kurve erreichen Sie durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Evolute.
    
10. Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
    
    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear bzw. Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Polarkoordinatensystem.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Wurde zur Durchführung einer Untersuchung dieser Art ein Funktionsterm erstellt, der nicht das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.


 
Enthält der erstellte Term das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung von Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte von Punkten sowie zugehöriger Werte für Winkel w ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Funktionen in Polarform
Funktionen in Polarform - Variante
Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen
Funktionswertetabellen
Kurvenscharen
   
Beispiel 1 - Kartesisch:
 
Eine Kurve, welche durch die Funktion r = f(j) = 5·(1+9/10·cos(4·j)) über einen Winkelwertebereich -π £ j £ π beschrieben wird, ist bei Winkelposition j = -0,2 auf deren o.a. Eigenschaften untersuchen zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Legen Sie durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Winkel w von w1 = und bis w2 = einen Wertebereich von -π £ j £ π fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist).
 
Nach der Selektion des Eintrags Kartesisch aus der Auswahlbox und der Eingabe der Terms 5·(1+9/10·COS(4·W)) in das dafür vorgesehene Feld, der Festlegung des Werts w = -0,2 im Feld Untersuchungsstelle, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm für diese Winkelposition aus:
 
Ortskoordinaten des Punkts an untersuchter Stelle w = -0,2: Punkt: P (7,973 / -1,616)
 
Tangente in P: Y = 0,379·X - 4,637
Normale in P: Y = -2,639·X + 19,425
Mittelpunkt des Krümmungskreises: M (6,414 / 2,499)
Radius des Krümmungskreises: r = 4,401
Krümmung in P: kr = 0,227
 
Beispiel 2 - Variante:
 
Es gilt, die Kurve, welche durch den Term j = f(r) = cos(r-2/3) über einen Werteberech -5 £ r £ 5 definiert ist, bei r = 2 auf deren o.a. Eigenschaften untersuchen zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Legen Sie durch die Eingabe der entsprechenden Werte in die Felder mit den Bezeichnungen Radius r von r1 = und bis r2 = einen Wertebereich von -5 £ r £ 5 fest.
 
Nach einer Selektion des Eintrags Variante aus der Auswahlbox und der Eingabe des Terms COS(R-2/3) in das dafür vorgesehene Feld, der Festlegung des Werts r = 2 im Feld Untersuchungsstelle, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm für diese Position aus:
 
Ortskoordinaten des Punkts an untersuchter Stelle r = 2: Punkt: P (1,945 / 0,466)
 
Tangente in P: Y = -1,163·X + 2,727
Normale in P: Y = -0,86·X - 1,207
Mittelpunkt des Krümmungskreises: M (0,644 / -0,653)
Radius des Krümmungskreises: r = 1,716
Krümmung in P: kr = -0,583
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Polarkoordinaten sowie unter Wikipedia - Tangente und Wikipedia - Ableitung zu finden.

 

 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen  - Geometrische Lösung quadratischer Gleichungen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton - Interaktiv - Interpolation nach Lagrange - Interaktiv - Polynomregression - Interaktiv - Nullstellen - Iterationsverfahren - Interaktiv - Tangente - Normale - Interaktiv - Tangente - Sekante - Interaktiv - Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv - Simpson-Regel - Keplersche Fassregel - Spline-Interpolation - Spline-Interpolation - Interaktiv - Bézier-Kurven - Astroide - Kardioide - Konstruktion einer Kardioide - Konstruktion einer Hypozykloide - Konchoide - Lemniskate - Cassinische Kurven - Pascalsche Schnecke - Trisektrix - Zweiblatt-Kurve - Konstruktion krummliniger Kurven - Logarithmische Spirale - Konstruktion - Hyperbolische Spirale - Fourier-Analyse (Fast Fourier Transformation - FFT) - Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv - Harmonische Synthese - Analyse implizit definierter Gleichungen - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II - Schnittkurven von Flächen in expliziter Form - Zahlenfolgen - Interaktiv II - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II - Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv - Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv - Funktionen in Parameterform - Polarkoordinaten - Funktionen in Polarform - Variante - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform - Segmentweise definierte Funktionen - Interaktiv - Inverse von Funktionen - Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen - Ermittlung von Funktionsparametern - Funktionsschnittpunkte - Interaktiv - Kettenlinie - Funktionsstetigkeit
 

 

 
Unterprogramm Tangente - Normale mit Funktionen in Polarform
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

---

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---