MathProf - Tangente - Punkt - Außen - Rechner - Berechnen
Fachthema: Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv
MathProf - Analysis - Programm für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Durchführung der interaktiver Ermittlungen, bei denen Tangenten an Kurven gelegt werden, die durch einen extern der Tangente liegenden, Punkt verlaufen.
Existiert eine derartige Tangente, so gibt das Programm die Eigenschaften der entsprechenden Tangente(n) aus. Der Punkt von dem aus Tangenten an die Kurve gelegt werden, ist frei wählbar. Auch lassen sich Normalen berechnen und darstellen, die durch die Tangentenberührpunkte verlaufen.
Die Berechnung der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Eintritt einer interaktiven Operation dar. Jedes relevante Ergebnis einer durchgeführten Berechnung zu diesem Fachthema wird aktualisiert ausgegeben.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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| Themen und Stichworte zu diesem Modul: Tangente - Punkt - Außen - Extern - Rechner - Berechnen - Darstellen - Zeichnen - Plotten |
Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv
Modul Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv
Das Unterprogramm [Analysis] - [Tangente - Normale - Sekante] - Tangente und Normale von externem Punkt ermöglicht die Durchführung der interaktiven Ermittlung von Tangenten und Normalen an Kurven, welche durch einen, extern dieser liegenden, Punkt verlaufen.
Das Programm ermittelt hierbei u.a. die, durch einen von der Kurve extern liegenden Punkt, verlaufenden Tangenten an diese und gibt Folgendes aus:
- Gleichungen der Tangenten an eine Kurve, die durch einen extern liegenden Punkt, sowie einen auf der Kurve liegenden Punkt verlaufen
- Tangentenpunkte der Kurve, durch welche zuvor aufgeführte Tangenten verlaufen
- Steigungswinkel zuvor aufgeführter Tangenten
- Gleichungen der Normalen, die durch die ermittelten
Tangentenpunkte der Kurve verlaufen - Steigungswinkel der Normalen, die durch die ermittelten Tangentenpunkte der Kurve verlaufen
Um Sachverhalte bzgl. dieses Fachthemas zu analysieren, sollte wie nachfolgend beschrieben vorgegangen werden:
- Definieren Sie die entsprechende Funktion im dafür vorgesehenen Eingabefeld mit der Bezeichnung f(x,p) =. Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln unter Berücksichtigung der unter Hinweise aufgeführten Einschränkungen.
- Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
- Möchten Sie die Koordinatenwerte des extern liegenden Punktes P mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
Um Punkt P exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
- Soll der voreingestellte Untersuchungsbereich (-4 £ x £ 4) verändert werden, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich einer Markierung des Bereichs und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
- Legen Sie durch eine Selektion des Eintrags Tangenten, Normalen oder Tangenten und Normalen aus der Auswahlbox fest, ob eine Darstellung ermittelter Tangenten und Normalen erfolgen soll. Soll zudem die 1. Ableitung der definierten Funktion ausgegeben werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung 1. Ableitung.
- Enthält der Funktionsterm das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des Parameters P zu untersuchen.
- Möchten Sie Analysen mit Hilfe von Simulationen durchführen, so wählen Sie durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters Bereich oder Parameter P die Art der Simulation die Sie durchführen lassen möchten.
Um den Bereich simulativ verändern, oder eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Vor Ausführung der Simulation zur Änderung des Untersuchungsbereichs wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der kein Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.
Wurde zur Analyse der Zusammenhänge ein Funktionsterm erstellt, der das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Punkte: Anzeige der Beschriftung des extern liegenden Punkts und der Bereichsmarkierung ein-/ausschalten
- Koordinaten: Anzeige der Koordinaten des extern liegenden Punkts und der Bereichsmarkierung ein-/ausschalten
- U-Bereich mark.: Untersuchungsbereichsmarkierung ein-/ausschalten
Nicht für alle im Programm, standardmäßig zur Verfügung stehenden, mathematischen Funktionen kann die Ermittlung einer externen Tangente durchgeführt werden. Bei Verwendung nicht dafür vorgesehener Funktionen wird eine entsprechende Meldung ausgegeben, bzw. bei Ausgabe der grafischen Darstellung angezeigt.
Zugelassene Funktionen sind:
SIN,COS,TAN,ARCSIN,ARCCOS,ARCTAN,SINH,COSH,TANH,LN,LOG,LG und ABS.
Zur Definition einer Wurzelfunktion verwenden Sie die Syntax: X^(0,5) bzw. X^(1/2).
Die Deklaration einer Funktion der Form EXP(X) ist mit E^X festzulegen.
Unter bestimmten Voraussetzungen, bei der Verwendung entsprechender Terme bzw. der Zuweisung entsprechender Untersuchungsstellen, kann es bei der Benutzung dieses Moduls zum Absturz des Programms (bzw. sehr lange andauernder Berechnungszeit) kommen und es erfolgt keine Reaktion mehr auf durchzuführende Ereignisse. Verwenden Sie in diesem Fall die Tastenkombination Strg-Alt-Entf und beenden Sie das Programm im Taskmanager. Nach einem erneuten Start kann es hierauf wieder uneingeschränkt benutzt werden.
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Tangente und Normale von externem Punkt
Tangente – Normale
Tangente – Sekante
Kurvendiskussion
Es gilt, für eine gebrochenrationale Funktion, welche durch den Term f(x,p) = p/2·(x²+2·x-1)/(-x²-x-1) beschrieben wird, alle externen Tangenten an die durch diese beschriebene Kurve ermitteln zu lassen, wenn der Parameter P der Funktion die Werte
P = -4
P = -2
P = 4
annimmt und die Tangenten dieser Kurve durch Punkt P (4 / -4) verlaufen sollen.
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Eingabe des Terms P/2*(X^2+2*X-1)/(-X^2-X-1), einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen und der Definition des Punktes (4 / -4) durch einen Klick auf die Schaltfläche Punkt, sowie einer Veränderung der Rollbalkenposition auf die entsprechenden Parameterwerte, gibt das Programm bei einer festgelegten Untersuchungsbereichsweite von -5 £ x £ 5 folgendes aus:
Bei einer Positionierung des Rollbalkens Parameter P auf den Wert -4:
Die Kurve der Funktion f(x) = -4/2*(X^2+2*X-1)/(-X^2-X-1) besitzt eine externe Tangente t1, welche duch die Punkte P (4 / -4) und T1 (-3,136 / 0,666) verläuft.
Die Gleichung der Kurventangente, welche durch die Punkte P und T1 verläuft, lautet: Y = -0,65532*X - 1,38936
Bei einer Positionierung des Rollbalkens Parameter P auf den Wert -2:
Die Kurve der Funktion f(x) = -2/2*(X^2+2*X-1)/(-X^2-X-1) besitzt eine externe Tangente t1, welche durch die Punkte P (4 / -4) und T1 (-2,441 / 0,017) verläuft, sowie eine externe Tangente t2, welche durch die Punkte P (4 / -4) und T2 (-0,685 / -2,424) verläuft.
Die Gleichung der Kurventangente t1, welche durch die Punkte P und T1 verläuft, lautet: Y = 0,62501*X - 1,50872
Die Gleichung der Kurventangente t2, welche durch die Punkte P und T2 verläuft, lautet: Y = -0,31911*X - 2,64235
Bei einer Positionierung des Rollbalkens Parameter P auf den Wert 4:
Die Kurve der Funktion f(x) = 4/2*(X^2+2*X-1)/(-X^2-X-1) besitzt eine externe Tangente t1, welche durch die Punkte P (4 / -4) und T1 (-8,541 / 4,761) verläuft, sowie eine externe Tangente t2, welche durch die Punkte P(4 / -4) und T2 (-1,261 / -1,616) verläuft.
Die Gleichung der Kurventangente t1, welche durch die Punkte P und T1 verläuft, lautet: Y = -1,96915*X + 3,69554
Die Gleichung der Kurventangente t2, welche durch die Punkte P und T2 verläuft, lautet: Y = -0,86684*X - 0,52313
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Grafische Darstellung - Beispiel 6
Grafische Darstellung - Beispiel 7
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Tangente zu finden.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Logarithmische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen - Geometrische Lösung quadratischer Gleichungen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton - Interaktiv - Interpolation nach Lagrange - Interaktiv - Polynomregression - Interaktiv - Nullstellen - Iterationsverfahren - Interaktiv - Tangente - Normale - Interaktiv - Tangente - Sekante - Interaktiv - Simpson-Regel - Keplersche Fassregel - Spline-Interpolation - Spline-Interpolation - Interaktiv - Bézier-Kurven - Astroide - Kardioide - Konstruktion einer Kardioide - Konstruktion einer Hypozykloide - Konchoide - Lemniskate - Cassinische Kurven - Pascalsche Schnecke - Trisektrix - Zweiblatt-Kurve - Konstruktion krummliniger Kurven - Logarithmische Spirale - Konstruktion - Hyperbolische Spirale - Fourier-Analyse (Fast Fourier Transformation - FFT) - Taylor- und Potenzreihen - Interaktiv - Harmonische Synthese - Analyse implizit definierter Gleichungen - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante I - Höhenlinien - Konturen von Flächen in expliziter Form - Variante II - Schnittkurven von Flächen in expliziter Form - Zahlenfolgen - Interaktiv II - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv II - Arithmetische Zahlenfolgen - Interaktiv - Geometrische Zahlenfolgen - Interaktiv - Funktionen in Parameterform - Polarkoordinaten - Funktionen in Polarform - Variante - Tangente - Normale mit Funktionen in Parameterform - Tangente - Normale mit Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Interaktiv - Inverse von Funktionen - Gemeinsame Darstellung von Kurven verschiedener Darstellungsformen - Ermittlung von Funktionsparametern - Funktionsschnittpunkte - Interaktiv - Kettenlinie - Funktionsstetigkeit
Unterprogramm Tangente und Normale von externem Punkt - Interaktiv
MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
