MathProf - Tangens am Einheitskreis - Cotangens am Einheitskreis

Modul Tangens und Cotangens am Einheitskreis

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Unter dem Menüpunkt [Trigonometrie] - [Trigonometrische Funktionen] - Tangens und Cotangens am Einheitskreis werden die Zusammenhänge der trigonometrischen Funktionen Tangens und Cotangens mit Hilfe eines Zeigerdiagramms am Einheitskreis aufgezeigt.

 

Als trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) werden rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen bezeichnet. Zu ihnen zählen unter anderem die Tangensfunktion sowie ihr Kehrwert, die Cotangensfunktion.

Bei der Tangensfunktion handelt es sich um eine trigonometrische Funktion die einen periodischen Verlauf aufweist. Ihre Ordinatenwerte wiederholen sich mit der Periode p =  pi. Ebensolches gilt für die Cotangensfunktion. Die Tangensfunktion besitzt Nullstellen bei x_k = k·π, die Cotangensfunktion bei x_k = π/2 + k·π. Der Tangens besitzt Stellen an denen er nicht definiert ist. Es sind dies die Positionen x_k = π/2 + k·π. Auch der Cotangens besitzt Stellen bei denen dies zutrifft. Es handelt sich um die Positionen x_k = k·π.

Weitere wesentliche Eigenschaften wie Definitionsbereich, Wertebereich, Periode und Symmetrie dieser beiden Funktionen können der unten eingebundenen Tabelle entnommen werden. Auch werden häufig benötigte Werte dieser beiden Funktionen in der unten gezeigten Tangenstabelle bzw. Cotangenstabelle ausgegeben.

Am Einheitskreis finden sich die Tangenswerte als Schnittpunkte von einer, durch den Punkt P(1;0) verlaufenden, Parallele zur y-Achse und der Parallelen zur x-Achse durch diesen Punkt. Der Ordinatenwert dieses Schnittpunktes gibt den Wert des Tangens des Drehwinkels α einer Geraden durch den Punkt P und den Kreismittelpunkt an. Der Tangens ist der Quotient aus Sinus und Cosinus, der Cotangens der Kehrwert dessen.

 

Diese Sachverhalte können in diesem Unterprogramm untersucht werden.

 

 

Durch die Bedienung des Rollbalkens Winkel wird der Drehwinkel des Punktes (Pfeilspitze) auf dem Einheitskreis verändert und auf seine Position in den Funktionsgrafen für Tangens und Cotangens transferiert.

 

Die entsprechenden Werte für die Funktionen Tangens und Cotangens werden, abhängig von der Lage des Punktes auf dem Einheitskreis ausgegeben. Außerdem wird der Drehwinkel einer Gerade (bzgl. der Abszisse) durch den Punkt auf dem Einheitskreis, sowohl im Grad- wie auch im Bogenmaß angezeigt.

 

Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Gradmaß bzw. Bogenmaß kann gewählt werden, ob Abszissenwerte im Grad- oder im Bogenmaß ausgegeben werden sollen.

 

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

• Cotangens: Darstellung der Cotangens-Funktion ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Sinus und Cosinus am Einheitskreis

 

Wird Rollbalken Winkel auf den Wert 130° eingestellt und wird Kontrollschalter Gradmaß aktiviert, so werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Tangens (130°) = -1,192

Cotangens (130°) = -0,839
 

Additionstheoreme für Winkelfunktionen sind Formeln mit Hilfe derer die Summe oder Differenz von Argumenten (Winkeln) auf die Werte trigonometrischer Funktionen einzelner Winkel zurückgeführt werden.
 
Nachfolgend aufgeführt finden Sie u.a. die geltenden Additionstheoreme für Tangens und Cotangens bzw. deren Rechengesetze und die entsprechenden Rechenregeln.

Additionstheoreme für Tangens:
 

 
Additionstheoreme für Cotangens:
 

   
Doppelwinkelfunktion für Tangens und Cotangens:
 

   
 

 

In den aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Tangens und Cotangens aufgeführt.

 

	tan x	cot x
sin x	± tan(x)/√1 - tan²x	± 1/√1 + cot²x
cos x	± 1/√1 + tan²x	± cot(x)/√1 + cot²x
tan x	-	1/cot(x)
cot x	1/tan(x)	-

 
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

 

Additionstheoreme für Tangens und Cotangens:

tan(x₁ ± x₂) = (tan x₁ ± tan x₂₎ / (1 ± tan x₁ · tan x₂)
cot(x₁ ± x₂) = (cot x₁ · cot x₂ ± 1) / (cot x₂ ± cot x₁₎

 

Formel für doppelten Winkel von Tangens:

tan(2x) = 2 · tan(x) / (1 - tan²(x))

Formel für Summe und Differenz von Tangens:

tan(x₁) ± tan(x₂) = sin(x₁ ± x₂) / cos(x₁ · x₂)

Formel für Produkte von Tangens:

tan(x₁) · tan(x₂) = (tan(x₁) + tan(x₂)) / (cot(x₁) + cot(x₂))
 

 

 

Wesentliche Eigenschaften der Tangensfunktion und Cotangensfunktion sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt.
 

	y = tan(x)	y = cot(x)
Definitionsbereich	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = π/2 + k·π	x ∈ R mit Ausnahme der Stellen xk = k·π
Wertebereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Periode	π	π
Symmetrie	ungerade	ungerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Pole	xk = π/2 + k·π	xk = k·π
Vertikale Asymptoten	x = π/2 + k·π	x = k·π

 
 

 

 

Die Einteilung der Quadranten im Koordinatensystem erfolgt gemäß der nachfolgend gezeigten Darstellung.
 


Die hierbei geltende Quadrantenregel (Vorzeichenregel) für die trigonometrischen Funktionen Tangens und Cotangens wird in nachfolgender Tabelle gezeigt.
 

Quadrant	I	II	III	IV
Tangens	+	-	+	-
Cotangens	+	-	+	-

 
Quadrantenbeziehungen:
 

Quadrant	Winkel	Tangens	Cotangens
I	α	+ tan α	+ cot α
II	180° - α	- tan α	- cot α
III	180 + α	+ tan α	+ cot α
IV	360° - α	- tan α	- cot α
I	90° - α	+ cot α	+ tan α
II	90° + α	- cot α	- tan α
III	270° - α	+ cot α	+ tan α
IV	270° + α	- cot α	- tan α

 

Nachfolgend aufgeführt ist eine Umrechnungstabelle einiger häufig benötigter Tangens- und Cotangenswerte.
 

 
 

Die folgende Tabelle (Tangenstabelle) beinhaltet einige Tangenswerte.

 

Winkel	Tangens
0°	0
10°	0,1763269807084
20°	0,3639702342662
30°	0,5773502691896
40°	0,8390996311772
45°	1
50°	1,1917535925942
60°	1,7320508075688
70°	2,7474774194546
80°	5,6712818196177
90°	nicht definiert
100°	-5,6712818196177
110°	-2,7474774194546
120°	-1,7320508075688
130°	-1,1917535925942
140°	-0,8390996311772
150°	-0,5773502691896
160°	-0,3639702342662
170°	-0,1763269807084
180°	0

  

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
       

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Einheitskreis
Wikipedia - Tangens und Kotangens
 

 

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Sinus und Cosinus am Einheitskreis

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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