MathProf - Strophoide - Strophoide berechnen - Strophoide zeichnen

Modul Strophoide

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Kurven n-ter Ordnung] - Strophoide kann die Konstruktion einer Strophoide untersucht werden.

 

 

Eine Strophoide ist der geometrische Ort aller Punkte P1 und P2, die auf einem beliebigen Strahl durch den Punkt P liegen. Sie ist eine algebraische Kurve 3. Grades und kann durch folgende Gleichungen beschrieben werden:
 

1. Gleichung in kartesischer Form:

 

(a - x)y² = (a + x)x³

 

2. Gleichungen in Parameterform:

 

x = a(k² - 1) / (1 + k²)

y = ak(k² - 1) / (1 + k²)

 

3. Gleichung in Polarform:

 

r = -a cos 2(φ) / cos (φ)

Beschreibung der Erzeugung einer Strophoide:

 

Gegeben sei ein Kreis K₁, dessen Mittelpunkt S auf der Abszisse liegt. Dessen Radius sei so gewählt, dass Kreis K₁ an die Ordinate tangiert. Ein Strahl, ausgehend von S, schneide die Y-Achse in einem Punkt R. Wird ein Kreis K₂ um den Punkt R gezogen, dass er die Abszisse tangiert (in Punkt N), so schneidet dieser den Strahl in den Punkten P und Q. Bewegt sich Punkt R entlang der Y-Achse, so liegen die Punkte P und Q auf einer Strophoide.

 

Diese Sachverhalte können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

1. Asymptote einer Strophoide:
 

Die Gleichung der Asymptote einer Strophoide lautet:

x = a

2. Fläche (Flächeninhalt) zwischen der Strophoide und der Asymptote:

Die Fläche zwischen der Kurve und der Asymptote beträgt:

A = 2a² + π a²/2

3. Flächeninhalt der Schleife:

Der Flächeninhalt der Schleife einer Strophoide beträgt:

A = 2a² - π a²/2
 

Darstellung

 
Durch die Bedienung der Rollbalken Radius r1 sowie Radius r2 legen Sie die Radien der beiden Kreise fest. Bei einer Veränderung der Position des Rollbalkens Winkelpos. wird der Verlauf der Konstruktion der Kurve demonstriert. Soll die Asymptote der Strophoide dargestellt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Asymptote.
 
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Hilfslinien: Darstellung der zur Konstruktion benötigten Hilfslinien u. Kreise ein-/ausblenden
• Kurve hervorheben: Linienstärke der Strophoide normal/fett

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Funktionen in Parameterform

Funktionen in Polarform

 

 

Positionieren Sie Rollbalken Radius r1 auf den Wert 5, Rollbalken Radius r2 auf den Wert 6 und Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 140, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform

 

r = -5·cos(2φ)/cos(φ)

 

über einen Winkelbereich von 0 ≤ φ ≤ 140 (im Gradmaß) beschrieben wird.

 

Der Flächeninhalt (bei komplett dargestellter Kurve) der Schleife, welche durch die Abszissenpunkte S und N begrenzt wird, beträgt A1 = 10,73 FE.

 

Für den Inhalt der Fläche (bei komplett dargestellter Kurve) zwischen der Asymptote und der Kurve ermittelt das Programm: A1 = 89,27 FE.

 

Für die Längen der Strecken RP, RQ und RN ermittelt das Programm den Wert 6. Die Mittelpunkte der Kreise befinden sich bei Punkt S (-5 / 0) und Punkt R (0 / -6).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Strophoide zu finden. 

 

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Zissoide

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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