MathProf - Spline - Interpolation - Splines - Interpolieren - Rechner

 

Modul Spline-Interpolation

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Glättungskurven] - Spline-Interpolation können Untersuchungen zum Fachthema Spline-Interpolation mit kubischen Splines durchgeführt werden.

 

Als Spline n-ten Grades wird eine Funktion bezeichnet, die sich sukzessive aus Polynomen zusammensetzt, die den maximalen Grad n besitzen. An den Stellen (Knoten), an welchen sich zwei Polynomsegmente treffen (aneinanderstoßen) werden zudem bestimmte Bedingungen gestellt.

Oftmals ist es notwendig, möglichst glatte Kurven durch eine Anzahl vorgegebener Punkte zu approximieren. Unter Zuhilfenahme von Polynominterpolationen entstehen jedoch starke Oszillationen, da Polynome n-ten Grades auch n-1 Extremstellen aufweisen. Mit Hilfe der Spline-Interpolation kann dieses Problem umgangen werden. Hierzu werden für einzelne Segmente des Kurvenverlaufs kubische Polynome der Form
 
f(x) = a₃ (x – x_n)³ + a₂ (x – x_n)² + a₁ (x – x_n) + a₀
 
verwendet. Eine derartige Funktion ist eine zweimal stetig differenzierbare Spline-Funktion. An allen Punkten, die als Stützstellen der Kurve gewissermaßen Nahtstellen zwischen den einzelnen Teilkurven darstellen, wird gefordert dass die Funktionswerte sowohl derer ersten, wie auch zweiten Ableitungen übereinstimmen. Dies bedeutet, dass zwei aneinandergrenzende Splines an den entsprechenden Nahtstellen dieselben Steigungswerte besitzen müssen.
 
Werden oben aufgeführte Bedingungen an allen Punkten berücksichtigt und sind die Werte der 2. Ableitungen an den Randpunkten gleich dem Wert 0, so spricht man von natürlichen Splines.
 
Auch besteht die Möglichkeit der Festlegung besonderer Vorgabebedingungen an den äußeren Randpunkten (Randpunkt-Restriktionen). Hierbei wird von nicht-natürlichen Splines gesprochen.
 
Zu diesen Vorgabebedingungen gehören:

• Parabolisch: Der Wert der 2. Ableitung in der Nähe des linken bzw. rechten Randpunkts wird als konstant betrachtet
• Extrapoliert: Extrapolation des Werts der 2. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt
• Werte der 1. Ableitung an Randpunkten: Festlegung eines Werts der 1. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt
• Werte der 2. Ableitung an Randpunkten: Festlegung eines Werts der 2. Ableitung im linken bzw. rechten Randpunkt

Das Programm ermittelt die entsprechenden Funktionsterme der einzelnen Splines und gibt diese in einer Tabelle aus (in unaufgelöster, wie auch in aufgelöster Form). Ebenso ermittelt es die Fläche unter dem Kurvensegment im entsprechenden Bereich und führt eine Kurvendiskussion mit den Spline-Funktionen durch.
 
Um Spline-Interpolationen durch die manuelle Festlegung der Koordinatenwerte von Stützstellen durchführen zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Natürlich, Parabolisch, Extrapoliert, Werte der 1. Abl. an Randp. bzw. Werte der 2. Abl. an Randp. die Art der durchzuführenden Spline-Interpolation.
    
2. Wurde der Kontrollschalter Werte der 1. Abl. an Randp. bzw. Werte der 2. Abl. an Randp. gewählt, so geben Sie zusätzlich die Werte ein, welche die 1. bzw. 2. Ableitung der Spline-Kurve in den Randpunkten P(x₀) bzw. P(x_n) besitzen sollen.
    
3. Geben Sie die Koordinatenwerte der zu verwendenden Stützstellen (mindestens 3) in die dafür vorgesehenen Felder ein und bedienen Sie die Schaltfläche Übernehmen.
    
4. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis alle erforderlichen Punkte aufgenommen sind.
    
5. Möchten Sie einen Eintrag in der Tabelle löschen, so fokussieren Sie diesen und bedienen die Schaltfläche Löschen. Soll ein bereits eingetragener Wert geändert werden, so fokussieren Sie zunächst den entsprechenden Eintrag in der Tabelle, geben den neuen Wert in das Feld ein und bedienen hierauf die Schaltfläche Ersetzen. Um alle Einträge zu löschen, kann die Schaltfläche Alle löschen verwendet werden.
    
6. Kann mit den festgelegten Werten eine Spline-Interpolation durchgeführt werden, so werden die Ergebnisse nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen im Formularbereich Ergebnisse ausgegeben.
    
7. Möchten Sie sich die Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung oder 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der ermittelten Splines ausgegeben werden soll.
    
9. Durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen Nullstellen, Extrema bzw. Wendepunkte legen Sie fest, ob eine Kurvendiskussion mit den ermittelten Splines durchgeführt werden soll.
    
10. Um sich zusätzlich die Gesamtfunktion eines Splines darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Ges.-Fkt. und wählen aus der aufklappbaren Auswahlliste den entsprechenden Eintrag (S1(x) .. Sn(x)).

Hinweise:
Wird ein Abszissenwert mehrfach verwendet, so kann keine Spline-Interpolation durchgeführt werden und Sie erhalten eine entsprechende Fehlermeldung.
 
Vor der Ausführung von Berechnungen sortiert das Programm die eingegebenen Koordinatenwertpaare bezüglich der aufsteigenden Reihenfolge derer Abszissenwerte automatisch.
 
Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden nach Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens angezeigt:

• Nullstellen der Splines (N: Nullstelle
• Extrema der Splines  (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)
• Wendepunkte der Splines (W: Wendepunkt)

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Bei Ausgabe einer grafischen Darstellung nachfolgend gezeigtes Bedienformular zur Verfügung gestellt.



Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Markierung und Nummerierung der Stützstellen ein-/ausschalten
• Koord.: Anzeige der Koordinaten der Stützstellen ein-/ausschalten
• Beschriftung: Markierung und Nummerierung der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte

   
Möchten Sie die Koordinaten eingegebener Stützstellen speichern, so kann dies über den Menüeintrag Datei - Stützstellen speichern durchgeführt werden. Um mit bereits gespeicherten Werten eine Analyse durchzuführen, verwenden Sie den Menüeintrag Datei - Stützstellen laden. Beim Öffnen einer Datei werden bereits eingegebene Werte durch die Dateidaten überschrieben!
 
Es besteht auch die Möglichkeit die auszuwertenden Daten in einer Excel-Tabelle zu definieren. Die Zahlenwerte sind nach folgendem Schema in der Excel-Tabelle festzulegen: In Spalte A der Excel-Tabelle legen Sie die Messwerte fest. Beginnen Sie mit der Eingabe im obersten Feld dieser Spalte.
 
Speichern Sie diese Tabelle hierauf in einer Datei ab.
 
Sollen diese Daten wieder geladen werden, so wählen Sie im Programm den Menüeintrag Datei - Excel-Daten importieren und öffnen Sie die entsprechende Datei. Eingelesen werden alle Werte bis zum ersten leeren Feld der Excel-Tabellen-Spalte.
 
Beachten Sie, dass kein Abszissenwert mehrfach verwendet wird, da mit diesen Daten ansonsten keine Spline-Interpolation durchgeführt werden kann.
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Spline - Interpolation - Interaktiv
Mathematische Funktionen I
Mathematische Funktionen II
   
Beispiel 1 - Natürliche Splines:
 
Nach Festlegung der Koordinatenwerte für die Stützpunkte P1 (-18 / -1), P2 (-3 / 0), P3 (6 / -2) und P4 (24 / 3), der Wahl des Kontrollschalters Natürlich und einer Bedienung des Schalters Berechnen ermittelt das Programm Folgendes:
 
Spline-Funktion im Bereich von x1 = -18 bis x2 = -3:
 
S1(x) = -0,0005·(X+18)³+0,1867·(X+18)-1
S1(x) = -0,0005·X³ - 0,0288·X² - 0,332·X - 0,751 (aufgelöst)
 
Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = -0,0005
a2 = 0
a1 = 0,1867
a0 = -1

Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A1 = -0,74597 FE

Spline-Funktion im Bereich von x2 = -3 bis x3= 6:
 
S2(x) = 0,0021·(X+3)³-0,024·(X+3)²-0,1735·(X+3)
S2(x) = 0,0021·X³ - 0,0054·X² - 0,2618·X - 0,6808 (aufgelöst)

Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = 0,0021
a2 = -0,024
a1 = 0
a0 = -0,1735
 
Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A2 = -9,47177 FE
 
Spline-Funktion im Bereich von x3 = 6 bis x4 = 24:
 
S3(x) = -0,0006·(X-6)³+0,0318·(X-6)²-0,1036·(X-6)-2
S3(x) = -0,0006·X³ + 0,0424·X² - 0,5485·X - 0,1073
(aufgelöst)

Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = -0,0006
a2 = 0,0318
a1 = 0,1036
a0 = -2
 
Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A3 = -6,44516 FE
 
Weitere Ergebnisse:
 
Für die Gesamtfläche unter den Kurvensegmenten S1(x) - S3(x) wird ausgegeben: A = -16,663 FE
 
Bei Ausgabe der grafischen Darstellung kann bzgl. der Eigenschaften der ermittelten Spline-Funktionen im Bereich von x1 = -18 bis x4 = 24 nach einer Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen auf dem Bedienformular Folgendes entnommen werden:
 
Die ermittelten Funktionen besitzen:

Nullstellen:

N1 (-12,04 / 0)
N2 (-3 / 0)
N3 (17,201 / 0)    

Hochpunkt:

H (-7,2 / 0,345)    

Tiefpunkt:    

T (7,711 / -2,087)    

Wendepunkte:

W1 (-18 / -1)
W2 (0,874 / -0,912)
W3 (24 / 3)

 
Beispiel 2 - Splines bei Festlegung der Werte der 1. Ableitung an den Randpunkten:
 
Nach Festlegung der Koordinatenwerte für die Stützpunkte P1 (-24 / -1), P2 (-4 / -2), P3 (-1 / -1) und P4 (8 / 1) und P5 (26 / 4), der Aktivierung des Kontrollschalters Werte der 1. Abl. an Randp., der Eingabe der Zahlenwerte 0.4 in das Feld mit der Bezeichnung P'(x0) und 2.0 in das Feld mit der Bezeichnung P'(xn) sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen ermittelt das Programm:
 
Spline-Funktion im Bereich von x1 = -24 bis x2 = -4:

S1(x) = 0,0018·(X+24)³-0,0589·(X+24)²+0,4·(X+24)-1
S1(x) = 0,0018·X³ + 0,0722·X² + 0,7182·X - 0,1654 (aufgelöst)
 
Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = 0,0018
a2 = -0,0589
a1 = 0,4
a0 = -1

Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A1 = -24,274 FE

Spline-Funktion im Bereich von x2 = -4 bis x3 = -1:

S2(x) = -0,0051·(X+4)³+0,0503·(X+4)²+0,2282·(X+4)-2
S2(x) = -0,0051·X³ - 0,0108·X² + 0,3862·X - 0,6081 (aufgelöst)
 
Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = -0,0051
a2 = 0,0503
a1 = 0,2282
a0 = -2

Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A2 = -4,623 FE

Spline-Funktion im Bereich von x3 = -1 bis x4 = 8:

S3(x) = -0,0026·(X+1)³+0,0045·(X+1)²+0,3926·(X+1)-1
S3(x) = -0,0026·X³ - 0,0033·X² + 0,3937·X - 0,6056 (aufgelöst)
 
Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = -0,0026
a2 = 0,0045
a1 = 0,3926
a0 = -1

Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A3 = 3,721 FE

Spline-Funktion im Bereich von x4 = 8 bis x5 = 26:

S4(x) = 0,0047·(X-8)³-0,0657·(X-8)²-0,1586·(X-8)+1
S4(x) = 0,0047·X³ - 0,1774·X² + 1,7863·X - 4,3192 (aufgelöst)
 
Die Koeffizienten der einzelnen Polynome sind somit:
 
a3 = 0,0047
a2 = -0,0657
a1 = -0,1586
a0 = 1

Die Fläche unter dem Kurvensegment in diesem Bereich beträgt: A4 = -13,283 FE
 
Weitere Ergebnisse:

Für die Gesamtfläche unter den Kurvensegmenten S1(x) - S4(x) wird ausgegeben: A = -38,46 FE
 
Bei Ausgabe der grafischen Darstellung und nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens 1. Ableitung ist zu ersehen, dass die 1. Ableitung der ermittelten Spline-Kurve die vorgegebenen Werte - am ersten, linken Randpunkt P1 den Wert 0.4 und am letzten, rechten Randpunkt P5 den Wert 2.0 - aufweist.
 
Nach einer Aktivierung der entsprechenden Kontrollschalter kann entnommen werden, dass die ermittelten Splines folgende Eigenschaften besitzen:

Nullstellen:

N1 (1,586 / 0)
N2 (11,136 / 0)
N3 (23,424 / 0)

Hochpunkte:

H1 (-19,779 / -0,224)
H2 (6,691 / 1,101)

Tiefpunkte:

T1 (-6,648 / -2,285)
T2 (18,494 / -2,522)

Wendepunkte:

W1 (-13,214 / -1,255)
W2 (-0,428 / -0,774)
W3 (12,706 / -0,717)
  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Spline-Interpolation zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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