MathProf - Polyeder - Johnson-Körper - Vielflächner - Konvex

 

Modul Spezielle Polyeder

---

Das Unterprogramm [Geometrie] - Spezielle Polyeder ermöglicht die räumliche Darstellung von Johnson-Polyedern wie auch anderer Polyeder.

 

 
 

Ein Polyeder (ein Vielflächner) ist ein dreidimensionaler Körper, der durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt ist. Diese sind über Kanten und Ecken miteinander verbunden. Je zwei Flächen besitzen eine gemeinsame Kante. Die Schnittpunkte der Kanten von drei, oder mehr Polygonen bilden die Ecken des Polyeders. In ihnen berühren sich stets drei, oder mehr Polyederflächen. Gilt für sämtliche Ecken eines Polyeders, dass die Summe der Flächenwinkel der Flächen, die diese Ecken bilden, kleiner als 360° ist, so bezeichnet man ihn als konvex.

 

Johnson-Polyeder (Johnson-Körper) sind streng konvexe Polyeder, welche ausschließlich aus regelmäßigen Vielecken bestehen, jedoch weder Platonische Körper, Archimedische Körper, Prismen noch Antiprismen sind. 1966 veröffentlichte Norman Johnson eine Liste 92 derartiger Polyeder, die nicht in einfachere Polyeder ihrer Art zerlegbar sind. Dieses Programmmodul ermöglicht die Betrachtung all derer.

 

Neben Platonischen, Archimedischen und Johnson-Körpern gibt es weitere konvexe Körper, die von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden. Einige dieser (u.a. Catalansche Polyeder) können Sie sich in diesem Unterprogramm ebenfalls ansehen.
 
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Johnson-Polyeder Nr. 70


Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Johnson-Polyeder Nr. 79


Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Johnson-Polyeder Nr. 80


Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Johnson-Polyeder Nr. 46


Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Johnson-Polyeder Nr. 68


Grafische Darstellung - Beispiel 6 - Johnson-Polyeder Nr. 71
 

Darstellung

 
Spezielle Polyeder können Sie sich darstellen lassen, wenn Sie, wie nachfolgend geschildert, vorgehen:
 

1. Wählen Sie durch die Fokussierung eines Eintrags, in der linksseitig, bzw. mittig angeordneten Tabelle unter Auswahl, den darzustellenden Körper.
    
2. Wählen Sie mit Hilfe der aufklappbaren Auswahlbox Auswahl die Art, wie Sie Körper dargestellt bekommen möchten. Hierzu stehen die unten aufgeführten Möglichkeiten zur Verfügung.
    
3. Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen.
    
4. Möchten Sie eine transparente Darstellung der Polygonflächen, so bedienen Sie die Schaltfläche B auf dem Bedienformular, aktiveren den Kontrollschalter Transparent und bestätigen mit Ok. Um in das Innere eines Polygons zu sehen, bedienen Sie die Schaltfläche F auf dem Bedienformular und positionieren den auf dem erscheinenden Unterformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Flächenanzahl.

 
In der rechtsseitig angeordneten Tabelle werden die Koordinatenwerte der Eckpunkte des entsprechenden Polyeders ausgegeben.

 

Hinweis:

Die Ausgabe der Darstellung kann auch durch Ausführung eines Doppelklicks auf einen entsprechenden Eintrag in der linksseitig, bzw. mittig angeordneten Tabelle eingeleitet werden.
 

 

 
 

Im Formularbereich Darstellung können Sie durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:
 

• Punkte: Darstellung der Eckpunkte des Körpers ein-/ausschalten

• Punkte als Kugeln: Darstellung der Eckpunkte des Körpers als (kleine) Kugeln ein-/ausschalten

• Punkte beschriften: Beschriftung der Eckpunkte des Körpers ein-/ausschalten

Durch die Bedienung der aufklappbaren Auswahlbox Auswahl in diesem Formularbereich werden zudem folgende Optionen zur Verfügung gestellt, das Layout eines dargestellten Körpers zu beeinflussen:
 

• Gefüllt - Kanten als Rohre: Darstellung der Körperkanten als Rohre inkl. der Füllung von Flächen

• Gefüllt - Kanten als Linien: Darstellung der Körperkanten als Linien inkl. der Füllung von Flächen

• Gefüllt - Ohne Kantenmarkierung: Darstellung der Körperkanten, ohne Begrenzungsmarkierung inkl. der Füllung von Flächen

• Rohrgitterdarstellung: Darstellung eines Körpers in Form eines Rohrgittermodells, ohne die Füllung von Flächen

• Liniengitterdarstellung:  Darstellung eines Körpers in Form eines Liniengittermodells, ohne die Füllung von Flächen

 

 

 

In diesem Unterprogramm besteht die Möglichkeit, sich Darstellungen auf folgende Art und Weise ausgeben zu lassen:
 

• Standard: Statische Darstellung von Polyedern im Raumkoordinatensystem (voreingestellt)

• Man.: Manuelle Drehung und Verschiebung von Polyedern im Raumkoordinatensystem, durch die Bedienung von Rollbalken

• Autosim.: Drehung und Verschiebung von Polyedern im Raumkoordinatensystem, durch die Ausführung einer Autosimulation

Nach einer Aktivierung der Kontrollschalter Man. bzw. Autosim. werden Rollbalken mit nachfolgend aufgeführten Bezeichnungen zur Verfügung gestellt, bei deren Bedienung Folgendes durchgeführt wird:
 

• α: Drehung des Polyeders, um den eingestellten Winkel, um die x-Achse

• β: Drehung des Polyeders, um den eingestellten Winkel, um die y-Achse

• γ: Drehung des Polyeders, um den eingestellten Winkel, um die z-Achse

• x: Verschiebung des Polyeders, um den eingestellten Wert, entlang der x-Achse

• y: Verschiebung des Polyeders, um den eingestellten Wert, entlang der y-Achse

• z: Verschiebung des Polyeders, um den eingestellten Wert, entlang der z-Achse

Bzgl. der Funktionalität von Schaltflächen gilt es Folgendes zu berücksichtigen:

 

Schaltfläche Start Sim.:

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Start Sim. werden die Farben der Polyederflächen vom Programm mit Hilfe eines Zufallsgenerators erzeugt, ansonsten verwendet es die durch Konfiguration voreingestellten Flächenfüllfarben.

 

Schaltfläche Start Rot.:

 

Wurde der Kontrollschalter Autosim. aktiviert, so führt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Start Rot. eine Autosimulation durch und bewegt den entsprechenden Polyeder entlang der gewählten Achse(n), bzw. dreht ihn um diese. Alle gewählten Bewegungen werden gleichzeitig und gemeinsam ausgeführt. Für die Auswahl der auszuführenden Bewegungen wird ein Bedienformular zur Verfügung gestellt. Auf diesem wählen Sie, durch die Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen, die Art der durchzuführenden Simulationen. Mit Hilfe des Rollbalkens Rotationsgeschwindigkeit legen Sie die bei Durchführung der Simulation zu verwendende Rotationsgeschwindigkeit fest. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok, so wird die Simulation ausgeführt. Beenden können Sie diese wieder, wenn Sie die Schaltfläche Stop Rot. bedienen.

 

Rollbalken Bereich:

 

Durch die Positionierung des Rollbalkens im Formularbereich Bereich-Auswahl legen Sie den zur grafischen Ausgabe zu verwendenden Darstellungsbereich fest.

 

Schaltfläche F:

 

Flächenfüllfarben können Sie festlegen, indem Sie die Schaltfläche F bedienen. Aktivieren Sie hierauf den entsprechenden Kontrollschalter zur Auswahl des Vielecks, dem die Farbwerte zugewiesen werden sollen und bewegen Sie die drei zur Verfügung stehenden Schieberegler zur Einstellung der RGB-Werte (Rot, Grün, Blau) bis die entsprechende Füllfarbe im gewünschten Farbton angezeigt wird. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Ok. Sollen diese Farbeinstellungen sitzungsübergreifend gespeichert werden, so aktivieren Sie zuvor das Kontrollkästchen Speichern. Diese Farbeinstellungen werden nur verwendet, wenn keine Farbsimulation aktiviert wurde.

 

Schaltfläche B:

 

Nach der Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche B kann durch die Aktivierung des Kontrollschalters Solide oder Transparent festgelegt werden, ob die Füllung der Polyederflächen solide oder transparent erfolgen werden soll.
 

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden. Dieses Programm kann auch dabei behilflich sein, einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Ein weiteres Video zum diesem Fachthema finden Sie auf Youtube unter den folgenden Adresse:

Video - Spezielle Polyeder

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

 

Archimedische Körper

Platonische Körper

 

 

Aktivieren Sie die Kontrollkästchen Punkte darstellen und Punkte beschriften. Deaktivieren Sie das Kontrollkästchen Punkte als Kugeln und selektieren Sie aus der unten angeordneten Auswahlbox den Eintrag Gefüllt - Kanten als Linien. Führen Sie einen Doppelklick auf den Eintrag Johnson Polyeder Nr. 8 in der linksseitig angeordneten Tabelle aus. Das Programm stellt diesen Polyeder dar und gibt aus:

 

Name des Polyeders: Verlängerte Quadratpyramide

 

Anzahl der Kanten des Polyeders: 16

Anzahl der Ecken des Polyeders: 9

Anzahl der Flächen des Polyeders: 9

 

Die Koordinatenwerte, der bei Ausgabe der Darstellung beschrifteten (nummerierten) Eckpunkte sind der rechtsseitig angeordneten Tabelle auf dem Hauptformular des Unterprogramms zu entnehmen.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 7 - Johnson-Polyeder Nr. 43


Grafische Darstellung - Beispiel 8 - Johnson-Polyeder Nr. 70


Grafische Darstellung - Beispiel 9 - Johnson-Polyeder Nr. 79


Grafische Darstellung - Beispiel 10 - Hohlquader
 

Grafische Darstellung - Beispiel 11 - Johnson-Polyeder Nr. 68


Grafische Darstellung - Beispiel 12 - Johnson-Polyeder Nr. 71

 

 

Nachfolgend aufgeführt finden Sie die Liste der 92 Johnson-Polyeder. Alle sind in diesem Modul darstellbar.
 

J1: Quadratpyramide

J2: Fünfeckpyramide

J3: Dreieckskuppel

J4: Quadratkuppel

J5: Fünfeckskuppel

J6: Fünfecksrotunde

J7: Verlängerte Dreieckpyramide

J8: Verlängerte Quadratpyramide

J9: Verlängerte Fünfeckpyramide

J10: Verdreht verlängerte Quadratpyramide

J11: Verdreht verlängerte Fünfeckpyramide

J12: Dreiecksbipyramide

J13: Fünfecksbipyramide

J14: Verlängerte Dreiecksbipyramide

J15: Verlängerte Quadratbipyramide

16: Verlängerte Fünfecksbipyramide

J17: Verdreht verlängerte Quadratbipyramide

J18: Verlängerte Dreieckskuppel

J19: Verlängerte Quadratkuppel

J20: Verlängerte Fünfeckskuppel

J21: Verlängerte Fünfecksrotunde

22: Verdreht verlängerte Dreieckskuppel

J23: Verdreht verlängerte Quadratkuppel

J24: Verdreht verlängerte Fünfeckskuppel

J25: Verdreht verlängerte Fünfecksrotunde

J26: Verdrehter Doppelkeil

J27: Dreiecksdoppelkuppel

J28: Quadratdoppelkuppel

J29: Verdrehte Quadratdoppelkuppel

J30: Fünfecksdoppelkuppel

J31: Verdrehte Fünfecksdoppelkuppel

J32: Fünfeckskuppelrotunde

J33: Verdrehte Fünfeckskuppelrotunde

J34: Fünfecksdoppelrotunde

J35: Verlängerte Dreiecksdoppelkuppel

J36: Verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel

J37: Verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel

J38: Verlängerte Fünfecksdoppelkuppel

J39: Verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel

J40: Verlängerte Fünfeckskuppelrotunde

J41: Verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde

J42: Verlängerte Fünfecksdoppelrotunde

J43: Verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde

J44: Verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel

J45: Verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel

J46: Verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel

J47: Verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde

J48: Verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde

J49: Erweitertes Dreiecksprisma

J50: Doppelt erweitertes Dreiecksprisma

J51: Dreifach erweitertes Dreiecksprisma

J52: Erweitertes Fünfecksprisma

J53: Doppelt erweitertes Fünfecksprisma

J54: Erweitertes Sechsecksprisma

J55: Doppelt erweitertes Sechsecksprisma

J56: Doppelt erweitertes Sechsecksprisma

J57: Dreifach erweitertes Sechsecksprisma

J58: Erweitertes Dodekaeder

J59: Doppelt erweitertes Dodekaeder (para)

J60: Doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)

J61: Dreifach erweitertes Dodekaeder

J62: Doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)

J63: Dreifach beschnittenes Ikosaeder

J64: Erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder

J65: Erweitertes abgestumpftes Tetraeder

J66: Erweitertes abgestumpftes Hexaeder

J67: Doppelt erweitertes abgestumpftes Hexaeder

68: Eweitertes abgestumpftes Dodekaeder

J69: Doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (para)

J70: Doppelt erweitertes abgestumpftes Dodekaeder (meta)

J71: Dreifach erweitertes abgestumpftes Dodekaeder

J72: Verdrehtes Rhombenikosidodekaeder

J73: Doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)

J74: Doppelt verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)

J75: Dreifach verdrehtes kleines Rhombenikosidodekaeder

J76: Beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder

J77: Verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)

J78: Verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)

J79: Doppelt verdrehtes beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder

J80: Doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (para)

J81: Doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder (meta)

J82: Verdrehtes doppelt beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder

J83: Dreifach beschnittenes kleines Rhombenikosidodekaeder

J84: Trigondodekaeder

J85: Abgeschrägtes Quadratantiprisma

J86: Sphenocorona

J87: Erweiterte Sphenocorona

J88: Sphenomegacorona

J89: Hebesphenomegacorona

J90: Disphenocingulum

J91: Bilunadoppelrotunde

J92: Dreieckshebesphenorotunde

  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Johnson-Körper zu finden.

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Spezielle Polyeder
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Platonische Körper

---

MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---