MathProf - Pellsche Gleichungen - Binomische Gleichungen - Rechner

Modul Spezielle Gleichungen

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Im kleinen Unterprogramm [Algebra] - Spezielle Gleichungen kann nach Lösungen binomischer und diophantischer Gleichungen, sowie einer Pellschen Gleichung gesucht werden.

 

 

 

 
Eine binomische Gleichung besitzt die Form (ax +by)ⁿ.

Bei einem Trinom handelt es sich um einen mathematischen Term der aus drei Glieder besteht und die Form (ax +by)³ besitzt. Es ist die dreigliedrige Entsprechung zum Binom.
 
Zur Lösung binomischer Gleichungen n-ten Grades, wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung, geben die Koeffizienten der Gleichung in die dafür vorgesehenen (linksseitig angeordneten) Felder ein und bedienen die Schaltfläche Berechnen.

Das Programm ermittelt die Lösungen binomischer Gleichungen bis 500-ten Grades.
 

 
Eine lineare diophantische Gleichung stellt sich in der Form

a·x + b·y = c   mit c = ggT(a,b)

dar.

Diophantische Gleichungen mit zwei Variablen sind lösbar mit unendlich vielen Lösungen, wenn der größte gemeinsame Teiler (ggT) von a und b ein Teiler von c ist. Mit deren Hilfe können beispielsweise Punkte auf einer Geraden berechnet werden, die ausschließlich ganzzahlige Koordinatenwerte besitzen.
 

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung. Nach der Eingabe der Werte für a und b in die entsprechenden (rechtsseitig angeordneten) Felder, sowie einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm die Lösungen der diophantischen Gleichung und gibt diese (sofern vorhanden) in der dafür zur Verfügung stehenden Tabelle aus.
 

 

Als Pellsche Gleichung (nach John Pell,1610 – 1685) wird eine diophantische Gleichung der Form x² - dy² = 1 bezeichnet, wobei d positiv, ganzzahlig sein muss.
 

Ist d eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung nur die trivialen Lösungen [+(-)1 | 0] und [0 | +(-)1] für d = 1. Andernfalls existieren unendlich viele Lösungen, welche mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von √d bestimmbar sind.

Ist eine Lösung x₀,y₀ bekannt, so lassen sich weitere Lösungen für d mit Hilfe folgender Zusammenhänge bestimmen. Es gilt:

 

x(1) = 2 x(0) x(0) - 1

y(1) = 2 x(0) y(0) 

 

x(n) = 2 x(0) x(n-1) - x(n-2)

y(n) = 2 x(0) y(n-1) - y(n-2)

 

Geometrisch betrachtet, bedeutet die Suche nach Lösungen dieser Gleichung, eine Suche nach ganzzahligen Gitterpunkten auf einer Hyperbel.

Nach einer Wahl des Registerblatts Pellsche Gleichung, der Eingabe eines ganzzahligen Wertes für den Parameter d in das Feld Zahl D und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Hinweis:

Da die Ermittlung der Lösungen dieser Gleichung sehr zeitaufwändig ist, können Sie Berechnungen jederzeit mit der Taste ESC abbrechen.
 
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
   

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Beispiel 1 - Binomische Gleichung (Trinom):

Es gilt, die Lösungen der binomischen Gleichung (des Trinoms)

(2·x-y)³

ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung.

 

Nach der Eingabe der Werte 2, 1 und 3 in die dafür vorgesehenen Felder und einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen wird folgendes Ergebnis ausgegeben:

(2*X + 1*Y)^3 = 8*X^3 + 12*X^2*Y + 6*X*Y^2 + 1*Y^3
 

Beispiel 2 - Diophantische Gleichung:

Es sind die Lösungen der diophantischen Gleichung 2·x+4·y = 2 zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie das Registerblatt Binomische und Diophantische Gleichung.

Nach der Eingabe der Werte 2, 4 und 2 in die dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm diese mit:

X = 1+2·K

Y = 0-1·K
 

Beispiel 3 - Pellsche Gleichung:

Wählen Sie das Registerblatt Pellsche Gleichung und geben Sie in das Feld Zahl D den Wert 5 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen kann aus den aufgelisteten Ergebnissen entnommen werden:

 

Hat die Pellsche Gleichung für d = 5 die Minimallösung (x₀ = 9;y₀ = 4), so ergeben sich weitere Lösungen mit:

 

x(0) = 9

y(0) = 4

 

x(1) = 161

y(1) = 72   

 

x(2) = 2889

y(2) = 1292
 

 

Beispiel 1 - Diophantische Gleichung


 Beispiel 2 - Pellsche Gleichung

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Binomische Formel
Wikipedia - Pellsche Gleichung
Wikipedia - Diophantische Gleichung

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Ungleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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