MathProf - Sinus am Einheitskreis - Cosinus am Einheitskreis

Modul Sinus und Cosinus am Einheitskreis

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Unter dem Menüpunkt [Trigonometrie] - [Trigonometrische Funktionen] - Sinus und Cosinus am Einheitskreis werden die Zusammenhänge der trigonometrischen periodischen Funktionen Sinus und Cosinus mit Hilfe eines Zeigerdiagramms am Einheitskreis aufgezeigt.

 

Als trigonometrische Funktionen oder Winkelfunktionen werden Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen bezeichnet.

Von einem Einheitskreis wird gesprochen, wenn ein Kreis einen Radius von r = 1 besitzt. Sein Mittelpunkt befindet sich im Regelfall im Ursprung P(0|0) des Koordinatensystems.
 
Die Winkelfunktion Sinus beschreibt beim rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Die Winkelfunktion Coinus beschreibt das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

Bei einem Zeigerdiagramm oder Zeigerbild (einer Zeigerdarstellung) handelt es sich um ein geometrisches Hilfsmittel bei dem eine sinusförmige Schwingung mit konstanter Amplitude und Phase als Projektion einer Kreisbewegung dargestellt wird.
 
Unter der Sinusfunktion versteht man diejenige Funktion, die jedem Mittelpunktswinkel α im Einheitskreis die y-Koordinate eines auf dem Kreis liegenden Punktes (Pfeilspitze) zuordnet. Der Sinus des Winkels α ist das Verhältnis aus der Ordinate des Punktes (Pfeilspitze) und dem Radius r des Kreises.

Unter der Cosinusfunktion versteht man diejenige Funktion, die jedem Mittelpunktswinkel α im Einheitskreis die x-Koordinate eines auf dem Kreis liegenden Punktes (Pfeilspitze) zuordnet. Der Cosinus des Winkels α ist das Verhältnis aus der Abszisse des Punktes (Pfeilspitze) und dem Radius r des Kreises.
 

Die oben beschriebenen Sachverhalte können in diesem Unterprogramm untersucht werden. Das Programm zeichnet hierbei die entsprechende Sinuskurve und Cosinuskurve. Das Programm gibt die entsprechenden Sinuswerte und Cosinuswerte im Grad- oder im Bogenmaß aus.

 

 

Durch die Bedienung des Rollbalkens Winkel wird der Drehwinkel des Punktes (Pfeilspitze) auf dem Einheitskreis verändert und auf seine Position in den Funktionsgrafen für Sinus und Cosinus transferiert.

 

Die entsprechenden Werte für die Funktionen Sinus, Cosinus werden, abhängig von der Lage des Punktes auf dem Einheitskreis ausgegeben. Darüber hinaus wird der Drehwinkel einer Gerade (bzgl. der Abszisse) durch den Punkt auf dem Einheitskreis, sowohl im Grad- wie auch im Bogenmaß angezeigt.

 

Durch die Aktivierung des Kontrollschalters Gradmaß bzw. Bogenmaß kann gewählt werden, ob Abszissenwerte im Grad- oder im Bogenmaß ausgegeben werden sollen.

 

Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Cosinus: Darstellung der Cosinus-Funktion ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Tangens und Cotangens am Einheitskreis

 

Wird Rollbalken Winkel auf den Wert 30° eingestellt und wird Kontrollschalter Bogenmaß aktiviert, so werden folgende Ergebnisse ausgegeben:

Sinus: 0,5

Cosinus: 0,86603
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

 

Wesentliche Eigenschaften von Sinus- und Cosinusfunktionen sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt.
 

	y = sin(x)	y = cos(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Periode	2π	2π
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Relative Maxima	xk = π/2 + k·2π	xk = k·2π
Relative Minima	xk = 3π/2 + k·2π	xk = π + k·2π

 

 

Mittels soganannter Identitäten können Sinus und Cosinus gegenseitig ineinander überführt wwerden.

Einige wesentliche dieser sind nachfolgend aufgeführt:

sin(α) = -sin(-α)
sin(α) = cos(90° - α)
sin(α) = cos(α - 90°)
sin(90° + α) = sin(90° - α)

cos(α) = cos(-α)
cos(α) = sin(90° - α)
cos(90° + α) = -cos(90° - α)

 
 

 

Trigonometrischer Pythagoras:

Als trigonometrischer Pythagoras wird die nachfolgend gezeigte Identität bezeichnet.

sin²x + cos²x = 1

Zusammenhang zwischen Sinus und Cosinus:

cos(x) = sin(x + π/2)
sin(x) = cos(x - π/2)
 
Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus ermöglichen es, die Funktionswerte einzelner Summen und Differenzen von Winkeln auf die ursprünglichen Werte der enstprechenden Winkelfünktionen zurückzuführen. Sie sind nachfolgend aufgefürt.

Additionstheoreme für Sinus und Cosinus:

sin(x₁ ± x₂) = sin x₁· cos x₂ ± cos x₁· sin x₂
cos(x₁ ± x₂) = cos x₁· cos x₂ ± sin x₁· sin x₂
  

 

Formeln für doppelte Winkel von Sinus und Cosinus:

sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x)
cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 1 - 2 · sin²(x) = 2 · cos²(x) - 1

Formeln für Potenzen von Sinus und Cosinus:

sin²(x) = 1/2 [1 - cos(2x)]
sin³(x) = 1/4 [3 · sin(x) - sin(3x)]
sin⁴(x) = 1/8 [cos(4x) - 4 · cos(2x) + 3]

cos²(x) = 1/2 [1 + cos(2x)]
cos³(x) = 1/4 [3 · cos(x) + cos(3x)]
cos⁴(x) = 1/8 [cos(4x) + 4 · cos(2x) + 3]

Formeln für Summen und Differenzen von Sinus und Cosinus:

sin(x₁) + sin(x₂) = 2 · sin((x₁ + x₂)/2) · cos((x₁ - x₂)/2)
sin(x₁) - sin(x₂) = 2 · cos((x₁ + x₂)/2) · sin((x₁ - x₂)/2)
cos(x₁) + cos(x₂) = 2 · cos((x₁ + x₂)/2) · cos((x₁ - x₂)/2)
cos(x₁) - cos(x₂) = 2 · sin((x₁ + x₂)/2) · sin((x₁ - x₂)/2)
  
sin(x₁ + x₂) + sin(x₁ - x₂) = 2 · sin(x₁) · cos(x₂)
sin(x₁ + x₂) - sin(x₁ - x₂) = 2 · cos(x₁) · sin(x₂)
cos(x₁ + x₂) + cos(x₁ - x₂) = 2 · cos(x₁) · cos(x₂)
cos(x₁ + x₂) - cos(x₁ - x₂) = -2 · sin(x₁) · sin(x₂)

Formeln für Produkte von Sinus und Cosinus:

sin(x₁) · sin(x₂) = 1/2 · [cos(x₁ - x₂) - cos(x₁ + x₂)]
cos(x₁) · cos(x₂) = 1/2 · [cos(x₁ - x₂) + cos(x₁ + x₂)]
sin(x₁) · cos(x₂) = 1/2 · [sin(x₁ - x₂) + sin(x₁ + x₂)]
 
 

 

In den aufgeführten Tabelle sind Umrechnungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus aufgeführt.

 

	sin x	cos x
sin x	-	± √1 - cos²x
cos x	± √1 - sin²x	-
tan x	± sin(x)/√1 - sin²x	± √1 - cos²x/cos(x)
cot x	± √1 - sin²x/sin(x)	± cos(x)/√1 - cos²x

 

 

 

 

In einem Koordinatensystem wird die Ebene der (x,y)-Zahlenpaare in vier Teile geteilt, welche als Quadranten bezeichnet werden. Es handelt sich um ein durch zwei Koordinatenachsen begrenzten Abschnitt einer Ebene. Der erste Quadrant wird rechts oben gezeichnet. Gekennzeichnet werden sie mit römischen Zahlzeichen (entgegen dem Uhrzeigersinn).
 
Die Einteilung der Quadranten im Koordinatensystem erfolgt gemäß der nachfolgend gezeigten Darstellung.
 


Die hierbei geltende Quadrantenregel (Vorzeichenregel) für die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus wird in nachfolgender Tabelle gezeigt.
 

Quadrant	I	II	III	IV
Sinus	+	+	-	-
Cosinus	+	-	-	+

 

Quadrantenbeziehungen:
 

Quadrant	Winkel	Sinus	Cosinus
I	α	+ sin α	+ cos α
II	180° - α	+ sin α	- cos α
III	180 + α	- sin α	- cos α
IV	360° - α	- sin α	+ cos α
I	90° - α	+ cos α	+ sin α
II	90° + α	+ cos α	- sin α
III	270° - α	- cos α	- sin α
IV	270° + α	- cos α	+ sin α

 

 

Nachfolgend aufgeführt ist eine Umrechnungstabelle einiger häufig benötigter Sinuswerte und Cosinuswerte (Sinuswerte und Cosinuswerte).

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Awendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum
entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Einheitskreis
Wikipedia - Tangens und Kotangens
 

 

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Satz des Thales - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Sinus und Cosinus am Einheitskreis

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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