MathProf - Simpson - Regel - Simpsonregel - Methode - Berechnen

 

Modul Simpson-Regel

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Integrationsverfahren] - Simpson-Regel beitet die Möglichkeit, die Methode der Simpson-Regel zur Ermittlung der Inhalte krummlinig begrenzter Flächen zu untersuchen.

 

Durch die mehrfache Anwendung der Keplerschen Regel mit einer geraden Anzahl n gleich breiter Streifen der Breite h innerhalb des Intervallbereichs [a,b] gelangt man zur Simpson-Regel:
 

 


 
Das Programm stellt hierbei die Zusammenhänge unter der Verwendung der parameterhaltigen Funktion f(x) = cos(p+x)-0,3·sin(x²)+2 mit n = 2 Streifen dar und ermöglicht somit u.a. eine Analyse des Einflusses der Streifenbreite auf die Genauigkeit des Verfahrens. Den Wertebereich des Parameters P dieser Funktion können Sie verändern. Hierbei wird der unter dem Parabelsegment vorhandene Flächeninhalt ermittelt und mit einem relativ exakten Wert verglichen. Die prozentuale Differenz dieser beiden Werte wird ausgegeben. Um diese Methode unter der Verwendung mehrerer Streifen zu analysieren, benutzen Sie das Unterprogramm Integrationsmethoden.
 

 
Führen Sie Folgendes durch, um Zusammenhänge zu diesem Fachthema zu analysieren:
 

1. Um die Breite des Intervallbereichs [a,b] zu verändern, benutzen Sie den Rollbalken Intervall [ab].
    
2. Möchten Sie die Abszissen-Koordinatenwerte des Punkts P exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Lage des Punktes P mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    
4. Benutzen Sie den Schieberegler Fkt.-Par. p, um den Wert für Funktionsparameter P zu verändern. Möchten Sie dessen Wertebereich verändern, so definieren Sie den zu durchlaufenden Parameterwertebereich und die gewünschte Schrittweite durch eine Bedienung des Schalters Parameter.
    
5. Möchten Sie eine Simulation durchführen lassen, so wählen Sie zunächst durch die Aktivierung des Kontrollschalters Funktionsparameter p bzw. Intervall die Art dieser und bedienen hierauf den Schalter Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Auswahlformular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die Einstellungen für Schrittweite und Verzögerung festlegen können. Ändern Sie diese bei Bedarf und bestätigen Sie mit OK. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Punkte: Darstellung von Punkten ein-/ausschalten
• Ges. Parabel: Darstellung der gesamten Parabel ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Keplersche Fassregel
Integrationsmethoden
Ober- und Untersummen
Ober - und Untersummen - Interaktiv
Integralrechnung
Integralrechnung - Interaktiv
 

 
Wurde Punkt P auf (1 / 0) positioniert, die Position des Rollbalkens Intervall [ab] auf 1 gesetzt und mit Schieberegler Fkt. Par. p der Wert -3 eingestellt, so gibt das Programm aus:
 
Der Term der dargestellten Funktion lautet: f(x) = cos(-3+x)-0,3·sin(x²)+2
 
Die Gleichung der durch die Punkte der Funktion bei den Abszissenwerten a, b und (a+b)/2 verlaufenden Parabel lautet:
 
f(x) = 0,557·X² - 0,236·X + 1,01
 
Der Inhalt der exakten Fläche unter der Funktion im Bereich [ab] beträgt: A = 3,058 FE. Die Fläche unterhalb der Parabel im Bereich [ab] (grau) beträgt: 3,034 FE
 
Der prozentuale Fehler zwischen dem exakten Flächeninhalt und der dargestellten Fläche unter der Parabel liegt damit bei 0,787%.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Simpsonregel zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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