MathProf - Schnittkurve - Schnittebene - Schnitt - Schneiden - Parameterform

 

Modul Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in Parameterform

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Unter dem Menüpunkt [3D-Mathematik] - [Schnittkurven] - Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in Parameterform können Schnittkurven von Gebilden, welche durch Funktionen in Parameterform beschrieben sind, und einer Ebene dargestellt werden.

 

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von Kurven, welche durch den Schnitt von Ebenen und Gebilden entstehen. Darzustellende Gebilde können definiert werden durch
 

• Funktionen in Parameterform in kartesischen Koordinaten, beschrieben durch Terme der Form x = f(u,v,p) ; y = g(u,v,p) ; z = h(u,v,p)
• Funktionen in Parameterform in Zylinderkoordinaten, beschrieben durch Terme der Form r = f(u,v,p) ; j = g(u,v,p) ; z = h(u,v,p)
• Funktionen in Parameterform in Kugelkoordinaten, beschrieben durch Terme der Form r = f(u,v,p) ; j = g(u,v,p) ; t = h(u,v,p)

Ebenen werden durch Gleichungen der Form ax+by+cz = d beschrieben.
 
Das Programm bildet die entstehende Schnittkurve auf dem dargestellten Gebilde ab und projiziert diese auf die, zu den Koordinatenebenen parallel liegenden, Ebenen.
    
Das Programm stellt verschiedene Definitionsformen (Arten von Koordinaten) zur Beschreibung derartiger Flächen zur Verfügung. Diese sind nachfolgend aufgeführt.

Kartesische Koordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
Zylinderkoordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
 
 
 
Kugelkoordinaten:
 

 
Zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten gelten folgende Zusammenhänge:
 

 
Beispiel:
 

 
Die gewünschte Definitionsform selektieren Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menüpunkts unter Optionen. Voreingestellt ist die Verwendung kartesischer Koordinaten. Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung dieser Definitionsform eingegangen.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 
 
Um sich Schnittkurven von Ebenen und Gebilden dieser Art grafisch ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
    
2. Definieren Sie die drei zur Definition einer Fläche benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(u,v,p) =, g(u,v,p) = und h(u,v,p) =. Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den zu durchlaufenden Bereich für die Parameter u und v fest (Parameter von u1 = und bis u2 = ; Parameter von v1 = und bis v2 =). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen (voreingestellt: 0 £ u £ 2p ; 0 £ u £ 2p).
    
4. Um sich die Darstellung des Schnitts eines Gebildes mit einer Ebene ausgeben zu lassen, von welcher die Gleichung bekannt ist, aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene mit Gleichung und legen durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder die Koeffizientenwerte a, b, c und d für die Gleichung der Ebene fest.
   
   Möchten Sie interaktive Untersuchungen durchführen und die Koeffizienten der Gleichung der Schnittebene bei Ausgabe der Grafik durch Positionierung von Rollbalken festlegen, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene interaktiv.
    
5. Durch eine Aktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen erreichen Sie:
    
   Kontur oben: Projektion der entstehenden Schnittkurve auf eine oben, parallel zur entsprechenden Koordinatenebene, liegende Ebene
   Kontur unten: Projektion der entstehenden Schnittkurve auf eine unten, parallel zur entsprechenden Koordinatenebene, liegende Ebene
   Kontur an Seitenflächen: Projektion der entstehenden Schnittkurve auf alle seitlich, parallel zur entsprechenden Koordinatenebene, liegenden Ebenen
    
   Eine Deaktivierung des Kontrollkästchens Fläche bewirkt, dass das definierte Gebilde nicht mehr dargestellt wird, sondern lediglich Konturverläufe (Schnittkurven) ausgegeben werden.
    
   Durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Schnittebene legen Sie fest, ob eine Darstellung der definierten Schnittebene erfolgen soll.
    
   Bleibt das Kontrollkästchens Flächenschnitt deaktiviert, so stellt das Programm das gesamte definierte Gebilde dar, ansonsten wird dieses beim Verlauf der Schnittkontur aufgeschnitten.
    
6. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
    
7. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie, durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ..., den Startwert, sowie den Endwert des vom Parameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Parameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simul. oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
8. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen
    
9. Wurde Kontrollschalter Schnittebene interaktiv auf dem Hautformular des Unterprogramms aktiviert, so nutzen Sie die auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Schieberegler a, b, c und d um die Koeffizientenwerte der dargestellten Ebene der Form ax+by+cz = d zu verändern.

Hinweis:
Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen mindestens ein Funktionterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.
   
Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen von Ortskoordinaten, sowie die Ermittlung des Flächeninhalts der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche, innerhalb eines gewählten Bereichs ermöglicht.
Es besteht die Möglichkeit, sich die x-, y- und z-Koordinatenwerte von Punkten, die diese Fläche beschreiben, innerhalb frei wählbarer Wertebereiche für die Parameter u und v ausgeben zu lassen. Um dies durchzuführen, sollten Sie folgendermaßen vorgehen:
 

1. Wählen Sie unter dem Menüpunkt Werte den Eintrag des Funktionsterms für welchen Sie sich die Koordinatenwerte ausgeben lassen möchten. Es stehen zur Verfügung: Funktionswerte f(u,v), Funktionswerte g(u,v), Funktionswerte h(u,v) =.
    
2. Definieren Sie den entsprechenden Funktionsterm im zur Verfügung stehenden Eingabefeld und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = , sowie Von v1 = und bis v2 = die Parameterwertebereiche fest, über welche Koordinatenwerte ermittelt werden sollen.
    
4. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

Möchten Sie den Inhalt der Oberfläche einer derart beschriebenen Fläche, innerhalb eines frei wählbaren Wertebereichs für die Parameter u und v näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie unter dem Menüpunkt Werte den Eintrag Flächeninhalt.
    
2. Definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern f(u,v) =, g(u,v) =, h(u,v) = und beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte in die Felder Von u1 = und bis u2 = sowie Von v1 = und bis v2 = die Parameterwertebereiche fest, über welche der Flächeninhalt ermittelt werden soll.
    
4. Wählen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Segmente, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Segmente verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
5. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm das Ergebnis.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich zur Definition eines Funktionsterms zur grafischen Darstellung Verwendung findet.
 
Hinweis:
Befindet sich in einem Eingabefeld bereits eine Funktionsdeklaration, so wird diese beim Aufruf des entsprechenden Befehls in das Eingabefeld des erscheinenden Unterformulars übernommen.
   

 
Bei Durchführung einer Wertebereichsanalyse können die Werte der Parameter u und v innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegeben wurden. Einstellbar sind diese durch die Positionierung der Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V.
 
Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Wertebereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.
   

 
Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur der dargestellten Fläche in Abhängigkeit von den Parametern u und v und somit die Analyse entsprechender Koordinatenwerte. Die Werte der Parameter u und v können innerhalb der Bereiche verändert werden, die auf dem Hauptformular des Unterprogramms definiert wurden.
 
Hierfür stehen die Rollbalken mit den Bezeichnungen U und V im Formularbereich Parameter zur Verfügung, mit welchen Sie die Abtastposition auf der Kontur der Fläche steuern können. Die x-, y- und z-Koordinatenwerte des entsprechenden Oberflächenpunktes werden ausgegeben.
 
Um eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.
   
Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch
• Statisch

 

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung der Fläche erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    
2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet die Fläche an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

   
Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Option - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Option - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.
   
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
   
Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D)
 

 
Beispiel 1 - Funktionen in kartesischen Koordinaten:
 
Es gilt, sich den Schnittkurvenverlauf ausgeben zu lassen der entsteht, wenn eine Fläche in Parameterform, beschrieben durch die Terme
 
x = f(u,v) = (abs(u)-1)²·cos(v)
y = g(u,v) = (abs(u)-1)²·sin(v)
z = h(u,v) = u
 
in kartesischen Koordinaten eine Ebene schneidet, welche durch die Gleichung -4·x-5·y+6·z = -4 definiert wird. Die Parameterwertebereiche seien: -1 £ u £ 1, 0 £ v £ 2π.
 
Vorgehensweise:
 
Belassen Sie im Menü den Eintrag unter Optionen auf der Einstellung Funktionen in kartesischen Koordinaten.
 
Geben Sie in die Eingabefelder x = f(u,x,p) =, y = g(u,v,p) = und z = h(u,v,p) = die Terme (ABS(U)-1)^2*COS(V), (ABS(U)-1)^2*SIN(V) und U ein.
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene mit Gleichung und geben Sie in die zugehörigen Felder die Koeffizientenwerte -4, -5, 6 und -4 der Ebenengleichung ein.
 
Legen Sie für die Fläche die Parameterwertebereiche -1 £ u £ 1, 0 £ v £ 2π durch die Eingabe dieser Werte in die Felder Parameter von u1 = und bis u2 = sowie Parameter von v1 = und bis v2 = fest (für v nach einem Klick in Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).
 
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm den Schnittkurvenverlauf (rot) dar, welcher beim Schnitt einer Fläche, beschrieben durch die Terme x = f(u,v) = (abs(u)-1)²·cos(v), y = g(u,v) = (abs(u)-1)²·sin(v) und z = h(u,v) = u, und einer Ebene, beschrieben durch die Gleichung -4·x-5·y+6·z = -4, entsteht.
 
Beispiel 2 - Funktionen in Zylinderkoordinaten:
 
Es gilt, sich den Schnittkurvenverlauf ausgeben zu lassen der entsteht, wenn eine Fläche in Parameterform, beschrieben durch die Terme
 
r = f(u,v) = cos(u)·cos(v)
j = g(u,v) = cos(u)·sin(v)
z = h(u,v) = sin(u)·sin(u)·cos(u)
 
in Zylinderkoordinaten eine Ebene schneidet, welche durch die Gleichung -5·x+2·z = 3 definiert wird. Die Parameterwertebereiche seien: 0 £ u £ π/2 und -π £ v £ π.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Menüeintrag Optionen - Funktionen in Zylinderkoordinaten.
 
Geben Sie die Terme COS(U)*COS(V), COS(U)*SIN(V) und SIN(U)*SIN(U)*COS(U) in die entsprechenden Felder ein.
 
Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 1,57079 in die Felder Parameter u von u1 = und bis u2 = den Wertebereich für Parameter u fest und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Parameter v von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Parameter v (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene mit Gleichung und geben Sie in die zugehörigen Felder die Koeffizientenwerte -5, 0, 2 und 3 der Ebenengleichung ein.
 
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm den Schnittkurvenverlauf (rot) dar, welcher beim Schnitt einer Fläche, beschrieben durch die Terme r = f(u,v) = cos(u)·cos(v), j = g(u,v) = cos(u)·sin(v) und z = h(u,v) = sin(u)·sin(u)·cos(u) und einer Ebene, beschrieben durch die Gleichung -5·x+2·z = 3, entsteht.
 
Beispiel 3 - Funktionen in Kugelkoordinaten:
 
Es gilt, sich den Schnittkurvenverlauf ausgeben zu lassen der entsteht, wenn eine Fläche in Parameterform, beschrieben durch die Terme
 
r = f(u,v) = (abs(u)-1)²·cos(v)
j = g(u,v) = (abs(u)-1)²·sin(v)
n = h(u,v) = u·v
 
in Kugelkoordinaten eine Ebene schneidet, welche durch die Gleichung -x+2·y-4·z = 1 definiert wird. Die Parameterwertebereiche seien: -1 £ u £ 1 und 0 £ v £ 2π.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Menüeintrag Optionen - Funktionen in Kugelkoordinaten.
 
Geben Sie die Terme (ABS(U)-1)^2*COS(V), (ABS(U)-1)^2*SIN(V) und U*V in die entsprechenden Felder ein.
 
Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte -1 und 1 in die Felder Parameter u von u1 = und bis u2 = den Wertebereich für Parameter u fest und definieren Sie hierauf durch die Eingabe der Zahlenwerte 0 und 6,28318 in die Felder Parameter v von v1 = und bis v2 = den Wertebereich für Parameter v (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Schnittebene mit Gleichung und geben Sie in die zugehörigen Felder die Koeffizientenwerte -1, 2, -4 und 1 der Ebenengleichung ein.
 
Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm den Schnittkurvenverlauf (rot) dar, welcher beim Schnitt einer Fläche, beschrieben durch die Terme r = f(u,v) = (abs(u)-1)²·cos(v), j = g(u,v) = (abs(u)-1)²·sin(v) und n = h(u,v) = u·v und einer Ebene, beschrieben durch die Gleichung -x+2·y-4·z = 1, entsteht.
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Schnittkurven zu finden. 

 

 

Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D) - Rotation von Kurven in Polarform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Polarform um die Y-Achse (3D) - Untersuchungen mit Flächen in expliziter Form (3D) - Untersuchungen mit Raumkurven in Parameterform (3D) - Flächen 2. Ordnung - Interaktiv (3D) - Flächen implizit definierter Funktionen (3D) - Konturen implizit definierter Funktionen (3D) - Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in expliziter Form (3D) - Schnittkurven von Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Tangentialebenen von Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Schnittkurven von Flächen mit Funktionen in Parameterform
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Analyse implizit definierter Funktionen im Raum

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

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