MathProf - Satz - Thales - Thalessatz - Thaleskreis - Definition

Modul Satz des Thales

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Im Unterprogramm [Trigonometrie] - Satz des Thales können Untersuchungen zum Satz des Thales durchgeführt werden.

 

 

1. Satz des Thales:

Der Satz des Thales von Milet (um 625 v. Chr. - 547 v. Chr.) besagt, dass Dreiecke, deren längste Seite der Durchmesser eines Kreises ist (Thaleskreis), genau dann einen rechten Winkel besitzen, wenn der dritte Punkt auf dem Bogen des Kreises liegt, bzw. dass der Peripheriewinkel über einem Kreisdurchmesser stets ein rechter Winkel ist.

Er ist einer der ältesten Sätze der Mathematik und bedeutet, dass ein Dreieck, welches aus aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (dem Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises gebildet wird, stets ein rechtwinkliges Dreieck ergibt.

Bei diesem Zusammenhang gilt:

- Alle Dreiecke in einem Thaleskreis sind rechtwinklige Dreiecke
- Alle Winkel über einem Halbkreisbogen sind rechte Winkel

Dieser Satz trägt auch die Bezeichnung Thalessatz.

Der Thaleskreis findet bei der Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke Anwendung. Zudem ermöglicht er die Konstruktion einer Tangente an einen Kreis, die durch einen Punkt verläuft, der sich außerhalb des Kreises befindet.
 

2. Beweis des Satz des Thales:

Es existieren mehrere Beweise zum Satz des Thales. Nachfolgend wird ein derartiger Beweis mit Hilfe zweier geometrischer Hilfssätze erbracht. Diese lauten:

- Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180°.
- Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich groß

Die nachfolgend verwendten Bezeichnungen der Innenwinkel des oben abgebildeten Dreiecks lauten:

α: Winkel BAC
β: Winkel ABC
γ: Winkel ACB

Die Strecke FC (entspricht dem Radius des Halbkreises) zerlegt das äußere Dreieck ABC in die beiden gleichschenkligen Teildreiecke AFC und FBC. Die Summe der drei Innenwinkel des äußeren Dreiecks ABC beträgt α + β + γ = 180°. Der Innenwinkel γ (90°) dessen bildet sich aus den beiden Basiswinkeln α und β. Somit gilt: α + β + α + β = 180° bzw. 2α + 2β = 180°.

Durch Umformung dieser Gleichung ergibt sich 2(α + β) = 180° bzw α + β = 90°. Hieraus kann entnommen werden, dass der gesuchte Winkel γ = α + β = 90° beträgt und hierdurch ein rechter Winkel ist.

 
 

 

Veranschaulichen können Sie sich die Zusammenhänge des Satz des Thales, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

1. Legen Sie durch die Bedienung des Schiebereglers Radius den Radius des Außenhalbkreises (die Hypotenusenlänge des Dreiecks) fest.
    

2. Möchten Sie den Abszissenwert des Lotfußpunktes F des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den entsprechenden Wert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    

3. Soll die Lage des Lotfußpunktes F des Dreiecks mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    

4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Hinweis:

Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Mathe-Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Koordinaten zeigen: Anzeige der Koordinaten des Mausfangpunktes und der Eckpunkte des Dreiecks ein-/ausschalten
• Dreieck füllen: Farbfüllung des Dreiecks ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Rechtwinkliges Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck – Interaktiv

Satz des Pythagoras

Höhensatz

Kathetensatz

Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras

 

Wurde die Position des Lotfußpunktes F auf (3 / 0) eingestellt und der Radius des Außenkreises auf r = 8 (Strecke AB = 16) festgelegt, so werden folgende Resultate ausgegeben:

Innenwinkel des Dreiecks: BAC = 33,988°

Innenwinkel des Dreiecks: ABC = 56,012°

Innenwinkel des Dreiecks: ACB = 90°

 

Punkt A (-8 / 0)

Punkt B (8 / 0)

Punkt C (3 / 7,416)

Punkt F (3 / 0)

 

Länge der Strecke: AB = 16

Länge der Strecke: AC = 13,266

Länge der Strecke: BC = 8,944

 

Länge der Strecke: AF = 11

Länge der Strecke (Höhe des rechtwinkligen Dreiecks): FB = 5

 

Fläche ABC: A = 59,33 FE

Fläche AFC: A = 40,789 FE

Fläche FCB: A = 18,54 FE

 

Wird Punkt F horizontal bewegt, so ist zu erkennen, dass der Peripheriewinkel über dem Durchmesser des Thaleskreises stets ein rechter Winkel ist.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
      

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Satz des Thales zu finden.
 

 

Rechtwinkliges Dreieck - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck aus Seitenlängen und Winkeln - Allgemeines Dreieck durch 3 Punkte - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Satz des Pythagoras - Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras - Höhensatz - Kathetensatz - Winkel am Dreieck - Innenwinkel des Dreiecks - Winkel am Kreis - Winkel an Parallelen - Sinus und Cosinus am Einheitskreis - Tangens und Cotangens am Einheitskreis - Tangentendreieck - Höhenfußpunktdreieck - Lamoen-Kreis - Taylor-Kreis - Euler-Gerade - Simson-Gerade - Satz von Ceva - Isodynamische Punkte des Dreiecks - Isogonal konjugierte Punkte - Spieker-Punkt - Apollonius-Punkt
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Satz des Pythagoras

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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