MathProf - Rekursiv - Zahlenfolge - Rekursive Zahlenfolgen - Folgen

 

Modul Rekursive Zahlenfolgen

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Mit dem Unterprogramm [Analysis] - [Zahlenfolgen] - Rekursive Zahlenfolgen können rekursive Zahlenfolgen untersucht werden.

 

Reelle Zahlenfolgen sind Funktionen, deren Definitionsbereich eine Gesamt- bzw. Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Die Elemente des Wertebereichs heißen Glieder der Folge und sind ebenfalls Zahlen. Eine Zahlenfolge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge.

Rekursive Folge:

Von einer rekursiven Definition einer Zahlenfolge (rekursiven Zahlenfolge) wird gesprochen, wenn mindestens ein Glied einer Folge durch eine Verknüpfung mit einem zuvor berechneten Glied der Folge enthalten ist. Kurven dieser Art werden auch als rekursive Folgen bzw. rekursive Zahlenfolgen oder rekursiv definiert bezeichnet.
 

Konvergenz - Divergenz:

Rekursive Folgen heißen konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzen, andernfalls sind sie divergent.

Rekursionsformel:

Eine Folge a(n) für natürliche Zahlen wird als rekursiv bezeichnet, wenn es eine Funktion f sowie eine Konstante a(0) gibt, so dass gilt: a(n) = f((a(0);. . . a(n-1);0, ... n). Sie beschreibt, wie der Wert einer schrittweise gleichmäßig wachsenden Größe innerhalb eines bestimmten Schritts aus dem Wert der Größe im vorherigen Schritt berechnet wird. Eine Formel dieser Art wird als Rekursionsformel oder rekursive Formel bezeichnet. Sie eignet sich insbesondere dazu, Entwicklungsprozesse bestimmter Größen übersichtlich zu präsentieren.
 
Rekursionsgleichung:

Für eine Folge (a_n) ist eine Rekursionsgleichung eine Gleichung der Form a_n = f(a_n-1 ... ,a_n-k). Sie gilt für n  ³  k und nur dann, wenn sie a_n, a_n-1,a_n-k, die Variable n, sowie Konstanten beinhaltet.

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Die Argumente von Zahlenfolgen werden in diesem Programm durch den Buchstabe K definiert, rekursive Argumente (Anfangsglieder) müssen die Bezeichnung A(K-1) tragen. Diese Bezeichnung steht hierbei für ein Glied der Form a_k-1. Es besteht zudem die Möglichkeit eine, oder zwei Zahlenfolgen gemeinsam, zu untersuchen. Zudem ermöglicht das Modul die Durchführung einer Analyse von Zahlenfolgen mit zwei Anfangsgliedern A(K-1) und A(K-2).

 

Um Untersuchungen mit Zahlenfolgen dieser Art interaktiv durchzuführen, verwenden Sie das Unterprogramm Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv.

 

 

  
Die Glieder einer rekursiven Zahlenfolge können Sie emitteln und darstellen lassen, indem Sie folgende Vorgehensweise anwenden:
 

1. Definieren Sie die zu analysierende rekursive Zahlenfolge a(k,k-1,k-2) im dafür vorgesehenen Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren Sie das Kontrollkästchen a(k,k-1,k-2) =.
   
   Möchten Sie eine zweite Zahlenfolge b(k,k-1,k-2) gleichzeitig untersuchen, so definieren Sie den Term im entsprechenden Eingabefeld gemäß den geltenden Syntaxregeln und aktivieren das Kontrollkästchen b(k,k-1,k-2) =.
    
2. Tragen Sie im dafür vorgesehenen Eingabefeld A(k-1) = den reellen Startwert für das Glied A(k-1) der rekursiven Zahlenfolge ein. Wird das Glied A(k-2) verwendet, so definieren Sie den entsprechenden Startwert für dieses Glied im Eingabefeld A(k-2) =.
    
3. Legen Sie den Bereich, über welchen eine Summierung durchgeführt werden soll, durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die Felder mit den Bezeichnungen 1. Glied und Max. Ausgabewert fest. Vordefiniert sind hierbei für den Wert des 1. Gliedes die Zahl 1, sowie für den Wert des letzten Gliedes die Zahl 100.
    
4. Möchten Sie zusätzlich das Ergebnis der Summation von Gliedern über einen bestimmten Wertebereich ermitteln lassen, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen mit der Bezeichnung Partialsumme in Bereich von ... und geben die entsprechenden Werte in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
5. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Berechnen, so wird diese Aufsummierung durchgeführt und die Ergebnisse werden tabellarisch ausgegeben.
   
   Bestimmt wird u.a. auch der Grenzwert einer definierten Zahlenfolge (lim a_k bzw. lim b_k), sofern diese nicht divergiert, bzw. unbestimmbar ist.
    
6. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen werden die Glieder der Zahlenfolge in Form kleiner Kreise (Punkte) dargestellt.
    
7. Benutzen Sie hierauf die aufklappbare Box Auswahl, um die Darstellungsart der Folge auszuwählen. Zur Verfügung stehen: Punkte, Punkte und Linien sowie Balken.

Hinweise:

Soll eine Aufsummierung über einen sehr großen Wertebereich hinweg durchgeführt werden, so erhöht sich die hierzu notwendige Berechnungszeit entsprechend. Das Abbrechen einer solchen Berechnung erreichen Sie durch die Bedienung der Taste ESC.

 

Unter der Voraussetzung, dass eine definierte rekursive Zahlenfolge konvergent ist, wird die festgelegte ε-Umgebung (voreingestellt: 0,1) bei Ausgabe der grafischen Darstellung farblich markiert. Das hierbei auf dem Bedienformular vorhandene Kontrollkästchen Umgebung mark. steht jedoch stets zur Verfügung und bleibt ohne Funktion, wenn die dargestellte Zahlenfolge divergent ist.
 
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden. Dieses Programm kann auch dabei behilflich sein, einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bedienformular

  

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Beschriftung: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Umgebung mark.: Markierung der ε-Umgebung ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Zahlenfolgen

Zahlenfolgen - Interaktiv

Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv

Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

 

 
Es gilt untersuchen zu lassen, ob die rekursive Zahlenfolge a(k,k-1,k-2) = a(k-1)-k/10 innerhalb der Bereichs 2 ≤ k ≤ 10 einen Grenzwert besitzt. Der Startwert für das Glied a(k-1) sei 2.

Vorgehensweise und Lösung:

Geben Sie den Term A(K-1)-K/10 in das Feld a(k,k-1,k-2) = ein, aktivieren Sie das Kontrollkästchen a(k). Geben Sie in das Feld 1. Glied den Wert 2 und in das Feld Max. Ausgabewert die Zahl 10 ein.

Definieren Sie im Eingabefeld A(k-1) = den Startwert für das Glied a(k-1) durch Eingabe der Zahl 2. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm als Ergebnis für den Grenzwert dieser Zahlenfolge:

Da es zudem erforderlich ist, die Partialsumme der Glieder 3 bis 7 ermitteln zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Partialsumme in Bereich von ... und geben in die dafür vorgesehenen Felder die Zahlenwerte 3 und 7 ein. Das Programm gibt in diesem Fall nach einer erneuten Bedienung der Taste Berechnen als Ergebnis für die Partialsumme der Glieder 3 bis 7 den Wert 3,8 aus.

Für die Werte und Partialsummen einzelner Glieder der rekursiven Folge werden folgende Resultate errechnet und tabellarisch aufgelistet:

 

Glied	Wert	Partialsumme
3	1,7	3,7
4	1,3	5,0
5	0,8	5,8
6	0,2	6,0
7	-0,5	5,5
8	-1,3	4,2
9	-2,2	2,0
10	-3,2	-1,2

  

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Folge zu finden.

 

  

 

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Startfenster des Unterprogramms Rekursive Zahlenfolgen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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