MathProf - Rechteck-Scherung - Parallelogramm - Fläche - Cavalieri

Modul Rechteck-Scherung

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Extras] - Rechteck-Scherung ermöglicht es, sich das Cavalieri-Prinzip grafisch zu veranschaulichen.

 

 

Bei einer Scherung bleibt eine Scherungsachse fix. Dies bedeutet, dass jeder Punkt dieser Geraden auf sich selbst abgebildet wird. Die Punkte des zu scherenden Objekts werden parallel zur entsprechenden Achse verschoben. Veranschaulichen kann man sich dies, indem man ein Parallelogramm in eine bestimmte Anzahl von Rechtecken aufteilt.

 

In diesem Unterprogramm wird ein Rechteck durch Scherung nach dem Prinzip von Cavalieri in ein Parallelogramm gewandelt und es kann hierbei festgestellt werden, dass sich der Flächeninhalt des zu scherenden Objekts nicht ändert.

 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um das Prinzip der Rechteckscherung zu analysieren:
 

1. Legen Sie mit Hilfe des zur Verfügung stehenden Schiebereglers Anzahl Rechtecke auf dem Bedienformular fest, in wieviele Rechtecke Sie das Parallelogramm zerlegen möchten (voreingestellt: 3).
    
2. Punkt C ist ein Anfasspunkt, der verschoben werden kann. Möchten Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Möchten Sie die Lage des Punkts C mit der Maus verändern, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Das Prinzip von Cavalieri ist eine Aussage, die vom italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) stammt, der Schüler von Galileo Galilei war.

Dieses Prinzip besagt, dass zwei Körper volumengleich sind, wenn sie folgende Bedingungen erfüllen:

1. Die Grundflächen zweier Körper sind inhaltsgleich und sie liegen in derselben Ebene
2. Die Deckflächen zweier Körper sind inhaltsgleich und sie liegen in einer Ebene
3. Jede zur Grundebene parallele Ebene schneidet aus den beiden Körpern Flächen aus die inhaltsgleich sind

Der Satz von Cavalieri lautet:

Zwei Körper gleicher Höhe sind volumengleich, wenn sie in jeweils gleicher Höhe flächengleiche Querschnitte besitzen.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Beschriftung der Rechteckpunkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten der Rechteckpunkte ein-/ausschalten
• Füllen: Füllung des Parallelogramms ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 

 

Viereck

 

 

Nach der Positionierung des Schiebereglers Anzahl auf den Wert 10 und der Festlegung der Koordinaten des Punktes C auf (8 / 8) werden folgende Ergebisse ausgegeben:

 

Höhe des grauen Rechtecks: h = 8

Breite des grauen Rechtecks: b = 8

 

Fläche des grauen Rechtecks: A = 64 FE

Gesamtfläche aller blauen Rechtecke: A = 64 FE

Fläche des Parallelogramms: A = 64 FE

 

Neigungswinkel der Strecke CD: alpha = 63,435°

 

Hieraus wird ersichtlich, dass die Fläche des rot markierten Parallelogramms genau der Fläche des (blauen) Rechtecks entspricht.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Scherung zu finden.
 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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