MathProf - Raumkurve - 3D - Parameterdarstellung - Parameterkurven

 

Modul Raumkurven

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Im Unterprogramm [3D-Mathematik] - Raumkurven in Parameterform können Kurven im 3D-Koordinatensystem dargestellt werden, welche durch Funktionsterme in Parameterform (Parameterdarstellung) beschrieben werden.

 

 

In diesem Modul wird die Möglichkeit geboten, Zusammenhänge dieser Art grafisch, sowohl ohne, wie auch unter dem Einfluss von Funktionsparametern zu untersuchen. Es ermöglicht die Darstellung von Raumkurven, welche definiert werden durch
 

• Funktionen in Parameterform in kartesischen Koordinaten, beschrieben durch Terme der Form x = f(k,p) ; y = g(k,p) ; z = h(k,p)
• Funktionen in Parameterform in Zylinderkoordinaten, beschrieben durch Terme der Form r = f(k,p) ; j = g(k,p) ; z = h(k,p)
• Funktionen in Parameterform in Kugelkoordinaten, beschrieben durch Terme der Form r = f(k,p) ; j = g(k,p) ; n = h(k,p)

Das Programm stellt die entsprechenden Kurven mit Hüllen dar, deren Durchmesser einstellbar ist.
 

 
Die Kurven können durch Funktionsterme in einer der folgenden Formen beschrieben werden:
 
Kartesische Koordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
Zylinderkoordinaten:
 

 
Beispiel:
 

 
Kugelkoordinaten:
 

 
Es wird folgender Zusammenhang zwischen kartesischen und sphärischen Koordinaten zugrundegelegt:
 

 
Beispiel:
 

 
Die gewünschte Definitionsform selektieren Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Menüpunkts unter Optionen. Voreingestellt ist die Verwendung kartesischer Koordinaten. Nachfolgend wird ausschließlich auf die Verwendung dieser Definitionsform eingegangen.
 
Die Variablen x, y und z hängen von einem reellwertigen Parameter k ab, welcher frei festlegbar ist.

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bei der Darstellung einer Raumkurve in Parameterform, werden die Koordinaten der Kurvenpunkte durch drei Gleichungen ermittelt. Die Variablen (Koordinatenwerte) x, y und z hängen von einem reellwertigen Parameter k ab. Das Symbol, welches diesen Parameter beschreibt, ist in diesem Unterprogramm auf K festgelegt. Funktionsterme dieser Art müssen (bei Verwendung dieses Parameters) bei deren Definition deshalb stets das Zeichen K enthalten.

Beispiel:

 

x = f(k) = sin(k)

y = g(k) = cos(k)

z = h(k) = k+2

 

 

 

Um sich Raumkurven darstellen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Aktivieren Sie den Menüpunkt Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung (voreingestellt).
    

2. Definieren Sie die drei zur Darstellung einer Raumkurve benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(k,p) =, g1(k,p) =, h1(k,p) = und aktivieren Sie das entsprechende Kontrollkästchen.
   
   Soll die gemeinsame Darstellung zweier Kurven erfolgen, so sind drei weitere Funktionsterme in den darunter angeordneten Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f2(k,p) =, g2(k,p) =, h2(k,p) = festzulegen und das zugehörige Kontrollkästchen zu aktivieren.
   
   Beachten Sie die geltenden Syntaxregeln.
    

3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Parameterwertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen die Kurve darzustellen ist (voreingestellt: -π ≤ k ≤ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bzw. Statisch, ob das Programm den zur grafischen Ausgabe erforderlichen Darstellungsbereich automatisch bestimmen soll, oder ob Sie diesen vorgeben möchten. Trifft Letzteres zu, so legen Sie diesen durch die Eingabe eines entsprechenden Zahlenwerts in das Feld Abs. Bereich fest.
    
5. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so führen Sie Folgendes durch:
   
   Definieren Sie durch die Eingabe von Zahlenwerten in die Felder Parameter p von ... und bis ... den Startwert, sowie den Endwert des vom Funktionsparameter P zu durchlaufenden Wertebereichs und legen Sie durch die Eingabe eines entsprechenden Werts in das Feld Schrittweite die Schrittweite für Funktionsparameter P fest. Voreingestellt sind der Startwert -5, der Endwert 5, sowie eine Schrittweite von 0,1.
   
   Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Automatisch bei Simulation oder Manuell, ob Sie die Parameterwertsimulation manuell durchführen möchten, oder ob das Programm diese automatisch ausführen soll.
    
6. Bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Den Radius der Hülle einer dargestellten Kurve können Sie festlegen, indem Sie den Rollbalken im Bedienformularbereich Hülle positionieren.

Hinweise:

Werden Untersuchungen mit Funktionstermen durchgeführt, von welchen keiner das Einzelzeichen P enthält (parameterfreie Funktionen), so ist die Schaltfläche Sim. Start stets deaktiviert. Wurde hingegen wenigstens ein Funktionsterm definiert, welcher dieses Zeichen enthält, und wurde die Durchführung einer manuellen Simulation gewählt, so steht auf dem Bedienformular ein Schieberegler P zur Verfügung, mit welchem Sie den zu verwendenden Wert für Parameter P einstellen können. Wurde eine automatische Simulation gewählt, so können Sie diese starten, indem Sie die Schaltfläche Start Sim. bedienen. Sie trägt hierauf die Bezeichnung Stop Sim. Beendet werden kann die Simulation wieder, indem Sie diese Schaltfläche nochmals bedienen. Es wird stets der Parameterwertebereich durchlaufen, welcher auf dem Hauptformular des Unterprogramms festgelegt wurde.

 

Bei einer gemeinsamen Darstellung zweier Kurven kann durch die Aktivierung der Kontrollkästchen K1 bzw. K2 auf dem Bedienformular gewählt werden, welche dieser eingeblendet werden.

 

 

Zudem wird die Durchführung numerischer Analysen der Ortskoordinaten einer Raumkurve ermöglicht.

 

 

Wird der Menüpunkt Werte - Funktionswerte gewählt, so ermittelt das Programm die x-, y- und z-Koordinatenwerte von Punkten, die die Raumkurve beschreiben. Um sich diese ausgeben zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie die drei zur Definition einer Raumkurve benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(k) =, g(k) = sowie h(k) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen Sie sich Funktionswerte ausgeben lassen möchten (voreingestellt: -π ≤ k ≤ π).
    
3. Wählen Sie die Schrittweite, mit welcher die Berechnungen durchzuführen sind, über die aufklappbare Auswahlbox aus (voreingestellt: 0,1).
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse und gibt diese in der Tabelle aus.

 

 

Wird der Menüpunkt Werte - Bogenlänge gewählt und möchten Sie die Bogenlänge einer in Parameterform beschriebenen Raumkurve näherungsweise ermitteln lassen, so sollten Sie Folgendes ausführen:

1. Definieren Sie die drei zur Definition einer Raumkurve benötigten Funktionsterme in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f(k) =, g(k) = sowie h(k) = und beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln.
    
2. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Wertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen Sie sich die Bogenlänge der Kurve ausgeben lassen möchten (voreingestellt: -π ≤ k ≤ π).
    
3. Wählen Sie durch die Positionierung des Rollbalkens Stützstellen, mit welcher Genauigkeit diese Berechnungen durchgeführt werden sollen (je mehr Stützstellen verwendet werden, desto exakter sind die resultierenden Berechnungsergebnisse).
    
4. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen, so ermittelt das Programm die Ergebnisse.

Es ist darauf zu achten, dass deklarierte Funktionsterme nicht das Einzelzeichen P enthalten, welches ausschließlich bei der Definition einer Funktion zur grafischen Darstellung Verwendung findet.

 

Hinweis:

Befinden sich in den oberen drei Eingabefeldern mit den Bezeichnungen f1(k,p) =, g1(k,p) = und h1(k,p) = bereits Funktionsdeklarationen, so werden diese bei Aufruf dieses Befehls in die Eingabefelder des erscheinenden Unterformulars übernommen.

 

 

 

Bei Durchführung einer Wertebereichsanalyse kann der Wert des Parameters K innerhalb des Bereichs verändert werden, der auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegeben wurde. Einstellbar ist dieser durch die Positionierung des Rollbalkens mit der Bezeichnung K.

 

Um eine Wertebereichsanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Wertebereichsanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

 

Das Programm erlaubt die Abtastung der Kontur der dargestellten Raumkurve in Abhängigkeit von Parameter K und somit die Analyse entsprechender Koordinatenwerte. Der Wert des Parameters K kann durch die Positionierung des Rollbalkens mit der Bezeichnung K innerhalb des Bereichs verändert werden, der auf dem Hauptformular des Unterprogramms definiert wurde. Die x-, y- und z-Koordinatenwerte des entsprechenden Kurvenpunktes werden ausgegeben.

 

Um eine Koordinatenwertanalyse durchzuführen, aktivieren Sie vor Aufruf der Darstellung den Menüeintrag Grafische Analyse / Koordinatenwertanalyse. Um diesen Modus wieder auszuschalten, wählen Sie den Menüeintrag Grafische Analyse / Vorgabeeinstellung.

 

 

Bei der Darstellung derartiger Gebilde ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung der Kurve erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet die Kurve an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Koord. positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

 

 

Da es unter Umständen notwendig sein kann, bei gleichzeitiger Darstellung zweier Raumkurven verschiedene Wertebereiche für Parameter K zu verwenden, steht der Menüpunkt Optionen - Verschiedene Parameterwertebereiche für Funktionen zur Verfügung. Nach einer Wahl dessen werden zwei weitere Eingabefelder eingeblendet, durch welche es ermöglicht wird, beiden Kurven verschiedene Wertebereiche für Funktionsparameter K zuzuweisen.

 

Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Optionen - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Optionen - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung.

 

Beide o.a. Einstellungen werden sitzungsübergreifend gespeichert.

 

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.

 

 

Funktionen in Parameterform

 

 

Beispiel 1 - Darstellung:

 

Es gilt, sich eine Raumkurve darstellen zu lassen, welche durch die Terme

 

x = f(k) = sin(k)

y = g(k) = cos(k)

z = h(k) = k/3

 

in kartesischen Koordinaten beschrieben wird. Der Parameterwertebereich sei: -π  ≤ k ≤ π

 

Vorgehensweise:

 

Aktivieren Sie das Kontrollkästchen Funktionsterme 1 (voreingestellt) und geben Sie die Terme SIN(K), COS(K) und K/3 in die entsprechenden Felder ein.

 

Legen Sie durch die Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Parameter von k1 = und bis k2 = den Wertebereich für Parameter k fest (nach einem Klick in ein Eingabefeld rechte Maustaste benutzen).

 

Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen wird die Darstellung der Kurve ausgegeben.

 

Beispiel 2 - Bogenlänge:

 

Berechnung der Bogenlänge, des durch die Funktionsterme

 

x = f(k) = sin(k)

y = g(k) = cos(k)

z = h(k) = 0

 

in kartesischen Koordinaten beschriebenen Kreises (Mittellinie des dargestellten Torus), innerhalb des Bereichs -π ≤ k ≤ π.

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach der Wahl des Menüpunkts Werte - Bogenlänge, der Definition der Funktionsterme SIN(K), COS(K) und 0 in den Feldern x = f(k) =, y = g(k) =, z = h(k) =, der Eingabe der Zahlenwerte -3,14159 und 3,14159 in die Felder Von k1 = und bis k2 = und der Festlegung einer zur Berechnung zu verwendenden Anzahl von ca. 30000 Stützstellen durch die Positionierung des Rollbalkens Anz. Stützstellen, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen das Ergebnis:

Die Bogenlänge der Mittellinie des Torus beträgt 6,28318 LE (entspricht dem Kreisumfang 2πr bei r = 1).
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Grafikprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Üben sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Übungen hierzu. Oftmals lassen sich hiermit auch die Lösungen von Übungsaufgaben durch benutzerdefinierte Festlegungen und Eingaben numerisch oder grafisch ermitteln bzw. auswerten. Erlernte Fertigkeiten können somit auf einfache Weise untersucht werden. Implementierte Beispiele zu Sachverhalten erlauben die Bezugnahme zum entsprechenden Fachthema.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11


Grafische Darstellung - Beispiel 12


Grafische Darstellung - Beispiel 13


Grafische Darstellung - Beispiel 14

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Raumkurven zu finden. 

 

 

Rotation von Kurven in kartesischer Form um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven in kartesischer Form um die Y-Achse (3D) - Rotation von Kurven in Parameterform um die Y-Achse (3D) - Flächen mit Funktion in expliziter Form (3D) - Analyse implizit definierter Funktionen (3D) - Flächen mit Funktionen in Parameterform (3D) - Funktionen in sphärischen Kugelkoordinaten (3D) - Funktionen in sphärischen Zylinderkoordinaten (3D) - Flächen 2. Ordnung (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Raumkurven
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Rotation von Kurven in Parameterform um die y-Achse

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke