MathProf - Punkt-Steigungs-Form - Punkt-Richtungs-Gleichung - Gerade
Fachthema: Punktrichtungsform einer Gerade
MathProf - Geometrie - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Praktizierung interaktiver Analysen
mit linearen Funktionen.
Dieses Teilprogramm ermöglicht die grafische Darstellung und Durchführung von Untersuchungen mit einer oder zwei Geraden, welche in Punkt-Richtungsform definiert sind.
Eine Zuordnung, bei welchem jedem Element der Menge A exakt ein Element der Menge B zugeordnet wird, wird als Funktion bezeichnet. Eine lineare Funktion wird durch die Formel y = m·x +b (Hauptform) ausgedrückt. Sie werden als Geradengleichungen in Punkt-Steigungs-Form, Punkt-Richtungsform bzw. als Parametergleichungen bezeichnet.
Bei der Definition zweier Geraden dieses Typs werden hierbei unter anderem der Schnittpunkt zweier Geraden, der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden sowie die Winkelhalbierende von zwei Geraden dieser Art berechnet und ausgegeben.
Ebenso werden deren Achsenschnittpunkte mit der x-Achse sowie mit der y-Achse ermittelt. Auch erfolgt das Berechnen der Nullstelle, der Steigung und des Steigungswinkels dieser Geraden in der Ebene. Proportionale Funktionen der Form y = m·x und somit Ursprungsgeraden können in diesem Programmmodul ebenfalls dargestellt und analysiert werden.
Die Berechnung der Werte erforderlicher Größen erfolgt zur Echtzeit. Der Rechner stellt die entsprechenden Zusammenhänge unmittelbar nach Durchführung einer interaktiven Operation dar.
Neben dem Zeichnen linearer Funktionen dieser Art lassen sich Wertetabellen für derartige Funktionen im Unterprogramm Funktionswertetabellen ausgeben.
Weitere relevante Seiten zu diesem Programm
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Gerade - Punkt-Steigungs-Form - Punktsteigungsform - Punktrichtungsgleichung - Lineare Funktionsgleichung - Steigung einer Gerade - Proportionale Funktion - Proportionale Funktionen - Urprungsgerade - Kartesische Normalform - Geradengleichung - Geradenschnitt - Analyse der Eigenschaften von Geraden - Schnittpunkt zweier Geraden - Winkel zwischen zwei Geraden - Graphen linearer Funktionen - Lineare Funktionen zeichnen - Lineare Funktionen darstellen - Lineare Funktionen - Steigung einer linearen Funktion - Hauptform der Geradengleichung - Lineare Graphen - Lineare Zuordnung - Proportionale Zuordnung - Proportionale Beziehung - Zuordnung - Zuordnungsvorschrift - Geradendarstellung - Geradenkreuzung - Steigungsfaktor einer Gerade - Steigungsformel - Steigungsfaktor - Neigungswinkel einer Gerade - Gerade in der Ebene - Gleichung einer Geraden - Gerade bestimmen - Geradengleichung bestimmen - Gerade plotten - Gerade verschieben - Horizontale Gerade - Waagerechte Gerade - Abstand Ursprung Gerade - Gerade durch einen Punkt - Nullstellen linearer Funktionen - Y-Achsenabschnitt einer Geraden berechnen - X-Wert berechnen - Y-Wert berechnen - Steigungsformel - Zueinander senkrechte Geraden - Senkrecht - Senkrecht zueinander - Achsenschnittpunkte von Geraden berechnen - Lagebeziehung - Parameter - Steigungswinkel - Bestimmen - Bestimmung - Erklärung - Einfach erklärt - Herleitung - Beweis - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Bedeutung - Was bedeutet - Beschreibung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Definition - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Begriff - Begriffe - Anwendungsaufgaben - Einführung - Rechner - Graph - Plotter - Gleichung - Nullstelle - Berechnen - Darstellen - Zeichnen - Plotten - Anstieg einer linearen Funktion - Steigende Gerade - Fallende Gerade - Nullstellen ablesen - Grafische Darstellung von Geraden - Schneidende Geraden - Gegenseitige Lage von Geraden |
Punkt-Steigungs-Form einer Geraden
Modul Punkt-Richtungsform einer Gerade
Mit Hilfe des Unterprogramms [Geometrie] - [Gerade] - Punkt-Richtungs-Form können Geraden in Punkt-Richtungs-Form (Punktsteigungsform) untersucht werden.
Geradengleichungen in der Ebene können u.a. in einer der folgenden Formen definiert werden:
-
Achsenabschnittsform
-
Punkt-Richtungs-Form (Steigungsform - Kartesische Normalform)
-
Zwei-Punkte-Form
-
Hessesche Normalenform
-
Allgemeine Form
In diesem Modul können Sie lineare Funktionen untersuchen, die in Punkt-Richtungs-Form (Punktsteigungsform) vorliegen. Geraden, die in dieser Form beschrieben werden, besitzen in Punkt A (x1;y1) die Steigung (den Steigungsfaktor):
(Steigungsformel)
Die Gleichung einer Gerade dieser Form besitzt die Gestalt y = m⋅x+b. Terme der Form m⋅x+b werden als Terme ersten Grades oder lineare Terme bezeichnet.
Urprungsgerade:
Bei einer Ursprungsgerade handelt es sich um eine Gerade, welche durch den Koordinatenursprung (0|0) verläuft.
Sonderfälle:
b = 0: Gleichung einer Ursprungsgerade
y = 0: Gleichung der x-Achse
x = 0: Gleichung der y-Achse
y = x: Gleichung der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten
y =- x: Gleichung der Winkelhalbierenden des 2. und 4. Quadranten
Proportionale Funktion:
Jede lineare Zuordnung ist eine proportionale Beziehung. Eine proportionale Zuordnung ist eine Sonderform der linearen Zuordnung. Hierbei handelt es sich um eine lineare Zuordnung, welche einen Achsenabschnitt von 0 besitzt. Die Zuordnungsvorschrift für proportionale Beziehungen lautet y = p⋅x. Eine Funktion mit einer derartigen Zuordnungsvorschrift wird als proportionale Funktion bezeichnet. Die Graphen derartiger Funktionen sind Geraden. Eine lineare Zuordnung besitzt die allgemeine Form f(x) = m⋅x+b. Geraden dieser Art lassen sich in diesem Teilprogramm darstellen und untersuchen. Ist b = 0, so liegt eine proportionale Funktion vor, ist m = 0, so handelt es sich um eine konstante Funktion.
Das Programm ermittelt für eine Funktion dieser Art:
- Achsenabschnitt b der Geraden
- Gleichung der Geraden in Punkt-Richtungs-Form (Punktsteigungsform)
- Abstand der Geraden vom Ursprung
- Nullstelle der Geraden
- Gleichungen der Winkelhalbierenden zweier Geraden dieser Form
- Schnittpunkt zweier Geraden dieser Form
- Achsenschnittpunkte der Geraden
Darstellung
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit Geraden dieser Art durchzuführen:
- Stellen Sie mit dem Schieberegler Steigung m auf dem Bedienformular den Wert für die Steigung m der Geraden ein.
- Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punkts (z.B. Punkt A) exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
- Um die Position eines Fangpunkts mit der Maus zu verändern, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
- Sollen gleichzeitig zwei Geraden dieser Art dargestellt und der Schnittpunkt sowie die Winkelhalbierenden dieser ausgegeben werden, so aktivieren Sie die Kontrollkästchen 2 Geraden und die Kontrollkästchen SP sowie WH.
- Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktiv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Bedienformular
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
- Punkt beschriften: Beschriftung relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
- Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Geradenpunkte ein-/ausschalten
- Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
Allgemein
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
Weitere Themenbereiche
Achsenabschnittsform einer Geraden
Zwei-Punkte-Form einer Geraden
Hessesche Normalenform einer Geraden
Beispiel für eine lineare Funktion in Punkt-Steigungsform
Nach Eingabe der Koordinatenwerte des Punktes A (6 / 2) und der Festlegung der Steigung der Gerade auf den Wert m = -1,5, gibt das Programm folgende Werte für die Eigenschaften der Gerade aus:
Gleichung der Geraden (Punktsteigungsform): Y = m·x+b = -1,5·x+11
Steigung der Geraden: m = -1,5
Achsenabschnitt: b = -m·x+y = 11
Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 6,102
Nullstelle der Geraden: N (7,333 / 0)
Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 11)
Werden die Kontrollkäschen 2 Geraden, WH sowie SP aktiviert und wird für die zweite Gerade der Koordinatenwert des Punkts durch welchen diese verlaufen soll mit B (2 / -3) und für die Steigung dieser, durch die Positionierung des dafür zur Verfügung stehenden Rollbalkens, ein Wert von m2 = -5 festgelegt, so ermittelt das Programm zusätzlich:
Für die zweite Gerade durch Punkt B:
Gleichung der Geraden: Y = m·x+b = -5·x+7
Steigung der Geraden: m = -5
Achsenabschnitt: b = -m·x+y = 7
Abstand der Geraden vom Ursprung: d = 1,373
Nullstelle der Geraden: N (1,4 / 0)
Schnittpunkt der Geraden mit der Y-Achse: Sy (0 / 7)
Für die Gleichungen der Winkelhalbierenden beider Geraden gibt das Programm aus:
Winkelhalbierende 1: Y = -2,414·X+9,955
Winkelhalbierende 2: Y = 0,414·X+13,188
Der Schnittpunkt beider Geraden wird ermittelt mit: S (-1,143 / 12,714)
Grafische Darstellung - Beispiel 1
Grafische Darstellung - Beispiel 2
Grafische Darstellung - Beispiel 3
Grafische Darstellung - Beispiel 4
Grafische Darstellung - Beispiel 5
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Punkt-Steigungsform zu finden.
Achsenabschnittsform einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
MathProf 5.0 - Unterprogramm Zwei-Punkte-Form einer Gerade
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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