MathProf - Poissonverteilung - Approximation - Rechner - Tabelle

 

Modul Poisson-Verteilung

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Unter dem Menüpunkt [Stochastik] - [Poisson-Verteilung] - Poisson-Verteilung lassen sich Berechnungen mit Poisson-verteilten Größen durchführen. Ermittelte Werte werden in Tabellen ausgegeben und Zusammenhänge zu diesem Fachthema können grafisch veranschaulicht werden.
 

 

 

Bei einer Poisson-Verteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die von einem Parameter abhängig ist. Sie ist ein Grenzfall der Binomialverteilung und beschreibt Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die selten selten und unabhängig voneinander auftreten.

Eine Poisson-Verteilung erlaubt die Berechnungen der Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Merkmal insgesamt k-mal in einer Einheit auftritt, wenn das Merkmal zufällig verteilt ist und im Mittel μ-mal in einer Einheit auftritt (z.B. die Anzahl der sich pro h auf einer bestimmten Straße befindenden Fahrzeuge).
 
Es ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche bei der mehrmaligen Ausführung eines Bernoulli-Experiments entsteht. Die Poissonverteilung findet bei einer hohen Anzahl von Ereignissen und der geringen Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisse auch Anwendung als Näherungslösung für binomailverteilte Zufallsgrößen (Poisson-Approximation).
  

 
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses (Dichte oder Zahldichte) wird in diesem Fall wie folgt beschrieben:

Oftmals gilt es Fragen zu beantworten, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis mindestens oder höchstens zu erwarten ist (kumulierte Wahrscheinlichkeit), z.B. P(X ≤ k), oder P(X ≥ k). Hierfür wird die Verteilungsfunktion verwendet. Die Gleichung dieser Verteilung ist definiert mit:


Der Erwartungswert einer Poisson-Verteilung kann wie nachfolgend gezeigt berechnet werden:


Die Varianz einer Poisson-Verteilung beträgt:

V(x) = λ

Per Voreinstellung (ohne die Aktivierung des Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten) gibt das Programm nach Ausführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen die Wahrscheinlichkeit P(X = k) mit der dieses Ereignis genau k-mal eintritt, aus. Zudem werden die Wahrscheinlichkeiten ausgegeben, mit welchen das Auftreten dieses Ereignisses bis zu k-mal, oder höchstens k-mal eintritt F(X ≤ k).
 

 

 
Interessieren weitere Ereigniswahrscheinlichkeiten, wie

• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis genau k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mindestens k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis mehr als k-mal eintritt
• Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis weniger als k-mal eintritt

so können Sie sich auch diese ausgeben lassen, nachdem vor der Ausführung eines Klicks auf díe Schaltfläche Berechnen das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten aktiviert wurde.
 
 
Hierbei gilt nachfolgend Aufgeführtes.

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis genau k-mal eintritt:

F(0) für k = 0

F(k) - F(k-1) für k ≥ 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mindestens k-mal eintritt:

1 für k = 0

1 - F(k-1) für k ≥ 1
 

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis mehr als k-mal eintritt:

1 - F(k)

Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Ereignis weniger als k-mal eintritt:

F(k-1)
 

Grafische Darstellung - Beispiel 1 - Dichte
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2 - Verteilung
 

Um Berechnungen mit poissonverteilten Größen durchführen zu lassen und Zusammenhänge grafisch zu analysieren, gehen Sie wie nachfolgend beschrieben vor:
 

1. Legen Sie im Eingabefeld Parameter μ den Wert für den Verteilungsparameter μ fest und geben Sie in das Eingabefeld Anzahl Ereignisse x die Anzahl aufgetretener Ereignisse ein.
    

2. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen und ist das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten deaktiviert, so werden die entsprechenden Ergebnisse für die Ereigniswahrscheinlichkeiten P(X=k), sowie für die Verteilung F(X ≤ k) für k = 1...x in den Tabellen ausgegeben.
   
   Möchten Sie sich alle Arten berechenbarer Ereigniswahrscheinlichkeiten ausgeben lassen, so aktivieren Sie vor Durchführung der Berechnung das Kontrollkästchen Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten. Die in Tabelle p2 aufgelisteten Ereigniswahrscheinlichkeiten entsprechen den, auf dem Hauptformular des Unterprogramms in Tabelle Ereigniswahrscheinlichkeiten p(X=k), angezeigten Wahrscheinlichkeitswerten.
    
3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen stellt das Programm das Diagramm für die Dichtefunktion (Wahscheinlichkeitsdichte) dieser Verteilung dar (Kontollschalter Dichte ist aktiviert). Um das entsprechende Verteilungsdiagramm angezeigt zu bekommen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Verteilung.

  

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Benutzung der entsprechenden Steuerelemente folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Diagramm und Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken und Linien
• Nur Kurve: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Linien
• Nur Diagramm: Darstellung des Verteilungs- oder Dichtediagramms in Form von Balken
• Balkenbreite: Einstellung der Balkenbreite des entsprechenden Diagramms
• Beschriftung: Anzeige der Verteilungs- bzw. Dichtewerte ein-/ausschalten

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Poisson-Verteilung - Interaktiv

 

 

Beispiel 1 - Poisson-Verteilung:

 

An einer Kreuzung finden pro Woche 2 Verkehrsunfälle statt.

Die Häufigkeit der Verkehrsunfälle wird durch eine Poissonverteilung mit μ = 4 beschrieben.

 

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als vier Verkehrsunfälle in zwei Wochen stattfinden?

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach Eingabe der Werte 2 und 4 in die entsprechenden Felder, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus der Tabelle mit der Bezeichnung p1 entnommen werden:

F(≤ 3) = F(0) + F(1) + F(2) + F(3) = 0,4335
 

Beispiel 2- Poisson-Verteilung:

Bei einer Endprüfung an einem Montageband werden im Mittel 2 Fehler pro Gerät festgestellt.

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche genau 2 Fehler aufweisen?

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche weniger als 2 Fehler aufweisen?

Wie groß ist der Anteil der Geräte, welche mehr als 2 Fehler aufweisen?

 

Vorgehensweise und Lösung:
 

Nach Eingabe des Werts 2 für Parameter μ sowie der Festlegung der Anzahl der Ereignisse auf 10, einer Aktivierung des Kontrollkästchens Alle Ereigniswahrscheinlichkeiten und der Bedienung der Schaltfläche Berechnen, kann aus den Tabellen entnommen werden:

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p2 (Ereignis tritt genau 2-mal ein):

F(2) - F(1) = 0,27067057
 

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p5 (Ereignis tritt weniger als 2-mal ein):

F(1) = 0,40600585
 

Aus der Tabelle mit der Bezeichnung p4 (Ereignis tritt mehr als 2-mal ein):

1 - F(2) = 0,32332
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3 - Dichte


Grafische Darstellung - Beispiel 4 - Verteilung


Grafische Darstellung - Beispiel 5 - Verteilung

     
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Poisson-Verteilung zu finden.

 

 

Kombinatorik - Urnenmodell - Pfadregel - Galton-Brett - Statistische Messwertanalyse - Hypothesentest - Binomialverteilung - Binomialverteilung - Interaktiv - Binomialkoeffizienten - Geometrische Verteilung - Geometrische Verteilung - Interaktiv - Poisson-Verteilung - Interaktiv - Hypergeometrische Verteilung - Hypergeometrische Verteilung - Interaktiv - Stetige Verteilungen - Glockenkurve - Regressionsanalyse - Stichproben - Stichproben - Verteilungen - Lottosimulation - Vierfeldertest - Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenhang von Messwerten - Experimente - Gesetz der großen Zahlen - Berechnung von Pi (Monte-Carlo-Methode)

 

 

Startfenster des Unterprogramms Poisson-Verteilung
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Geometrische Verteilung - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

   

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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