MathProf - Sinusfunktion - Kosinusfunktion - Wertemenge - Graph

 

Modul Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion

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Durch die Benutzung des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion kann der Einfluss von Parametern auf die trigonometrischen, periodischen Winkelfunktionen Sinus und Cosinus untersucht werden.

 

Alsi trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) werden periodische Funktionen bezeichnet, die sich unter anderem zur Darstellung periodischer Bewegungsabläufe eignen. Hierzu zählen unter anderem die Sinusfunktion sowie die Cosinusfunktion. Die von ihnen beschriebenen Kurven werden als Sinuskurve und Cosinuskurve bezeichnet.

Periodische Funktionen besitzen die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Als periodische Vorgänge oder Periodizität werden Prozessabläufe bezeichnet, die sich in zeitlich oder auch in räumlich konstantem Abstand fortlaufend wiederholen. Als Periode wird der der kleinste zeitliche oder örtliche Abstand beschrieben, nach dem sich ein Vorgang wiederholt. Die Länge der Dauer bis sich ein derartiger Ablauf wiederholt wird Periodendauer oder Periodenlänge genannt.
 
Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken haben Sie die Möglichkeit die Parameter a, b, c und d einer periodischen Sinusfunktion bzw. Cosinusfunktion der Form
 

Y = a·sin(b·x+c)+d

Y = a·cos(b·x+c)+d
 

zu ändern und somit deren Wirkung auf den Funktionsverlauf zu untersuchen. Diese beiden Formen werden als allgemeine Sinusfunktion und allgemeine Kosinusfunktion bezeichnet.
 

Eine Veränderung der Parameter beeinflusst/bewirkt:

a: Streckung bzw. Stauchung der periodischen Winkelfunktion in y-Richtung (Amplitude oder Spitzenwert)

b: Änderung der Länge der kleinsten Periode der Winkelfunktion

c: Verschiebung der trigonometrischen Winkelfunktion in x-Richtung

d: Verschiebung der trigonometrischen Winkelfunktion in y-Richtung

Dies Parameter tragen die folgenden Bezeichnungen:

Parameter a: Amplitude
Parameter b: Frequenz
Parameter c: Phasenverschiebung
Parameter d: Offset

Die Koordinatenwerte eines Punktes (die Sinuswerte bzw. der Sinuswert) einer dargestellten Funktion lassen sich durch ein Anfassen des dafür vorgesehenen Fangpunkts sowie die entsprechende Positionierung des Mauszeigers ablesen. Des Weiteren ermöglicht das Programm auch die Darstellung der 1. Ableitung einer Sinusfunktion oder Cosinusfunktion.
 
Hinweis:
Beliebige, frei definierbare Sinus- und Cosinusfunktionen können unter anderem in den Unterprogrammen Mathematische Funktionen I sowie Mathematische Funktionen II dargestellt und untersucht werden. Hierbei ist zur Definition der Sinusfunktion der Syntaxbefehl SIN() und  zur Definition der Cosinusfunktion der Syntaxbefehl COS() zu verwenden. Beispiele zur grafischen Darstellung oder Analyse einer derartigen Funktion der Form f(x) sind die Terme: SIN(X), 2*SIN(X-3), COS(X-SIN(X)), 3*(X/2+COS(2-X)). Weitere Hinweise und Möglichkeiten zur Definition von Funktionen dieser oder ähnlicher Art in diesem Programm sind unter Syntaxregeln zu finden.

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Wählen Sie hierzu zunächst durch die Selektion des entsprechenden Kontrollschalters die Funktionsart, mit welcher Sie die Untersuchung durchführen möchten. Es stehen zur Verfügung:
    

   • Sinus (Parameteranalyse der Sinusfunktion)

   • Cosinus (Parameteranalyse der Cosinusfunktion)

   • Beide (Parameteranalyse der Sinus- und der Cosinusfunktion)
      

2. Durch eine Positionierung der Schieberegler Parameter a, Parameter b, Parameter c und Parameter d können Sie die Parameter a, b, c und d der Funktion(en) verändern und somit deren Einfluss analysieren. Zudem ermöglicht das Programm die Einblendung der 1. Ableitung der Sinus-Funktion, sowie der Cosinus-Funktion. Aktivieren Sie hierzu das entsprechende Kontrollkästchen 1. Ableitung der Sinusfunktion bzw. 1. Ableitung der Cosinusfunktion.
    
3. Möchten Sie sich die Koordinatenwerte eines Punkts der Kurve (bzw. derer 1. Ableitung) ausgeben lassen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den hierfür benötigten Abszissenwert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
4. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
    
5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• 1. Ableitung der Sinusfunktion: Darstellung der 1. Ableitung der Sinusfunktion ein-/ausschalten
• 1. Ableitung der Cosinusfunktion: Darstellung der 1. Ableitung der Cosinusfunktion ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

 

Wurde die Darstellung einer periodischen Sinusfunktion gewählt, die Rollbalken mit den Bezeichnungen a und b auf den Wert 2, sowie die Rollbalken mit den Bezeichnungen c und d auf den Wert 0 eingestellt, so wird die Funktion y = 2·sin(2·x) dargestellt.

Wird der Parameter d daraufhin auf den Wert d = 2 eingestellt, so ist zu erkennen, dass diese Änderung eine Translation der Funktion um den Wert 2 in positiver vertikaler Richtung zur Folge hat und die Funktion y = 2·sin(2·x)+2 ausgegeben wird.

Zudem werden angezeigt:

Wertebereich der Funktion: [0;4]

Periode der Funktion (in Gradmaß): 180°

Periode der Funktion (in Bogenmaß): 3,14 (entspricht PI)

 

Bei einer Positionierung des Mausfangpunkts auf den Wert (3 / 0) kann festgestellt werden, dass der Ordinatenwert der periodischen Funktion Y = 2·sin(2·x)+2 an dieser Stelle y = 1,441, sowie der entsprechende Wert für die 1. Ableitung an dieser Stelle y = 3,846 beträgt.
 

Trigonometrische Beziehungen:

Nachfolgend aufgeführt finden Sie u.a. die geltenden Additionstheoreme (trigonometrische Formeln) für Sinus und Kosinus bzw. deren Rechengesetze und die entsprechenden Rechenregeln (Regeln).
 
Additionstheoreme:
 

sin(α+β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)

sin(α-β) = sin(α)·cos(β) - cos(α)·sin(β)

 

cos(α+β) = cos(α)·cos(β) – sin(α)·sin(β)

cos(α-β) = cos(α)·cos(β) + sin(α)·sin(β)

   
Weitere Beziehungen zwischen Winkelfunktionen:
 

sin² (α) = 1/2·(1 - cos (2·α))

cos² (α) = 1/2·(1 + cos (2·α))

sin³ (α) = 1/4·(3·sin (α) - sin (3·α))

cos³ (α) = 1/4·(3·cos (α) + cos (3·α))

sin (3·α) = 3·sin (α) - 4·sin³ (α)

cos (3·α) = 4·cos³ (α) - 3·cos (α)

sin (4·α) = 8·sin (α)·cos³ (α) - 4·sin (α)·cos (α)

cos (4·α) = 8·cos² (α)·cos² (α) - 8·cos² (α)+1

 
Periodizität der Sinusfunktion:

sin(x) = sin(x+k⋅2π) k ∈ Z

Periodizität der Cosinusfunktion:

cos(x) = cos(x+k⋅2π) k ∈ Z
 

 

Wesentliche Eigenschaften von Sinus- und Cosinusfunktionen wie der Definitionsbereich, der Wertebereich (die Wertemenge), die Periode, die Symmetrie, die Nullstellen sowie relative Maxima und Minima sind in nachfolgender Tabelle aufgeführt.
 

	y = sin(x)	y = cos(x)
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Periode	2π	2π
Symmetrie	ungerade	gerade
Nullstellen	xk = k·π	xk = π/2 + k·π
Relative Maxima	xk = π/2 + k·2π	xk = k·2π
Relative Minima	xk = 3π/2 + k·2π	xk = π + k·2π

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
    

 
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Sinus und Cosinus zu finden.

 

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Funktionswertetabellen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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