MathProf - Wurzelfunktion - Wurzelfunktionen - Wurzelgleichungen

 

Modul Parameter der Quadratwurzelfunktion

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Durch die Benutzung des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Parameter der Quadratwurzelfunktion kann der Einfluss von Parametern auf Quadratwurzelfunktionen (Wurzelgleichungen) untersucht werden.

 

 

 
Wurzelfunktionen sind Funktionen mit dem Wertebereich von 0 < y < ∞. Wurzelfunktionen der Form y = n-te √x , x > 0, (n = 2, 3, 4, ...) sind auf das Intervall [0,∞] beschränkte Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen der Form y = xⁿ. Sie sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Eine Wurzelfunktion zuvor beschriebener Art ist streng monoton wachsend. Sie besitzt eine Nullstelle bei x₀ = 0. Unter der Wurzel darf keine negative Zahl vorkommen.

Bei einer Wurzelfunktion handelt es sich um eine Funktion, bei der sich eine Variable im Radikanden von Wurzeln befindet. Sie ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive Zahlen. Die ganze Zahl, die sich am Beginn des Wurzelzeichens befindet, wird Wurzelexponent genannt. Sie erteilt Auskunft darüber, um die wievielte Wurzel es sich handelt. Ist keine Zahl angegeben, so handelt es sich um die zweite Wurzel.

Wesentliche Eigenschaften einer Wurzelfunktion:

- Wurzelfunktionen können keine negativen y-Werte annehmen
- Eine Wurzelfunktion der Form y = √x verläuft durch die Punkte P1(0|0) und P2(1|1)
- Eine Wurzelfunktion besitzt eine Nullstelle bei N (0|0)
- Eine Wurzelfunktion besitzt keine Symmetrie, sie ist unsymmetrisch
 
Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen dieser beschriebene Sachverhalt vorliegt.
 
Unter Wertemenge (Wertebereich) einer Wurzelfunktion wird die Menge aller möglichen Werte verstanden, welche eine Funktion der Form y = n-te √x innerhalb ihres Definitionsbereichs annehmen kann.

Für gerade Wurzelexponenten gilt für Wurzelfunktionen oben beschriebener Art:

Definitionsbereich:  0 < x < ∞
Wertebereich:        0 < y < ∞

Für ungerade Wurzelexponenten gilt für diese:

Definitionsbereich: -∞ < x < ∞
Wertebereich:       -∞ < y < ∞
 

Mit den auf dem Bedienformular in diesem Unterprogramm zur Verfügung stehenden Rollbalken haben Sie die Möglichkeit, die Parameter a, b, c und d einer Quadratwurzelfunktion (Wurzelgleichung) der Form
 

f(x) =  √(ax² + bx + c + d 

zu ändern und somit deren Wirkung auf den Funktionsverlauf zu untersuchen. Zudem wird die erste Ableitung der dargestellten Quadratwurzelfunktion ausgegeben.

Es sei darauf hingewiesen, dass diese Funktion nur definiert ist, wenn deren Radikand ax²+bx+c ≥ 0 ist. Ist dieser kleiner Null, wird keine Darstellung ausgegeben.
 
Hinweis:
Beliebige, frei definierbare Quadratwurzelfunktionen können unter anderem in den Unterprogrammen Mathematische Funktionen I sowie Mathematische Funktionen II dargestellt und untersucht werden. Hierbei ist zur Definition einer Funktion dieser Art der Syntaxbefehl SQRT() bzw. WURZEL() zu verwenden. Beispiele zur grafischen Darstellung oder Analyse einer derartigen Funktion der Form f(x) sind die Terme: SQRT(X), 2*SQRT(X-3), WURZEL(3*X-4), 3*(X+WURZEL(2-X)). Weitere Hinweise und Möglichkeiten zur Definition von Funktionen dieser oder ähnlicher Art in diesem Programm sind unter Syntaxregeln zu finden.
 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Durch die Positionierung der Schieberegler Parameter a, Parameter b, Parameter c und Parameter d können Sie die Parameter a, b, c und d der o.a. Funktion verändern und somit deren Einfluss analysieren. Zudem ermöglicht das Programm die Darstellung der 1. Ableitung der Kurve. Aktivieren Sie hierzu das Kontrollkästchen 1. Ableitung. Verfügt die Kurve über Nullstellen, so werden diese nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstellen markiert.
    
2. Möchten Sie sich die Koordinatenwerte eines Punkts der Kurve (bzw. derer 1. Ableitung) ausgeben lassen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den hierfür benötigten Abszissenwert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der ausgegebenen Funktion ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

 

Wurden durch die Positionierung der Rollbalken folgende Werte eingestellt:

Parameter a: 2

Parameter b: 3

Parameter c: 2

Parameter d: -7

 

so wird die Wurzelfunktion f(x) =  √(2·x²+3·x+2)-7 dargestellt.

 

Für die Nullstellen der Funktion gibt das Programm die Koordinatenwerte N1 (-5,655 / 0) sowie N2 (4,155 / 0) aus.

 

Bei einer Positionierung des Mausfangpunkts auf den Wert (3 / 0) kann festgestellt werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = -1,615, sowie der entsprechende Wert für die 1. Ableitung an dieser Stelle y = 1,393 beträgt.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Wurzel zu finden.
 

  

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Parameter der Logarithmusfunktion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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