MathProf - Parameter der Potenzfunktion - Potenzfunktionen - Mantisse

 

Modul Parameter der Potenzfunktion

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Durch die Benutzung des kleinen Unterprogramms [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Parameter der Potenzfunktion kann der Einfluss von Parametern (u.a. Mantisse, Basis und Exponent) auf Potenzfunktionen untersucht werden.

 

Eine Funktion der Form y = xⁿ mit n ∈ Z\{0} heißt Potenzfunktion. Ist n ∈ N und n ≥ 1, so wird der Graph dieser Potenzfunktion als Parabel n-ten Grades bezeichnet. Ist n ∈ Z und n ≤ 1, so lautet seine Bezeichnung Hyperbel n-ten Grades.

Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken haben Sie die Möglichkeit die Basis a, den Verschiebungsparameter b, den Exponenten c, sowie den Verschiebungsparameter d einer Potenzfunktion der Form

 

f(x) = a·(x+b)^c+d
 

zu ändern und somit deren Wirkung auf den Funktionsverlauf zu untersuchen. Veränderbare Größen ermöglichen in diesem Modul das Zuordnen der Einflüsse verschiedener Parameter auf das Verhalten von Funktionen dieser Art.

Parametervariation:

a: Basis (Vorfaktor bzw. Streckfaktor) der Potenzfunktion

b: bewirkt Verschiebung in x-Richtung

c: Exponent der Potenzfunktion

d: bewirkt Verschiebung in y-Richtung

Der Parameter a (Basis) bewirkt:

|a| > 1: Streckung des Graphen in y-Richtung
|a| < 1: Stauchung des Graphen in y-Richtung
Zudem erfolgt eine Spiegelung des Graphen an der x-Achse, wenn a < 0

Ungerader Exponent: Eine allgemeine Potenzfunktion der Form a·x^c ist ungerade, wenn c ungerade ist. Sie ist hinsichtlich des Ursprungs punktsymmetrisch.
Gerader Exponent: Eine allgemeine Potenzfunktion der Form a·x^c ist gerade, wenn c gerade ist. Sie ist hinsichtlich des Ursprungs achsensymmetrisch.
 
Die Koordinatenwerte eines Punktes einer dargestellten Funktion lassen sich durch ein Anfassen des dafür vorgesehenen Fangpunkts sowie die entsprechende Positionierung des Mauszeigers ablesen.

Hinweis:
Beliebige, frei definierbare Potenzfunktionen können unter anderem in den Unterprogrammen Mathematische Funktionen I sowie Mathematische Funktionen II dargestellt und untersucht werden. Hierbei ist zur Definition einer Potenzfunktion der Syntaxbefehl X^ zu verwenden. Beispiele zur grafischen Darstellung oder Analyse einer derartigen Funktion der Form f(x) sind die Terme: X^2, 2*X^(-3), COS(X^3-SIN(X)), 3*(X^4/2+2*(2-X)). Weitere Hinweise und Möglichkeiten zur Definition von Funktionen dieser oder ähnlicher Art in diesem Programm sind unter Syntaxregeln zu finden.

 

 
In den nachfolgend gezeigten Tabellen sind wesentliche Eigenschaften von Potenzfunktionen der Formen y = a·x^2c und y = a·x^2c+1 aufgeführt. Unter Wertemenge (Wertebereich) wird die Menge aller möglichen Werte verstanden, welche die entsprechende Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs annehmen kann. Ein Exponent beschreibt, wie oft die Basis einer Zahl mit sich selbst zu multiplizieren ist.
 

Eigenschaften von Potenzfunktionen der Art f(x) = a·x^2c mit geraden Exponenten:
 

	c > 0	c < 0
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞ ; x ≠ 0
Wertebereich / Wertemenge	0 ≤ y < ∞	0 < y < ∞
Nullstelle	x1 = 0	-
Monotonie	für -∞ < x ≤ 0 streng monoton fallend für 0 ≤ x ≤ ∞ streng monoton wachsend	für -∞ < x ≤ 0 streng monoton wachsend für 0 ≤ x ≤ ∞ streng monoton fallend

 
Eigenschaften von Potenzfunktionen der Art f(x) = a·x^2c+1 mit ungeraden Exponenten:
 

	c > 0	c < 0
Definitionsbereich	-∞ < x < ∞	-∞ < x < ∞ ; x ≠ 0
Wertebereich / Wertemenge	-∞ < y < ∞	-∞ < y < ∞ ; y ≠ 0
Nullstelle	x1 = 0	-
Monotonie	für -∞ < x < ∞ streng monoton wachsend	für -∞ < x < 0 streng monoton fallend für 0 < x < ∞ streng monoton fallend

 
Hinweise:
Die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist die Wurzelfunktion. Das Potenzieren ist die Umkehrung des Wurzelziehens. Eine Potenzfunktion mit einem geraden Exponenten verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Eine Funktion dieser Art mit einem ungeraden Exponenten ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Durch die Positionierung der Schieberegler Basis a, Parameter b, Exponent c und Parameter d können Sie die Werte für die Variablen a, b, c und d der o.a. Funktion verändern und somit deren Einfluss analysieren. Zudem ermöglicht das Programm die Darstellung der 1. Ableitung der Kurve. Aktivieren Sie hierzu das Kontrollkästchen 1. Ableitung. Verfügt die Kurve über eine Nullstellen, so werden diese nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstellen markiert.
    
2. Möchten Sie sich die Koordinatenwerte eines Punkts der Kurve (bzw. derer 1. Ableitung) ausgeben lassen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und den hierfür benötigten Abszissenwert im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen wird dieser, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der dargestellten Funktion ein-/ausschalten
• Nullstellen: Darstellung der Nullstellen der Funktion ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

 

 
Wurden durch die Positionierung der Rollbalken folgende Werte eingestellt:

Basis a: 30

Parameter b: 2

Exponent c: -2

Parameter d: -5

 

so wird die Funktion f(x) = 30·(x+2)^-2 - 5 dargestellt.

 

Für die Nullstellen der Funktion gibt das Programm die Koordinatenwerte N1 (-0,449 / 0) sowie N2 (-4,449 / 0) aus.

 

Bei einer Positionierung des Mausfangpunkts auf den Wert (2 / 0) kann festgestellt werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = -3,125, sowie der entsprechende Wert für die 1. Ableitung an dieser Stelle y = -0,936 beträgt.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Potenzfunktion zu finden.
 

 

 

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MathProf 5.0 - Parameter der Quadratwurzelfunktion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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