MathProf - Exponentialfunktion - Wachstum - Zerfall - Prozess

Modul Parameter der Exponentialfunktion

 

 
Exponentialfunktionen - Exponentialgleichungen: Als Exponentialfunktion wird eine Funktion der Form f(x) = a^x mit einer reellen Zahl a > 0 sowie a ≠ 1 als Basis bezeichnet. Als Exponentialgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, bei der die Variable x wenigstens einmalig im Exponenten erscheint. Der Exponent bzw. die Hochzahl beschreibt, wie oft die Basis als Faktor auftritt. Rationale Exponenten sind Exponenten der Menge der rationalen Zahlen Q.

Als Beispiel für eine Exponentialgleichung sei aufgeführt: a^x + b·x² + c·x = d.
 
Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken haben Sie die Möglichkeit die Parameter a, b und c einer Exponentialfunktion der Form
 

f(x) = a^b·x+c
 

zu ändern und somit deren Wirkung auf den Funktionsverlauf zu untersuchen. Eine Funktion dieser Art wird auch als allgemeine Exponentialfunktion bezeichnet.

Eine Veränderung der Parameter beeinflusst/bewirkt:

a: Basis der Funktion

b: Streckung bzw. Stauchung der Funktion in y-Richtung (Exponent)

c: Verschiebung der Funktion in y-Richtung

Die Koordinatenwerte eines Punktes einer dargestellten Funktion lassen sich durch ein Anfassen des dafür vorgesehenen Fangpunkts sowie die entsprechende Positionierung des Mauszeigers ablesen.

Hinweis:
Beliebige, frei definierbare Exponentialfunktionen können unter anderem in den Unterprogrammen Mathematische Funktionen I sowie Mathematische Funktionen II dargestellt und untersucht werden. Hierbei ist zur Definition einer Exponentialfunktion der Syntaxbefehl EXP() zu verwenden. Beispiele zur grafischen Darstellung oder Analyse einer derartigen Funktion der Form f(x) sind die Terme: EXP(X), 2*EXP(X-3), COS(X-EXP(X)), 3*(X/2+EXP(2-X). Weitere Hinweise und Möglichkeiten zur Definition von Funktionen dieser oder ähnlicher Art in diesem Programm sind unter Syntaxregeln zu finden.
 

 
In der nachfolgend gezeigten Tabelle sind wesentliche Eigenschaften von Exponentialfunktionen der Form f(x) = a^x aufgeführt. Unter Wertemenge (Wertebereich) wird die Menge aller möglichen Werte verstanden, welche die entsprechende Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs annehmen kann.

Eigenschaften von y = a^x:
 

Definitionsbereich	-∞ < x < ∞
Wertebereich / Wertemenge	0 < y < ∞
Nullstellen	-
Asymptote	y = 0
Monotonie	für a > 1 streng monoton steigend für 0 < a < 1 streng monoton fallend

 
Hinweis: Als Antilogarithmus (antilogarithm) wird im englischen Sprachraum eine Exponentialfunktion zur Basis 10 bezeichnet.

Gerade Exponenten - Ungerade Exponenten:
Als gerade wird ein Exponent bezeichnet, wenn er aus einer geraden Zahl besteht, andernfalls lautet seine Bezeichnung ungerade.

Positiver Exponent - Negativer Exponent - Rationaler Exponent:
Ein negativer Exponent liegt vor, wenn die Hochzahl kleiner Null ist. Ist sie größer Null, so besitzt sie einen positiven Exponenten. Als rationaler Exponent wird ein Exponent bezeichnet, der der Menge der rationalen Zahlen Q zugehörig ist.

Das Globalverhalten des Graphen einer Funktion f(x) beschreibt sein Verhalten in Abhängigkeit (unter Einfluss) relevanter Größen.
 

Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen mit diesem Unterprogramm durchzuführen:
 

1. Durch die Positionierung der Schieberegler Basis a, Parameter b und Parameter c können Sie die Parameter a, b (Exponent) und c der o.a. Funktion verändern und somit deren Einfluss analysieren. Zudem ermöglicht das Programm die Darstellung der 1. Ableitung der Kurve. Aktivieren Sie hierzu das Kontrollkästchen 1. Ableitung. Verfügt die Kurve über eine Nullstelle, so wird diese nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Nullstelle markiert.
    
2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punkts der Kurve (bzw. derer 1. Ableitung) exakt untersuchen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Aktivieren Sie hierfür zuvor das Kontrollkästchen Punkt. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position des Fangpunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach rechts oder nach links.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann.Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollkästchens folgende zusätzliche Einstellung vornehmen:

• 1. Ableitung: Darstellung der 1. Ableitung der dargestellten Funktion ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

 

Beispiel zur Exponentialfunktion:

Wurden durch die Positionierung der Rollbalken folgende Werte eingestellt:

Basis a: 2

Parameter b (Exponent): -0,4

Parameter c: -4

 

so wird die e-Funktion f(x) = 2^-0.4x-4 ausgegeben.

 

Für die Nullstelle der Funktion gibt das Programm die Koordinatenwerte N (-5 / 0) aus.

 

Bei einer Positionierung des Mausfangpunkts auf den Wert (1 / 0) kann festgestellt werden, dass der Ordinatenwert der Funktion an dieser Stelle y = -3,242, sowie der entsprechende Wert für die 1. Ableitung an dieser Stelle y = -0,21 beträgt.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   
 

 

Nachfolgend aufgeführt finden Sie einige grundlegende relevante Zusammenhänge, durch welche Wachstumsprozesse und Zerfallsprozesse mathematisch beschrieben werden können. Funktionen dieser Art können Sie sich durch die Verwendung geeigneter Variablen und Parameter bzw. Konstanten im Unterprogramm Mathematische Funktionen I darstellen lassen und untersuchen.

Wachstumsprozesse und Zerfallsprozesse: Ein Wachstumsprozess setzt sich mit der Entwicklung (der Änderung) eines Bestands auseinander. Ein Wachstumsprozess setzt sich mit der Entwicklung (der Änderung) eines Bestands auseinander. Er kann in Form einer Zunahme oder einer Abnahme erfolgen. In zuletzt genannten Fall wird er als Zerfallsprozess bezeichnet.
 

 
Eine spezielle Exponentialfunktion stellt die natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion f(x) = e^x dar. Die Konstante e wird als Eulersche Zahl bezeichnet. Sie besitzt den Wert 2,71828... . Jeder Ordinatenwert (y-Wert) dieser Funktion entspricht dem Steigungswert (der 1. Ableitung) ihrer im entsprechenden Punkt. Jede Exponentialfunktion lässt sich durch den geltenden Zusammenhang a^x = e^{(x · ln a)} auf eine e-Funktion zurückführen.
 

Kurvenverlauf der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x.
  

Kurvenverlauf der 1. Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion f(x) = e^x.
 

 
I - Lineares Wachstum - Lineare Abnahme - Modellieren (Modellierung) von Wachstums- und Abklingvorgängen

Lineares Wachstum - Lineare Abnahme:

Als lineares Wachstum wird ein Wachstumsvorgang bezeichnet, bei dem eine konstante Änderungsrate vorliegt. Eine zugrundeliegende Größe nimmt binnen gleicher Zeiträume stets um denselben Betrag zu. Als lineare Abnahme wird ein Vorgang bezeichnet, bei dem eine konstante Änderungsrate vorliegt und eine zugrundeliegende Größe binnen gleicher Zeiträume stets um denselben Betrag abnimmt.


a. Lineares Wachstum:

Lineares Wachstum kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = B(0) + k·t

Mit:
B(0): Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
k: Wachstumsfaktor
t: Zeitpunkt


Die obige Abbildung stellt den Zusammenhang eines linearen Wachstums mit der Gleichung f(x) = 0,5+2·x dar.

b. Lineare Abnahme:

Lineare Abnahme kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = B(0) - k·t

Mit:
B(0): Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
k: Abnahmefaktor
t: Zeitpunkt
 

Die im vorigen Bild gezeigte Abbildung stellt den Zusammenhang einer linearen Abnahme mit der Gleichung f(x) = 0,5-0,4·x dar.

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II - Exponentielles Wachstum - Exponentieller Zerfall
(Exponentielle Zunahme - Exponentielle Abnahme)

Begriffsdefinitionen:

Ein exponentieller Prozess ist ein Vorgang, bei dem sich eine Größe exponentiell verändert.
Als exponentielles Wachstum (oder exponentielle Zunahme) wird ein Vorgang beschrieben, bei dem eine Größe stets schneller zunimmt

Eine exponentielle Annäherung ist ein Prozess, bei der sich eine Größe einem fest vorgegebenen Wert nähert.
Ein exponentieller Zerfall (oder exponentielle Abnahme) beschreibt einen Prozess, bei dem eine Größe exponentiell abnimmt.
 

a. Exponentielles Wachstum:

Exponentielles Wachstum kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = A·b^t

Mit:
A: Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
b: Wachstumsfaktor
t: Zeitpunkt

Verdopplungszeit:

Die Verdopplungszeit bezeichnet die Zeitspanne, in der sich ein exponentiell wachsender Bestand verdoppelt.


 Die zuvor angeordnete Abbildung stellt den Zusammenhang eines exponentiellen Wachstums mit der Gleichung f(x) = 0,5·(1,3)^x dar.

b. Exponentieller Zerfall:

Exponentieller Zerfall kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = A·(1+b)^t
 
Mit:
A: Anfangsbestand
B(t): Bestand zum Zeitpunkt t
b: Wachstumsfaktor
t: Zeitpunkt


Die zuletzt gezeigte Abbildung stellt den Zusammenhang eines exponentiellen Zerfalls mit der Gleichung f(x) = 0,5·(1+0,2)^X dar.

c. Wachstumsgeschwindigkeit:

Eine Wachstumsgeschwindigkeit kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

N'(t) = A⋅ln(b)⋅b^t

Mit:
N'(t): Wachstumsgeschwindigkeit
A: Anfangsbestand
b: Abnahmefaktor
t: Zeitpunkt


Diese Abbildung stellt den Zusammenhang einer Wachstumsgeschwindigkeit mit der Gleichung f(x) = 0,5·ln(1,3)·1,3^x dar.

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III - Logistisches Wachstum

Logistisches Wachstum (Populationswachstum) kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:



Mit:
f(t): Zeitliche Entwicklung einer Population (Populationswachstum)
f(0): Population zum Zeitpunkt t = 0
G: Obere Schranke
k: Wachstumsfaktor
e: Eulersche Zahl
t: Zeitpunkt
 

Die zuletzt gezeigte Abbildung stellt den Zusammenhang eines logistischen Wachstums mit der Gleichung f(x) = 4/(1+e^(-1·3·x))·(3/2-1) dar.

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IV - Wachstumsfunktion (Zuwachs)

Beschränktes Wachstum - Begrenztes Wachstum:

Als beschränktes Wachstum oder begrenztes Wachstum wird ein Wachstum bezeichnet, welches eine natürliche Schranke besitzt. Hierdurch kann das Wachstum sowohl nach oben wie auch nach unten beschränkt sein.

Wachstumsfunktionen:

Eine Wachstumsfunktion beschreibt wie sich der Bestand einer Menge im Laufe eines Zeitabschnitts verändert. Sie zählt zur Familie der Exponentialfunktionen. Eine derartige Funktion beschreibt einen zeitabhängigen Wachstumsprozess und lässt sich durch eine streng monoton steigende Exponentialfunktionen der Form N(t) = N₀​⋅a^t beschreiben.

Wachstumsraten:

Unter einer Wachstumsrate wird eine relative Zunahme einer Größe über einen bestimmten Zeitraum oder bei Betrachtung mehrerer Zeitabschnitte verstanden.

Wachstumsfaktoren:

Als Wachstumsfaktor wird der Quotient bezeichnet, der sich aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern einer geometrischen Folge bildet. Verwendet wird dieser Begriff hauptsächlich, wenn durch eine derartige Folge ein exponentieller Prozess beschrieben wird. Er dient der Beschreibung von Wachstumsprozessen und Zerfallsprozessen.
 
Logistisches Wachstum:

Als logistisches Wachstum wird ein Wachstumsprozess beschrieben, der zu dessen Beginn einen näherungsweise exponentiellen Verlauf aufweist und hierauf abflacht und einen Grenzwert besitzt. Beispiele für ein deratiges Wachstum sind das Wachstum einer Hefekultur oder die Ausbreitung von Infektionskrankheiten.

Eine Wachstumsgeschwindigkeit entspricht dem Wert der ersten Ableitung der Funktionsgleichung N(t)= N₀​⋅a^t und kann wie folgt beschrieben werden:
 

a. Beschränktes Wachstum (beschränkter Zuwachs) - Beschränkte Zunahme:

Beschränktes Wachstum (beschränkter Zuwachs) kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = S - (S - B(0))·e^(-kt)

Bedingung: S > B(0)

Mit:
B(0): Zustand zum Zeitpunkt t = 0
B(t): Zustand zum Zeitpunkt t
S: Wachtsumsschranke
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
k: Wachstumskonstante


Die vorige Abbildung stellt den Zusammenhang eines beschränkten Wachstums mit der Gleichung f(x) = 10 - (10 - 0)·e^(-0,05·x) dar.
 
b. Beschränkter Zerfall - Beschränkte Abnahme:

Beschränkter Zerfall kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:

B(t) = S - (S - B(0))·e^(-kt)

Bedingung: S < B(0)

Mit:
B(0): Zustand zum Zeitpunkt t = 0
B(t): Zustand zum Zeitpunkt t
S: Wachtsumsschranke
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
k: Wachstumskonstante
 

Die zuletzt dargestellte Abbildung stellt den Zusammenhang eines beschränkten Zerfalls mit der Gleichung f(x) = 1.5 - (1,5 - 4)·e^(-0,5·x) dar.

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V - Abklingfunktion
   
Eine weitere spezielle Exponentialfunktion stellt eine Abklingfunktion der Form f(x) = a^e-λt+b dar. Sie besitzt eine Asymptote bei y = b.

Eine Abklingfunktion beschreibt einen zeitabhängigen Abklingprozess und lässt sich durch eine streng monoton fallende Exponentialfunktion der Form N(t) = N₀​⋅e^-λt beschreiben. Als Abnahmefaktor wird die Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet. Sie beschreibt die Geschwindigkeit, mit welcher eine Abnahme vonstatten geht.
  

Die zuvor dargestellte Abbildung stellt eine streng monoton abfallende Abklingfunktion mit der Gleichung f(x) = 2·e^(-0,5·x)+1 dar.

Mit
a: Wachstumsfaktor
b: Vertikaler Verschiebungsparameter
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
λ: Parameter

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VI - Sättigungsfunktion

  
Ebenfalls mit Hilfe der Exponentialfunktion kann auch eine Sättigungsfunktion der Form f(x) = a(1-e^-λt)+b beschrieben werden. Sie verfügt über eine Asymptote bei y = a+b.
 

Diese Abbildung zeigt eine streng monoton abfallende Abklingfunktion, welche durch die Funktion f(x) = 2·(1-e^(-0,5·x))+1 beschrieben wird.

Mit
a: Wachstumsfaktor
b: Vertikaler Verschiebungsparameter
t: Zeitpunkt
e: Eulersche Zahl
λ: Parameter

   

 
Im Weiteren wird auf Zusammenhänge eingegangen, mit deren Hilfe das organische Wachstum, der radioaktive Zerfall sowie der Verlauf einer Kettenreaktion mathematisch charakterisiert werden können.

Als Zerfallsgesetz wird die Gleichung bezeichnet, die eine zeitliche exponentielle Abnahme von Größen beschreibt. Sie beschreibt wie eine zu Anfang vorhandene Anzahl radioaktiver Atomkerne hinsichtlich der Zeit zerfällt.

Die Zerfallskonstante beschreibt den Anteil noch nicht zerfallener Atomkerne in einer Substanz in Relation zur Zahl der binnen der nächsten Sekunde durchschnittlich zerfallenden Atomkerne. Sie ist eine Maßeinheit.

Die Zerfallszeit beschreibt die mittlere Lebensdauer eines Teilchens oder Kerns. Sie ist der reziproke Wert der Zerfallskonstanten (des Zerfallsfaktors).

 

 
Ein organisches Wachstum kann mit nachfolgender Gleichung beschrieben werden:

n = n₀^·e^k·t

k > 0 → Wachstumsprozess
k < 0 → Abklingprozess

Mit:
n: Organisches Wachstum
n₀: Grundmenge
k: Wachstumsintensität
t: Zeit
 

 
Der Prozess eines radioaktiven Zerfalls verhält sich gemäß den nachfolgend gezeigten Gesetzmäßigkeiten:

n(t) = n₀^·e^-λ·t

Die Zahl T_h = ln(2)/|λ| wird als Halbwerts- oder Verdoppelungszeit bezeichnet. Ist die Zerfallskonstante λ > 0, so wird T_h als Halbwertszeit bezeichnet. Ist λ < 0, so wird T_h als Verdoppelungszeit bezeichnet.

Mit:
n(t): Kettenreaktion
λ: Zerfallskonstante (Zerfallsfaktor)
n₀: Anfangsbestand an Atomkernen
t: Zeit

  

 
Der Verlauf einer Kettenreaktion lässt sich wie folgt ausdrücken:

n(t) = n₀^·e^(ϑ-1)t/l

Mit:
n(t): Radioaktiver Zerfall
ϑ: Vermehrungsfaktor je Neutronengeneration mit ϑ ≧ 1
n₀: Anzahl freier Neutronen zum Zeipunkt t = 0
l: Mittlere Zeit zwischen zwei Neutronengenerationen
t: Zeit

      

 
Als Verdoppelungszeit (Verdopplungszeit oder Doppelwertszeit bzw. Generationszeit) wird die Zeitspanne bezeichnet, binnen derer sich eine exponentiell wachsende Größe verdoppelt. Für sie gilt:

t_v = ln(2) / ln(1+p) = ln(2) / ln(q)

t_v: Verdoppelungszeit [s]
p: Wachstumsrate in %
q: Wachstumsfaktor

Beispiel:

Nimmt die Bevölkerung eines Landes um jährlich um 3 % zu, so beträgt der zugrundeliegende Wachstumsfaktor 1,03.

Hieraus resultiert eine Verdoppelungszeit von ln(2) / ln (1,03) = 23,449.

Dies bedeutet: Die Bevölkerung verdoppelt sich etwa binnen eines Zeitraums von 23,5 Jahren.

 
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Exponentialfunktion zu finden.
 

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Parameter der Potenzfunktion

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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