MathProf - Parabel - Quadratische Funktion - Quadratische Gleichung

Modul Quadratische Funktionen

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Um detaillierte Untersuchungen linearer, wie quadratischer Funktionen (Geraden und Parabeln) zu ermöglichen, wurde das Modul [Analysis] - [Parabel und Gerade] - Parabelgleichungen (Quadratische Funktionen) implementiert.

 

Abbildung 1 - Eingabefenster für eine lineare oder quadratische Funktion

 

Abbildung 2 - Eingabefenster für zwei lineare oder quadratische Funktionen

Als quadratische Funktion wird eine mathematische Funktion bezeichnet, bei welcher der Funktionsterm aus einem Polynom 2. Grades besteht. Quadratische Funktionen besitzen die Form y = ax² + bx + c. Diese Form wird auch mit dem Begriff Polynomform bezeichnet. Für eine quadratische Funktion wird auch die Bezeichnung quadratische Funktionsgleichung verwendet.
 
Quadratische Gleichungen werden durch einen Term der Art ax² + bx + c = 0 beschrieben. Hierbei ist die Variable x die Unbekannte und a, b und c sind die Koeffizienten dieser Gleichung. Sie trägt die Bezeichnung allgemeine quadratische Gleichung. Eine quadratische Gleichung wird auch als Parabelgleichung bezeichnet.

Gleichungen dieser Art, welche für die Koeffizienten a und b einen Wert ≠ 0 besitzen, werden als gemischt quadratische Gleichungen bezeichnet. Eine gemischt quadratische Gleichung wird in Normalform wie folgt formuliert: x² + px + q = 0.

Reinquadratische Gleichungen (reinquadratische Funktionen) besitzen für den Koeffizienten b den Wert 0. Sie werden durch einen Term der Form ax² + c = 0 beschrieben.
 
Als Parabeln werden die Graphen quadratischer Funktionen bezeichnet. Sie können auf einer der folgenden Arten beschrieben werden:

Allgemeine Form, Normalform (Normalparabel), Scheitelpunktform (Scheitelform) oder Nullstellenform (Produktform bzw. faktorisierte Form). Von einer Linearfaktorform wird gesprochen, wenn eine Parabel mit einer Funktion der Form f(x) = a·(x - x₁)·(x - x₂) beschrieben wird. Diese Form wird auch als Nullstellenform, Produktform oder faktorisierte Form bezeichnet. Eine quadratische Funktion wird auch als Quadratfunktion oder Parabelfunktion angegeben.

Parabeln besitzen folgende Darstellungsformen:

Allgemeine Form: y = a·x²+b·x+c
Normalform (Normalparabel): y = x²+p·x+q
Scheitelpunktform (Scheitelform) bzw. Nullstellenform: y = (x+d)²+e
Linearfaktorform:  y = a·(x - x₁)·(x - x₂)
 

Als Scheitelpunkt oder Scheitel wird der tiefste bzw. der höchste Punkt einer Parabel bezeichnet. Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist der Scheitelpunkt der tiefste Punkt dieser Kurve, ist sie hingegen nach unten offen, so ist er der höchste ihrer Punkte.

Die Öffungsrichtung einer Parabel der Form y = ax² + bx + c wird durch ihren Koeffizienten a bestimmt. Ist dieser positiv, so ist sie nach oben geöffnet. Ist er hingegen negativ, so ist sie nach unten geöffnet.

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Dieses Unterprogramm erlaubt die Untersuchung von Parabelgleichungen (Funktionsgleichungen, welche Parabeln beschreiben) derartiger Funktionen. Diese können in einer der folgenden Formen definiert werden:
 

• Allgemeine Form der Parabel: y = a·x²+b·x+c
• Normalform (Normalparabel oder PQ-Gleichung) der Parabel: y = x²+p·x+q

• Scheitelpunktform (Scheitelform) der Parabel: y = (x+d)²+e

• Nullstellenform (Produktform bzw. faktorisierte Form oder Linearfaktorform) der Parabel: y = a·(x-x₁)·(x-x₂)

Es werden ermittelt:
 

• Art der Funktion

bei der Analyse einer Gerade:
 

• Nullstelle der Gerade
• Schnittpunkt der Gerade mit y-Achse

bei der Analyse einer Parabel:
 

• Scheitelpunkt der Parabel
• Diskriminante der Parabel
• Parameter p und q (PQ-Formel) der Parabel
• Nullstelle(n) der Parabel
• Schnittpunkt der Parabel mit y-Achse
• Öffnungsrichtung der Parabel
• Fläche (Flächeninhalt) zwischen x-Achse und Parabel
• Wertebereich der Funktion

und bei der Analyse zweier Funktionen zusätzlich:
 

• Schnittpunkt(e) beider Funktionen
• Tangenten in Schnittpunkten der Funktionen (Tangente an Parabel)

   
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

a·x² + b·x + c = 0

Die Normalform der quadratischen Gleichung (normierte quadratische Gleichung) lautet:

x² + p·x + q = 0

Bei Gleichungen dieser Art ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes stets 1.
 
Quadratische Gleichungen, bei welchen die Gleichungsvariable sowohl mit der Potenz 2, wie auch in Form eines linearen Glieds auftritt, werden als gemischtquadratische Gleichungen bezeichnet. Spezielle Fälle der gemischtquadratischen Gleichung sind:

Gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied: x² + px = 0
Reinquadratische Gleichung: x² + q = 0
Reinquadratische Gleichung ohne Absolutglied: x² = 0
 
Quadratischer Term: Terme werden als quadratische Terme bezeichnet, wenn deren höchste Potenz der Variablen eine 2 ist.

   
Nachfolgend aufgeführt sind Formeln, welche zur Ermittlung der Lösungen quadratischer Gleichungen verwendet werden:

1. abc-Formel bzw. Mitternachtsformel:

Die abc-Formel (abc Formel) bzw. Mitternachtsformel ist eine Formel, welche zur Ermittlung der Lösungen von quadratischen Gleichungen folgender Form (der allgemenein Form) genutzt werden kann. Sie wird auch als Lösungsformel für quadratische Gleichungen oder große Lösungsformel bezeichnet. Sie kann zum Lösen einer quadratischen Gleichung nachfolgend gezeigter Art eingesetzt werden:



Die Mitternachtsformel (abc-Formel) lautet wie folgt und besitzt die nachfolgend aufgeführte doppelte Lösung:


 
Der Term b² - 4ac, welcher sich unter der Wurzel befindet, heißt Diskriminante D. Er gibt Auskunft darüber, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung besitzt.

D = b² - 4ac

D < 0: Keine Lösung
D = 0: Eine Lösung
D > 0: Zwei Lösungen
 
Der Scheitelpunkt einer Parabel der Form y = a·x²+b·x+c besitzt die Koordinaten S (-b/2a | c-b²/4a)
 
2. pq-Formel:

Die pq-Formel (pq Formel oder kleine Lösungsformel), ist eine Formel, welche zur Ermittlung der Lösungen von quadratischen Gleichungen folgender Form (der Normalform) genutzt werden kann (quadratisches Polynom):



Die pq-Formel lautet wie folgt:


   
Der Satz von Vieta (Wurzelsatz) ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Er beschreibt den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung, welche in Normalform definiert ist und ihren Nullstellen.

Sind x₁ und x₂ die Lösungen der Gleichung x²+px+q = 0, so gilt:

x²+px+q = (x−x₁)·(x−x₂)

und

x₁+x₂ = -p ∧ x₁⋅x₂ = q


   
Quadratisches Ergänzen (quadratisch ergänzen):

Eine quadratische Ergänzung dient dazu, Terme bzw. Gleichungen, welche eine quadratische Variable beinhalten derartig umzuformen, damit diese aus der bestehenden Normalform in die Scheitelpunktform gewandelt werden. Es gilt hierbei Terme der Form ax²+bx+c in die Form a(x-d)²+e umzuwandeln und somit hieraus den Scheitelpunkt sowie die Nullstellen der durch diese Gleichung beschriebenen Parabel auf einfache Weise auffindbar zu machen.

Die Vorgehensweise zur Durchführung einer derartigen Wandlung wird nachfolgend anhand eines Beispiels beschrieben.

Gegeben sei die quadratische Gleichung 30·x + 84·x + 3·x² = 0
·
Schritt 1 - Sortierung:

Der umzuformende quadratische Term ist seinen Potenzen entsprechend absteigend zu sortieren.

30·x + 84 + 3·x² = 0
-> 3·x² + 30·x + 84 = 0
 
Schritt 2 - Umformung in die Normalform:

Der Koeffizient vor x² hat eine 1 zu sein. Somit werden alle Koeffizienten dieser Gleichung durch den Faktor 3 geteilt.

3·x² + 30·x + 84 = 0 | : 3
-> x² + 10·x + 28 = 0
 
Schritt 3 - Umformung der Gleichung:

Die Gleichung wird in die Form gebracht, bei welcher alle Zahlen, die mit der Variable x verbunden sind auf derer linken Seite stehen und die alleinstehende Zahl (-28) auf derer rechten Seite.

x² + 10·x + 28 = 0
-> x² + 10·x = -28
 
Schritt 4 - Quadratische Ergänzung:

Die Zahl, die sich vor der Variable x befindet wird halbiert und quadriert. Dies erfolgt nach folgendem Schema:

x² + p·x = q  | +(p/2)²
x² + p·x + (p/2)² = q + (p/2)²

Somit ergibt sich für den vorliegenden Fall Folgendes:

x² + 10·x = -28
x² + 10·x = -28  | +(10/2)²  -  Quadratische Ergänzung
x² + 10·x +(10/2)² = -28 +(10/2)²
x² + 10·x + 25 = -3
 
Schritt 5 - Binomische Formel verwenden:

1. Binomische Formel: (a+b)² = a² + 2⋅a⋅b + b²
2. Binomische Formel: (a−b)² = a² - 2⋅a⋅b + b²

Es gilt den Term x² + 10·x + 25 = -3 derartig umzuformen, damit dieser in Form einer binomischen Formel des Typs a² + 2⋅a⋅b + b² = -3 dargestellt werden kann. Hierbei wird der Vorfaktor der Variable x durch 2 geteilt (10:2 = 5) sowie das Resultat als Produkt mit der Zahl 2 (2·5) dargestellt:

x² + 10·x + 25 = -3
x² + 2·5·x + 25 = -3

Hieraus folgt:

(x + 5)² = -3

Diese Struktur entspricht der 1. binomischen Formel der Form a² + 2⋅a⋅b + b² und somit der Form (a+b)².
   
Der Satz vom Nullprodukt lautet: "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist." Dies bedeutet, dass ein Produkt immer dann gleich null ist, wenn mindestens ein Faktor gleich null ist:

a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 oder b = 0.

Dieser Satz wird auch als Nullproduktregel bezeichnet.
 

 

Abbildung 1 - Parabel und Gerade

 

Abbildung 2 - Zwei Parabeln

Eine Analyse von Parabelgleichungen können Sie in diesem Modul folgendermaßen durchführen:
 

1. Möchten Sie Untersuchungen mit nur einer Gleichung durchführen, so wählen Sie die Registerkarte Eine Gleichung, sollen hingegen zwei Gleichungen untersucht werden, so aktivieren Sie die Registerkarte Zwei Gleichungen.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung der Kontrollschalter Allgemeine Form, Scheitelpunktform, Normalform oder Nullstellenform die Art der Funktion(en) fest, mit welchen Sie Untersuchungen durchführen möchten.
    
3. Geben Sie die Koeffizienten der entsprechenden Gleichung(en) in die dafür vorgesehenen Felder ein.
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen.
    
5. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Darstellen werden die Zusammenhänge grafisch ausgegeben.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
  

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden. Dieses Programm kann auch dabei behilflich sein, einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

  

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Nullstellen: Markierung der Nullstellen der Funktionen ein-/ausschalten
• Schnittpunkte: Markierung der Schnittpunkte der Funktionen ein-/ausschalten
• Punktbeschr.: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Scheitelpunkte: Anzeige der Scheitelpunkte von Parabeln ein-/ausschalten
• SP mit Y-Achse: Anzeige der Schnittpunkte der Funktionen mit der Y-Achse ein-/ausschalten
• Tangenten in SP: Anzeige der Tangenten in den Schnittpunkten der Funktionen ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Parabelgleichungen - Interaktiv

Parabel und Gerade - Interaktiv

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Mathematische Funktionen I

 

Beispiel 1 - Analyse einer Funktion (Gerade) - Gleichung lösen:

Es gilt, die lineare Funktion f(x) = -3·x+2 auf deren Eigenschaften hin untersuchen zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie die Registerkarte Eine Gleichung und aktivieren Sie den Kontrollschalter Allgemeine Form. In die Felder zur Definition der Funktion f(x) geben Sie die Werte 0 / -3 / 2 ein. Das Programm gibt nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:

Typ: Gerade

Definierte Gleichung: Y = -3·X+2

 

Nullstelle: N1 (0,667 / 0)

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SP (0 / 2)
 

Beispiel 2 - Analyse einer quadratischen Funktion (Parabel - Normalform) - Quadratische Gleichungen lösen:

Es ist die quadratische Funktion f(x) = x²-0,4·x-1 bzgl. derer Eigenschaften zu untersuchen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Selektieren Sie die Registerkarte Eine Gleichung und aktivieren Sie den Kontrollschalter Normalform. In die Felder zur Definition der Funktion f(x) tragen Sie die Werte -0,4 und -1 ein. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen gibt das Programm folgende Ergebnisse aus:

 

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = X²-0,4·X-1

Gleichung in allgemeiner Form: Y = X²-0,4·X-1

Art: Normalform

 

Scheitelpunkt S (0,2 / -1,04)

Parameter p: -0,4 

Parameter q: -1

Diskriminante: D = 1,04

 

Nullstellen: N1 (-0,82  / 0) und N2 (1,22 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 1,414 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / -1)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -1,04 bis Unendlich
 

Beispiel 3 - Analyse zweier quadratischer Funktionen (Parabel und Gerade) - Quadratische Gleichungen lösen:

Die beiden Funktionen f1(x) = -0,4·x+1 und f2(x) = -0,4·x²+x+3 sind auf deren Eigenschaften hin zu untersuchen und deren Schnittpunkte sind zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie die Registerkarte Zwei Gleichungen und die beiden Kontrollschalter Allgemeine Form für f1(x) und f2(x). Tragen Sie hierauf in die Felder zur Definition der Funktion f1(x) die Werte 0 / -0,4 / 1 ein und versehen Sie die Felder zur Definition der Funktion f2(x) mit den Werten -0,4 / 1 / 3. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

Funktionsanalyse der Funktion f1(x):

Typ: Gerade

Gleichung: Y = -0,4·X+1

 

Nullstelle: N (2,5 / 0)

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / 1)

Funktionsanalyse der Funktion f2(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = -0,4·X²+1·X+3

Gleichung in allgemeiner Form: Y = -0,4·X²+1·X+3

 

Scheitelpunkt S (1,25 / 3,625)

Parameter p: -2,5

Parameter q: -7,5

Diskriminante: D = 9,063

 

Nullstellen: N1 (-1,76 / 0) und N2 (4,26 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 14,55 FE

Schnittpunkt der Funktion mit der Y-Achse: SY2 (0 / 3)

 

Parabel ist nach unten geöffnet

Wertebereich: Minus unendlich bis 3,625

Schnittpunkte der Funktionen f1(x) und f2(x):

SP1 (-1,089 / 1,436)

SP2 (4,589 / -0,836)

 

Gleichung der Tangente in SP1: t1: f(x) = 1,8716·X+3,4748

Gleichung der Tangente in SP2: t2: f(x) = -2,6716·X+11,4252
 

Beispiel 4 - Analyse zweier quadratischer Funktionen (Zwei Parabeln) - Quadratische Gleichungen lösen:

Die beiden Funktionen f1(x) = x²-3 und f2(x) = 0,02·(x+8)·(x-8) sind auf deren Eigenschaften hin zu untersuchen. Zudem sind deren Schnittpunkte ermitteln zu lassen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Nach einer Wahl der Registerkarte Zwei Gleichungen und der Aktivierung der Kontrollschalter Scheitelpunktform für f1(x) und Nullstellenform für f2(x) tragen Sie in die Felder zur Definition der Funktion f1(x) die Werte 0 und -3 ein. Die Felder zur Definition der Funktion f2(x) versehen Sie mit den Werten 0,02 / -8 / 8. Hierauf ermittelt das Programm nach der Durchführung eines Klicks auf die Schaltfläche Berechnen folgende Resultate:

Funktionsanalyse der Funktion f1(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: Y = X²-3

Gleichung in allgemeiner Form: Y = X²-3

Art: Scheitelpunktform

 

Scheitelpunkt: S (0 / -3)

Parameter p: 0

Parameter q: -3

Diskriminante: D = 3

 

Nullstellen: N1 (-1,732 / 0) und N2 (1,732  / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 6,928 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY1 (0 / -3)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -3 bis Unendlich

Funktionsanalyse der Funktion f2(x):

Typ: Parabel

Definierte Gleichung: 0,02·(X+8)·(X-8)

Gleichung in allgemeiner Form: Y = 0,02·X²-1,28

Art: Nullstellenform

 

Scheitelpunkt: S (0 / -1,28)

Parameter p: 0

Parameter q: -64

Diskriminante: D = 64

 

Nullstellen: N1 (-8 / 0) und N2 (8 / 0)

Fläche zwischen x-Achse und Parabel: A = 13,653 FE

Schnittpunkt der Funktion mit Y-Achse: SY2 (0 / -1,28)

 

Parabel ist nach oben geöffnet

Wertebereich: -1,28 bis Unendlich

Schnittpunkte der Funktionen f1(x) und f2(x):

SP1 (-1,325 / -1,245)

SP2 (1,325 / -1,245)

 

Gleichungen der Tangenten in SP1:

 

t1: f(x) = -2,6496·X-4,7551

t2: f(x) = -0,053·X-1,3151

 

Gleichungen der Tangenten in SP2:

 

t1: f(x) = 2,6496·X-4,7551

t2: f(x) = 0,053·X-1,3151
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6    
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Parabel sowie unter Wikipedia - Quadratische Funktion zu finden.
 

 

 

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Startfenster des Unterprogramms Parabelgleichungen (Quadratische Funktionen)
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kreis und Gerade - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kubische Gleichungen

 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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