MathProf - Ortskurve - Komplex - Ableitung - Kurvendiskussion

 

Modul Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen

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Das Unterprogramm [Komplex] - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung von Analysen zur Bestimmung von Nullstellen, Extrema, Wendepunkten und weiterer Eigenschaften von Kurven, welche als Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen bezeichnet werden.

 

Die Ortskurve einer von einem reellwertigen Parameter k abhängigen komplexen Zahl z(k) = x(k) + iy(k) ist die Bahnkurve, die der zugehörige Zeiger z = z(k) in der Gaußschen Zahlenebene beschreibt, wenn der Parameter das Intervall [a,b] durchläuft (a £  k £  b). Derartige Ortskurven lassen sich auch durch die Parametergleichungen x = x(k), y = iy(k), sowie in Polarform beschreiben.
 
In diesem Modul besteht die Möglichkeit, Kurvendiskussionen mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen nachfolgend aufgeführter Arten durchführen zu lassen:
 

• Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in kartesischer Form, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p)
• Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p)
• Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k)

Das Programm untersucht hierbei Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen auf folgende Punkte und Eigenschaften:
 

• Nullstellen
• Extrema bzgl. Re-Achse (Hoch- und Tiefpunkte)
• Wendepunkte
• Schnittpunkte mit Im-Achse
• Extrema bzgl. Im-Achse

Zudem werden ausgegeben:
 

• Tangentensteigung in ermittelten Kurvenpunkten
• Gleichungen der Tangenten und Normalen in ermittelten Kurvenpunkten
• Krümmung an ermittelten Kurvenpunkten
• Eigenschaften der durch Extrema und Nullstellen verlaufenden Krümmungkreise

Grafisch darstellen lassen sich:
 

• Die zu untersuchende Ortskurve
• 1. und 2. Ableitung der zu untersuchenden Ortskurve
• Tangenten in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der zu untersuchenden Ortskurve
• Normalen in Nullstellen, Extrema und Wendepunkten der zu untersuchenden Ortskurve
• Krümmungskreise durch Nullstellen und Extrema der zu untersuchenden Ortskurve

Nullstellen sind Punkte, in welchen eine Funktion die Re-Achse schneidet bzw. berührt. Extrema (Hochpunkte und Tiefpunkte) sind Punkte einer Kurve, bei welchen eine Funktion lokale Maxima bzw. Minima besitzt. In Wendepunkten liegt eine Änderung der Art der Kurvenkrümmung vor, d.h. eine Kurve geht von einer Links- in eine Rechtskurve, oder umgekehrt, über. Pole sind Definitionslücken besonderer Art. Nähert man sich einer Stelle dieser Art, so strebt der Funktionswert an dieser Stelle gegen plus unendlich oder gegen minus unendlich.
   
Kartesische Form:
 
z = f(k) = x(k) + iy(k)
 
Definitionsbeispiel:
 
z = f(k) = E^(1+2*PI*I*K)
 
Parameterform:
 

 
Definitionsbeispiel:
 

 
Polarform:
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Die Definition einer Ortskurve in Polarform kann erfolgen mit:
 
f(r,j) = r·cos(j) + ir·sin(j)

bzw. mit r = f(j)

z = f(j)·cos(j) + if(j)·sin(j)
 
Das Programm verwendet für den Winkel j den Buchstabe K. Eine Ortskurve in Polarform kann somit beschrieben werden durch:
 
z = f(k)·cos(k) + if(k)·sin(k)
 
bzw.
 

 
Zu definieren ist im Eingabefeld die Funktion f(k).
 
Definitionsbeispiel:
 
Auszugeben ist in Polarform:
 
f(j) = 2·sin(j)  mit -π £ j £ π
 
Zu definieren ist:
 
2*sin(k)
 
Dargestellt wird (in kartesischer Form):
 
z = 2·sin(k)·cos(k) + i2·sin(k)·sin(k)

bzw.

z =  2·sin(j)·cos(j) + i2·sin(j)·sin(j)
   

1. Wählen Sie durch eine Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auswahl, für welche Art der komplexen Funktion(en) die Berechnungen durchzuführen sind und die Darstellung auszugeben ist. Es stehen zur Auswahl:
   
   Kartesisch: -> Kurve der Form: z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p)
   Parameterform: -> Kurve der Form: x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p)
   Polarform: -> Kurve der Form: z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k)
    
2. Sind Berechnungen mit Ortskurven in kartesischer Form oder Polarform durchzuführen, so definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(k,p) =.
   
   Um Untersuchungen mit Kurven in Parameterform ausführen zu lassen, definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = Re f(k,p) = sowie y = Im g(k,p) =.
   
   Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
3. Durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein legen Sie die zu verwendende Untersuchungsgenauigkeit zur Ermittlung von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten fest.
    
4. Nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen werden die ermittelten Ergebnisse in der zur Verfügung stehenden Tabelle ausgegeben. Bei Ausführung von Berechnungen darf keiner der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P enthalten!
   
   Hierauf werden, durch die Fokussierung der entsprechenden Tabelleneinträge, die weiteren, dem entsprechenden Punkt zugehörigen Eigenschaften u. dgl. (z.B. Steigung, Tangente usw.) in der darunter angeordneten Liste ausgegeben.
    
5. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte (unter Darstellung - Bereich) den Parameterwertebereich für den Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen die Kurve auszugeben ist (voreingestellt: -π £ k £ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
6. Bestimmen Sie durch die Wahl des entsprechenden Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein, Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
    
7. Wählen Sie auf dem Bedienformular durch Aktivierung des entsprechenden Kontrollkästchens Nullstellen, Abszissen-Extrema,  Wendepunkte, SP mit Im-Achse, Ordinaten-Extrema, ob ermittelte Nullstellen, Extrema, Wendepunkte etc. der Kurve angezeigt werden sollen.
    
8. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung, 2. Ableitung fest, ob eine Darstellung der 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung der Kurve ausgegeben werden soll.
    
9. Um sich ggf. die Tangenten oder Normalen, welche durch Hoch-, Tief- und Wendepunkte verlaufen, zeigen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tangenten bzw. Normalen. Um Krümmungskreise, welche durch Extrema, Schnittpunkte mit der Im-Achse oder Nullstellen verlaufen, grafisch ausgeben zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Krümmungskr.
    
10. Möchten Sie die Bereichsgrenzen des Parameters K zur Untersuchung der Funktion ändern, so benutzen Sie den Schieberegler U-Bereich von k1 = und bis k2 =. Die mit Hilfe des Rollbalkens einstellbare Untersuchungsbereichsweite richtet sich nach den auf dem Hauptformular, unter Untersuchungsbereich von k1 = und bis k2 = vorgegebenen Einstellungen.
     
11. Enthält einer definierten der Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
    
    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweise:
Die Genauigkeit der Berechnungsergebnisse hängt u.a. davon ab, innerhalb welchem Untersuchungsbereich die Analyse durchgeführt wird, wie auch davon welche Genauigkeit zur Durchführung der Berechnungen festgelegt wurde. Diese kann durch die Fokussierung eines Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein oder Sehr fein vorgegeben werden.

Nicht in jedem Fall ist eine eindeutige Bestimmung aller evtl. vorhandener Punkte innerhalb des gewählten Untersuchungsbereichs einer Kurve möglich. Somit kann es vorkommen, dass insbesondere Nullstellen und Wendepunkte nicht ermittelt werden können. Dies kann u.a. bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen sich viele eng beieinander liegende Stellen dieser Art befinden. Auch kann dies bei der Analyse von Kurven auftreten, bei welchen an einer Nullstelle kein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Um Krümmungskreise nicht oval (ellipsenförmig) dargestellt zu bekommen, wählen Sie bei Ausgabe der grafischen Darstellung den Menüpunkt Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear bzw. Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Linear bzw. Einstellungen - Auflösung - Skalierungsart - Polarkoordinatensystem.

Bei der Ausgabe ermittelter Punkte auf dem Hauptformular des Unterprogramms werden folgende Bezeichnungskürzel verwendet:
 

N	Nullstelle
HP	Hochpunkt
TP	Tiefpunkt
W	Wendepunkt
E	Extremum bzgl. Im-Achse
SPI	Schnittpunkt mit Im-Achse
M	Krümmungskreis-Mittelpunkt

Bei grafischen Darstellungen haben diese folgende Bedeutungen:
 

N	Nullstelle
H	Hochpunkt
T	Tiefpunkt
W	Wendepunkt
E	Extremum bzgl. Im-Achse
SPI	Schnittpunkt mit Im-Achse
M	Krümmungskreis-Mittelpunkt