MathProf - Ortskurve - Parameter - Zeichnen - Rechner - Plotter

Modul Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen

---

Das Unterprogramm [Komplex] - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen ermöglicht die Untersuchung des Verhaltens mathematischer Funktionen, welche als Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen bezeichnet werden, in Abhängigkeit von bis zu drei reellwertigen Parametern.

 

Die Ortskurve einer von einem reellwertigen Parameter k abhängigen komplexen Zahl z(k) = x(k) + iy(k) ist die Bahnkurve, die der zugehörige Zeiger z = z(k) in der Gaußschen Zahlenebene beschreibt, wenn der Parameter das Intervall [a,b] durchläuft (a £  k £  b). Derartige Ortskurven lassen sich auch durch die Parametergleichungen x = x(k), y = iy(k), sowie in Polarform beschreiben. Kurven dieser Art können in diesem Unterprogramm dargestellt und untersucht werden.

Das Programm erlaubt in diesem Modul die Durchführung von Funktionsparameteranalysen mit Funktionen nachfolgend aufgeführter Arten:
 

• Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in kartesischer Form, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,u,v,p) = x(k,u,v,p) + iy(k,u,v,p) (Kartesische Form)
• Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in Parameterform, beschrieben durch Terme der Form x = Re f(k,u,v,p) und y = Im g(k,u,v,p) (Parameterform)
• Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in Polarform, beschrieben durch einen Term der Form z = f(k,u,v,p) = f(k,u,v,p)·cos(k) +if(k,u,v,p)·sin(k) (Polarform)

 
Hierbei besteht die Möglichkeit, den Einfluss von bis zu drei verschiedenen reellwertigen Parametern auf den Kurvenverlauf einer Funktion zu untersuchen. Diese Parameter tragen die Bezeichnungen U, V und P. Um eine derartige Untersuchung zu ermöglichen, muss eine Funktion daher stets mindestens eines dieser Zeichen enthalten. Die Parameterwertebereiche sowie die Schrittweite einzelner Parameter können bei der Ausgabe der grafischen Darstellung eingestellt werden.
   
Kartesische Form:
 
z = f(k) = x(k) + iy(k)
 
Definitionsbeispiel:
 
z = f(k) = E^(1+2*PI*I*K)
 
Parameterform:
 

 
Definitionsbeispiel:
 

 
Polarform:
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Die Definition einer Ortskurve in Polarform kann erfolgen mit:
 
f(r,j) = r·cos(j) + ir·sin(j)

bzw. mit r = f(j)

z = f(j)·cos(j) + if(j)·sin(j)
 
Das Programm verwendet für den Winkel j den Buchstabe K. Eine Ortskurve in Polarform kann somit beschrieben werden durch:
 
z = f(k)·cos(k) + if(k)·sin(k)
 
bzw.
 

 
Zu definieren ist im Eingabefeld die Funktion f(k).
 
Definitionsbeispiel:
 
Auszugeben ist in Polarform:
 
f(j) = 2·sin(j)  mit -π £ j £ π
 
Zu definieren ist:
 
2*sin(k)
 
Dargestellt wird:
 
z = 2·sin(k)·cos(k) + i2·sin(k)·sin(k)

bzw.

z =  2·sin(j)·cos(j) + i2·sin(j)·sin(j)
   
Gehen Sie folgendermaßen vor, um den Einfluss verschiedener reellwertiger Parameter auf den Verlauf der Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen zu untersuchen:
 

1. Wählen Sie durch eine Selektion des dafür vorgesehenen Eintrags aus der Auswahlbox, in welcher Art die entsprechenden Kurven darzustellen sind. Es stehen zur Auswahl:
   
   Kartesisch: -> Kurve der Form: z = f(k,u,v,p) = x(k,u,v,p) + iy(k,u,v,p)
   Parameterform: -> Kurve der Form: x = Re f(k,u,v,p) und y = Im g(k,u,v,p)
   Polarform: -> Kurve der Form: z = f(k,u,v,p)·cos(k) + if(k,u,v,p)·sin(k)
    
2. Sind Untersuchungen mit Ortskurven in kartesischer Form oder Polarform durchzuführen, so definieren Sie die Funktion im Eingabefeld mit der Bezeichnung z = f(k,u,v,p) =.
   
   Um Analysen mit Ortskurven in Parameterform durchzuführen, definieren Sie die Funktionsterme in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x = Re f(k,u,v,p) = sowie y = Im g(k,u,v,p) =.
   
   Beachten Sie hierbei die geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
3. Legen Sie durch die Eingabe entsprechender Werte den Parameterwertebereich für Funktionsparameter K (Parameter k von k1 = und bis k2 =) fest, über welchen die Kurven auszugeben sind (voreingestellt: -π £ k £ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
4. Bestimmen Sie durch die Selektion des entsprechenden Eintrags unter Auflösung, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
    
5. Soll eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Koordinatenwertanalyse.
    
6. Betätigen Sie den Schalter Darstellen.
    
7. Wird eine Koordinatenwertanalyse durchgeführt, so klicken Siemit der linken Maustaste in einen rechteckig umrahmten Mausfangbereich der markierten Untersuchungsstelle und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts oder bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben den entsprechenden Abszissen-Koordinatenwert ein und bestätigen mit OK.
    
8. Gehen Sie wie nachfolgend unter Bedienformular zur Parameterwertänderung beschrieben vor, um eine Funktionsparameteranalyse mit Hilfe des zur Verfügung stehenden Bedienformulars durchführen zu lassen.

Hinweis:
Um sich in Polarform definierte Kurven in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.
 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden.
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Nach Aufruf einer Darstellung in diesem Unterprogramm wird ein dem nachfolgend gezeigten, ähnliches Bedienformular zur Verfügung gestellt. Die Anzahl vorhandener Rollbalken auf diesem Formular richtet sich nach der Anzahl verschiedener bei der Funktionsdeklaration verwendeter Parameter.
 


Mit Hilfe dieses Formulars besteht u.a. die Möglichkeit die Wertebereiche der benutzten reellwertigen Parameter zu verändern. Führen Sie Folgendes aus:
 

1. Definieren Sie den zu durchlaufenden Wertebereich eines Parameters, indem Sie die Schaltfläche Parameter bedienen. Hierauf wird ein Formular geöffnet auf welchem Sie durch die Eingabe entsprechender Zahlenwerte in die dafür vorgesehenen Felder den Startwert, den Endwert sowie die Schrittweite des entsprechenden rellwertigen Parameters festlegen. Bei Verwendung mehrerer Parameter aktivieren Sie zunächst einen der zur Auswahl stehenden Kontrollschalter unter Parameterauswahl. Voreingestellt sind für alle Parameter die Startwerte -5, die Endwerte 5 sowie eine Schrittweite von 0,1.
    
2. Verwenden Sie hiernach (den) die sich auf dem Bedienformular befindenden Rollbalken, um gewünschte Parameterwerte einzustellen.
    
3. Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

   
Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
Kurvenscharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
 
Beispiel 1 - Parameteranalyse mit Ortskurve in kartesischer Form:

Es sind Untersuchungen zu den Einflüssen der Parameter u und v auf den Verlauf einer Ortskurve, welche in kartesischer Form durch den Term z = f(k,u,v,p) = cos(u+k)·(5·i+v·sin(i+5·k)) über einen Wertebereich -π £ k £ π beschrieben werden kann, durchzuführen.
 
Vorgehensweise:
 
Selektieren Sie den Eintrag Kartesische Form aus der Auswahlbox.
 
Definieren Sie den Funktionsterm COS(U+K)*(5*I+V*SIN(I+5*K)) im Eingabefeld z = f(k,u,v,p) = und legen Sie den Funktionsparameterwertebereich -π £ k £ π fest (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist).
 
Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen und werden die Rollbalken hierauf wie folgt positioniert:
 
Parameter U: -4
Parameter V: -2
 
so stellt das Programm die Ortskurve der nachfolgend beschriebenen Funktion dar:
 
z = f(k) = COS(-4+K)*(5*I+(-2)*SIN(I+5*K))
 
bzw.
 
z = f(k) = COS(K-4)*(5*I-2*SIN(I+5*K))
 
Beispiel 2 - Parameteranalyse mit Ortskurve in Parameterform:
 
Es gilt, Untersuchungen bzgl. der Einflüsse der Parameter u, v und p auf den Verlauf einer Ortskurve, welche in Parameterform durch die Terme x = Re f(k,u,v,p) = Re 8·cos(u-k²-v) und y = Im g(k,u,v,p) = Im 2·sin(p+u-2·k·i-v), über einen Wertebereich -π £ k £ π beschrieben werden kann, durchzuführen.
 
Vorgehensweise:
 
Selektieren Sie den Eintrag Parameterform aus der Auswahlbox.
 
Definieren Sie die Funktionsterme 8*COS(U-K^2-V) und 2*SIN(P+U-2*K*I-V) in den Eingabefeldern x = Re f(k,u,v,p) = und y = Im g(k,u,v,p) = und legen Sie den Funktionsparameterwertebereich -π £ k £ π fest (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist).
 
Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen und werden die Rollbalken hierauf wie folgt positioniert:
 
Parameter P: 4
Parameter U: 1
Parameter V: -2
 
so gibt das Programm die Ortskurve aus, welche durch nachfolgend aufgeführte Funktionen beschrieben wird:
 
x = Re f(k) = 8*COS(1-K^2-(-2))
y = Im g(k) = 2*SIN(4+1-2*K*I-(-2))
 
bzw.
 
x = Re f(k) = 8*COS(3-K^2)
y = Im g(k) = 2*SIN(7-2*K*I)
 
Beispiel 3 - Parameteranalyse mit Ortskurve in Polarform:
 
Es sind Untersuchungen bzgl. der Einflüsse der Parameter u und v auf den Verlauf einer Ortskurve, welche in Polarform durch den Term r = f(j,u,v) = 7·cos(u-i-j²/2)+v, über einen Wertebereich -π £ j £ π beschrieben werden kann, durchzuführen.
 
Vorgehensweise:
 
Selektieren Sie den Eintrag Polarform aus der Auswahlbox. Definieren Sie den Funktionsterm 8*COS(U-7*COS(U-I-K^2/2)+V im Eingabefeld z = f(k,u,v,p) = und legen Sie den Funktionsparameterwertebereich (Winkelwertebereich) -π £ k £ π fest (durch Bedienung der rechten Maustaste, während Eingabefeld fokussiert ist). Hinweis: Variable k beschreibt in diesem Fall den Winkel j, siehe oben.
 
Klicken Sie auf die Schaltfläche Darstellen und werden die Rollbalken hierauf wie folgt positioniert:
 
Parameter U: 1
Parameter V: -2
 
so stellt das Programm die Ortskurve der nachfolgend beschriebenen Funktion dar (in kartesischer Form):
 
z = f(k) = (7*COS(1-I-K^2/2)-2)·COS(K) +  I(7*COS(1-I-K^2/2)-2)·SIN(K)
 
bzw.
 
z = f(j) = (7·cos(1-i-j²/2)-2)·cos(j) + i(7·cos(1-i-j²/2)-2)·sin(j)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion
 

 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Konforme Abbildungen von Ortskurven - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

Startfenster des Unterprogramms Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Mathematische Funktionen II

---

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---