MathProf - Multiplikation - Dividieren - Komplexe Zahlen - Multiplizieren

Modul Multiplikation und Divison komplexer Zahlen

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Komplexe Zahlen] - Multiplikation komplexer Zahlen ermöglicht die Durchführung der Multiplikation und Division komplexer Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene.

 

 

1. Multiplikation:
 

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z₁ = r₁·e ^jφ1 mit der komplexen Zahl z₂ = r₂·e ^jφ2 lässt sich geometrisch als Drehstreckung des Zeigers z1 darstellen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel φ₂ im positiven Drehsinn gedreht und anschließend um das r₂-fache gestreckt. Das Ergebnis ist das geometrische Bild des Produktes z₁·z₂.
 

2. Division:
 

Die Division zweier komplexer Zahlen z₁ = r₁·e ^jφ1 und z₂ = r₂·e ^jφ2 lässt sich auf die Multiplikation dieser zurückführen. Hierbei wird der Zeiger z1 um den Winkel φ₂ im positiven Drehsinn gedreht, oder zurückgedreht, und anschließend um das 1/r₂-fache gestreckt. Für φ₂ > 0 erfolgt eine Drehung im negativen Drehsinn, für φ₂ < 0 hingegen eine Drehung im positiven Drehsinn.

 

 

 

r = |z| = √ (x² + y²)

tan φ = y / x

 

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z₁ · z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + j (x₁y₂ + x₂y₁)

z₁ · z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂) + j sin(φ₁ + φ₂)]

          = r₁r₂·e ^j(φ1+φ2)

 

Für die Division zweier komplexer Zahlen gilt:

 

z₁ / z₂ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (x₂² + y₂²) + j (x₂y₁ - x₁y₂) / (x₂² + y₂²)

z₁ / z₂ = r₁ / r₂[cos(φ₁ - φ₂) + j sin(φ₁ - φ₂)]

          = r_1/ r₂·e ^j(φ1-φ2)

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Führen Sie Folgendes aus, um Analysen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Multiplikation bzw. Division, ob eine Multiplikation oder eine Division zweier komplexer Zahlen durchgeführt werden soll.
    

2. Um einen Zeiger exakt zu positionieren, bedienen Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular und geben die hierfür relevanten Koordinatenwerte im daraufhin erscheinenden Formular ein. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    

3. Sollen die Positionen von Anfasspunkten mit der Maus verändert werden, klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    

4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die Schrittweite bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• P beschriften: Punktbeschriftung ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Winkelpfeile: Darstellung der richtungsweisenden Winkelpfeile ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Schreibweisen komplexer Zahlen

Berechnungen mit komplexen Zahlen

Addition komplexer Zahlen

 

 

Wird Zeiger Z1 auf Punkt Z1 (-2 / -4) positioniert und Zeiger Z2 auf Punkt Z2 (-3 / 2) positioniert, so gibt das Programm Folgendes aus:

 

Zahl 1:

z1 = -2 - 4j

In Exponentialform gewandelt: z1 = 4,47214 · e^j243,435°

 

Zahl 2:

z2 = -3 + 2j

In Exponentialform gewandelt: z2 = 3,60555 · e^j146,31°

 

Multiplikation:

 

Nach Durchführung einer Multiplikation (bei Aktivierung des Kontrollschalters Multiplikation) wird für Zahl z3 ermittelt:

 

z3 = z1 · z2 = 14 + 8j

In Exponentialform gewandelt: z3 = 16,12452 · e^j29,745°

 

Hierbei erfolgte eine Drehung des Zeigers Z1 um 146,31° (Winkel φ₂) gegen den Uhrzeigersinn und eine anschließende Streckung des gedrehten Zeigers um den Faktor 3,606 (r2-faches).

 

Division:

 

Wird eine Division durchgeführt (nach Aktivierung des Kontrollschalters Division), so gibt das Programm für die Zahl z3 aus:

 

z3 = z1 / z2 = -0,154 + 1,231j

In Exponentialform gewandelt: z3 = 1,24035 · e^j97,125°

 

Hierbei erfolgte eine Drehung des Zeigers Z1 um 146,31° (Winkel φ₂) im positiven Uhrzeigersinn und eine anschließende Streckung des gedrehten Zeigers um den Faktor 0,277 (1/r2-faches).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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