MathProf - Malfatti - Kreis - Kreise - Problem - Ajma - Punkt - Rechner

Modul Malfatti-Kreise

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Extras] - Malfatti - Kreise ermöglicht die Darstellung von Malfatti-Kreisen.

 

 

Die drei Malfatti-Kreise eines Dreiecks sind dadurch bestimmt, dass jeder dieser, sowohl zwei der beiden anderen Kreise, als auch zwei ihn umgebende Dreiecksseiten berührt. Das Malfatti-Dreieck ist das Dreieck, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der Malfatti-Kreise sind.

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:





mit:
 
ρ: Inkreisradius des Dreiecks
s : Umfang des Dreiecks
IA: Abstand Inkreismittelpunkt - Eckpunkt A des Dreiecks
IB: Abstand Inkreismittelpunkt - Eckpunkt B des Dreiecks
IC: Abstand Inkreismittelpunkt - Eckpunkt C des Dreiecks
 
Die Konstruktion der Malfatti-Kreise eines allgemeinen Dreiecks ist eine relativ aufwendige und nicht ganz einfache Angelegenheit. Nachfolgend sei eine kurze prinzipielle Vorgehensweise hierfür aufgezeigt:
 

• Ermittle den Inkreismittelpunkt I eines beliebigen Dreiecks ABC und lege Geraden, die durch dessen Eckpunkte sowie den Inkreismittelpunkt I verlaufen.
  Innerhalb des Dreiecks ABC entstehen somit drei neue Dreiecke ABI, ACI und BCI.
• Konstruiere die Inkreismittelpunkte I1, I2 und I3 dieser Dreiecke und ermittle die Berührpunkte B1, B2 und B3 dieser drei Inkreise mit den Seiten des Außendreiecks ABC.
• Ermittle die drei Berührpunkte T1, T2 und T3 der drei Inkreise der Innendreiecke I1, I2 und I3.
• Lege drei Geraden durch die Berührpunkte B1, B2 und B3 sowie T1, T2 und T3 derart, dass diese jeweils die Tangentialen zweier Kreise sind und ermittle den Schnittpunkt MI derer.
• Konstruiere drei Kreise derart, dass diese jeweils mit zwei Außenseiten des Dreiecks, wie mit zwei der zuvor konstruierten Geraden tangieren. Dies sind die Malfatti-Kreise.

Das Malfatti-Dreieck ist das Dreieck, dessen Eckpunkte die Mittelpunkte der drei Malfatti-Kreise sind.
 
Der Ajima-Punkt ist der Schnittpunkt der Geraden, welche durch die Eckpunkte des Dreiecks und die Mittelpunkte der drei Malfatti-Kreise verlaufen.
 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Untersuchungen zu diesem Fachthema durchzuführen:
 

1. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Punktes des Dreiecks exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
2. Soll die Lage eines Fangpunktes mit der Maus verändert werden, so klicken Sie in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
3. Die Aktivierung des Kontrollkästchens Malfatti-Dreieck bewirkt die Darstellung des Malfatti-Dreiecks. Um sich die drei Malfatti-Kreise einblenden zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Malfatti-Kreise. Der Ajima-Punkt AP wird ausgegeben, wenn das Kontrollkästchen Ajima-Punkt aktiviert wurde. Der Inkreis des Ausgangsdreiecks wird dargestellt, nachdem das Kontrollkästchen Inkreis angeklickt wurde. Sollen zudem die drei Kreistangenten der Malfatti-Kreise eingeblendet werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Kreistangenten.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

Hinweis:
Um sich detaillierte Informationen bzgl. der Eigenschaften des Dreiecks ABC ausgeben zu lassen, wählen Sie den Menüpunkt Datei - Dreieckseigenschaften. Hierauf erscheint ein Ausgabefenster mit den relevanten Daten. Um diese im *.txt-Format zu speichern, verwenden Sie den dort vorhandenden Menüeintrag Datei - Ergebnisse speichern.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Beschriftung von Berühr- und Kreismittelpunkten (Ajima-Punkt) ein-/ausschalten
• Punkte: Darstellung von Berühr- und Kreismittelpunkten (Ajima-Punkt) ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte dargestellter Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Sangaku-Problem
   
Nach einer Festlegung der Eckpunkte des Dreiecks mit A (5 / 10), B (-8 / -6), C (4 / -4), ermittelt das Programm für die Eigenschaften der drei gesuchten Malfatti-Kreise:
 
Kreis 1:
Mittelpunkt: M1 (1,698 / 1,656)
Radius: r1 = 2,699
 
Kreis 2:
Mittelpunkt: M2 (-1,649 / -2,37)
Radius: r2 = 2,536
 
Kreis 3:
Mittelpunkt: M3 (2,489 / -2,622)
Radius: r3 = 1,608
 
Für die Innenwinkel des Dreiecks werden ausgegeben:
 
Winkel BAC: 35,008°
Winkel ABC: 41,444°
Winkel ACB: 103,548°
 
Der Inkreis des Dreiecks besitzt die Eigenschaften:
 
Mittelpunkt: MI (0,986 / -1,285)
Radius: r = 3,546
 
Die Berührpunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten (Tangentialpunkte) sind die Punkte B1 (-1,6 / 0,28), B2 (-2,084 / -0,833) und B3 (-0,928 / -0,684).
 
Der Ajima-Punkt wird ermittelt bei: AP (0,662 / -0,962).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Malfatti-Kreis zu finden.
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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