MathProf - Logarithmische Spirale - Spirale zeichnen - Bogenlänge

Modul Logarithmische Spirale

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Im Unterprogramm [Analysis] - [Spirallinien] - Logarithmische Spirale können logarithmische Spiralen untersucht werden.

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1

 

Grafische Darstellung - Beispiel 2

 

Eine logarithmische Spirale ist eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem Mittelpunkt um den gleichen Faktor vergrößert. Bei logarithmischen Spiralen ist der Winkel, den die (Tangente der) Spirale mit den Radialstrahlen einschließt, konstant. Wann immer man eine logarithmische Spirale um ihren Pol dreht und sie daraufhin mit einem geeigneten Faktor streckt, geht die Spirale in sich selbst über.

Der Abstand des Punktes P vom ihrem Mittelpunkt (Pol) entspricht dem Wert des Parameters a. Sie ist eine Spirale, bei welcher sich mit jeder Umdrehung um ihr Zentrum der Abstand von diesem stets um denselben Faktor verändert. In der Natur folgen beispielsweise Schnecken und Muscheln bei der Bildung ihrer Häuser den Gesetzmäßigkeiten die bei logarithmischen Spiralen zu finden sind.

 

Sie wird in Polarform (in Polarkoordinaten) beschrieben mit der Formel:

 

r = a·e^b·φ

 
Die logarithmische Spirale besitzt die Eigenschaft, dass all ihre Punkte, die auf einem vom Koordinatenursprung ausgehenden Strahl liegen, Tangenten besitzen die parallel verlaufen und somit denselben Schnittwinkel mit dieser Kurve vorweisen. Dieser kann mit Hilfe der Formel arctan(1/φ) berechnet werden.

Der Parameter b kennzeichnet die Wachstumsrate, mit welcher sich Punkte der Spirale vom Zentrum entfernen, bzw. sich diesem nähern. Ist b> 0, so bildet sich eine Spirale mit linksseitig zunehmendem Wachstum. Ist b < 0, so nimmt ihr Wachstum rechtsseitig zu. Bei einem Parameterwert b = 0, bildet sich ein Kreis.

Liegt eine nach links ausgerichtete Spirale vor, so nimmt der Abstand der Spiralpunkte vom Koordinatenzentrum mit wachsendem Polarwinkel zu. Bei einer nach rechts ausgerichteten Spirale nähern sich die Spiralpunkte mit wachsendem Polarwinkel dem Koordinatenzentrum.
 
Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.

 

 

Fläche des Sektors P₁0P₂:

 

A = (r₂²-r₁²)/(4b)

 

Länge des Bogens P₁P₂:

 

l =   1/b·√(b²+1)·(r₂-r₁)
 

Darstellung

 
Führen Sie Folgendes aus, um Untersuchungen zum Thema Logarithmische Spiralen durchzuführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des Kontrollschalters Standard oder Details, ob Sie mit dem vorgegebenen Winkelwertebereich von -3600° ≤  φ  ≤ 1800° durch die Positionierung des dafür vorgesehenen Rollbalkens Winkelpos. Analysen durchführen möchten, oder ob konkrete Untersuchungen mit frei festlegbaren Winkelwertebereichen vorzunehmen sind.
    

2. Ist der Kontrollschalter Standard aktiviert, so stellen Sie die Werte für die Parameter a und b der Funktion mit Hilfe der Rollbalken Parameter a und Parameter b ein. Den zu durchlaufenden Wertebereich für Winkel φ legen Sie durch die Bedienung des Rollbalkens Winkelpos. fest. Winkelangaben werden im Gradmaß angezeigt.
    

3. Wurde der Kontrollschalter Details aktiviert und möchten Sie den darzustellenden (zu untersuchenden) Winkelwertebereich im Gradmaß festlegen, so können Sie die Schaltfläche Winkel auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    

4. Bei einer Aktivierung des Kontrollschalters Standard steht die Schaltfläche Simulation zur Verfügung. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkt(e): Beschriftung von Punkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte des Punkts P ein-/ausschalten
• Position: Positionsmarkierung des Punktes P ein-/ausschalten
• Füllen: Flächenfüllung unter Kurve ein-/ausschalten
• Kreis: Darstellung des Kreises mit Radius OP ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Archimedische Spirale

Funktionen in Polarform

 

 

Beispiel 1:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Standard, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 4, Rollbalken Parameter b auf den Wert 0,3 sowie Rollbalken Winkelpos. auf den Wert 120, so stellt das Programm die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 4·e^0,3·φ über einen Winkelbereich von -3600° ≤ φ ≤ 120° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des Bogens 0P beträgt 7,498.

Bei Winkelposition 120° lauten die Koordinatenwerte des Kurvenpunkts: P (-3,749 / 6,493)

 

Beispiel 2:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalters Details, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 3, Rollbalken Parameter b auf den Wert 0,2, bedienen Sie die Schaltfläche Punkt, geben Sie die Werte 60 und 300 ein und bestätigen Sie mit Ok.

 

Das Programm stellt die Kurve dar, die durch die Gleichung in Polarform r = 3·e^0,2·φ über einen Winkelbereich von 60° ≤ φ ≤ 300° beschrieben wird.

 

Darüber hinaus wird Folgendes ausgegeben:

 

Die Länge des von der Kurve beschriebenen Bogens P1P2 beträgt: l = 24,73

 

Die Gesamtfläche unter der Kurve (Fläche des Sektors P₁0P₂ mit φ₁ = 60° und φ₂ = 300°) beträgt: 74,253 FE

 

Für die Koordinaten der Punkte bei den Winkelpositionen 60° und 300° gibt das Programm aus:

 

P1 (1,849 / 3,203)

P2 (4,274 / -7,404)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Logarithmische Spirale zu finden.

 

  

 

Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Segmentweise definierte Funktionen - Kurvenscharen - Funktionsparameteranalyse - Funktionswertetabellen - Iteration - Parameter der Sinus- und Cosinusfunktion - Parameter der Logarithmusfunktion - Parameter der Betragsfunktion - Parameter der Integer-Funktion - Parameter der Quadratwurzelfunktion - Parameter der Potenzfunktion - Parameter der Exponentialfunktion - Kubische Funktion in allgemeiner Form - Kubische Funktion in spezieller Form - Zahlenfolgen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen - Parabelgleichungen - Parabelgleichungen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Analyse quadratischer Funktionen - Ermittlung ganzrationaler Funktionen - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Ganzrationale Funktionen (Polynome) - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Interpolation nach Newton und Lagrange - Interpolation ganzrationaler Funktionen - Polynomregression - Nullstellen - Iterationsverfahren - Horner-Schema - Tangente - Normale - Tangente - Sekante - Tangente und Normale von externem Punkt - Kurvendiskussion - Kurvendiskussion - Interaktiv - Obersummen und Untersummen - Obersummen und Untersummen - Interaktiv - Integrationsmethoden - Rotationsparaboloid (3D) - Integralrechnung - Integralrechnung - Interaktiv - Zykloide - Hypozykloide - Epizykloide - Sternkurven - Zissoide - Strophoide - Kartesisches Blatt - Semikubische Parabel - Archimedische Spirale - Fourier-Summen - Fourier-Reihen - Taylorreihen und Potenzreihen - Implizite Funktionen

  

MathProf 5.0 - Unterprogramm Archimedische Spirale

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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