MathProf - Logarithmische Spirale - Konstruktion - Konstruieren

 

Modul Logarithmische Spirale - Konstruktion

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Das Unterprogramm [Analysis] - [Spirallinien] - Logarithmische Spirale - Konstruktion ermöglicht eine Analyse der Zusammenhänge bei der Konstruktion einer logarithmischen Spirale.

 

    
Die Methode die zur Konstruktion einer logarithmischen Spirale in diesem Unterprogramm verwendet wird, sei nachfolgend beschrieben:
 
Grundlage ist ein Rechteck, bei welchem die Seitenverhältnisse den Gesetzen des Goldenen Schnitts entsprechen. Dessen Seitenverhältnisse betragen demnach p = a/b = (a+b)/a = 1/2 (Ö5 + 1) = 1,61803 bzw. σ = b/a = 1/2 (Ö5 – 1) = 0,61803 mit a = BC und b = AB. Dieses Rechteck wird so positioniert, dass zwei der Eckpunkte (A und C) dessen auf der Abszisse, sowie einer derer auf der Ordinate liegen.

Hieraus können die entsprechend benötigten Koordinatenwerte der Ortspunkte des Vierecks ermittelt werden. Daraufhin wird der längeren Seite des Rechtecks ein Quadrat aufgesetzt. Hierdurch entsteht wiederum ein Rechteck, welches dem Gesetz des Goldenen Schnitts genügt (entstanden aus dem bereits vorhandenen Rechteck und dem aufgesetzten Quadrat). Diesem wird nach derselben Vorschrift erneut ein Quadrat aufgesetzt, etc.

Durch Wiederholung dieses Vorgangs kann festgestellt werden, dass Eckpunkte aller aufgesetzten Quadrate auf der logarithmischen Spirale liegen. Bei jeder dieser Wiederholungen sind es die Eckpunkte des Quadrats, welche um 90° gegen den Uhrzeigersinn gegenüber den Eckpunkten des zuletzt aufgesetzten Quadrats gedreht sind.
 

 
Die o.a. Zusammenhänge, bei Anwendung dieser Konstruktion, können Sie folgendermaßen untersuchen:
 
Durch die Bedienung des Rollbalkens Anz. Quadrate legen Sie fest, wieviele der oben beschriebenen Schritte zu durchlaufen sind. Bei einer Benutzung des Rollbalkens Winkelpos. wird der Verlauf der Kurve bis zum entsprechenden Eckpunkt des Quadrats ausgegeben. Wird der Rollbalken Streckung bedient, so kann mit diesem der Maßstab der gesamten Darstellung durch Ausführung einer Streckung verändert werden.
 
Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Punktbeschriftung verwendeter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinatenwerte verwendeter Punkte ein-/ausschalten
• Vierecke darstellen: Darstellung aller zur Konstruktion verwendeter Vierecke ein-/ausschalten
• Goldenes Viereck: Darstellung des Goldenen Vierecks (des ersten Rechtecks welches den Gesetzen des Goldenen Schnitts genügt) ein-/ausschalten
• Kurve hervorheben: Linienstärke der Spirale normal/fett

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Archimedische Spirale
Logarithmische Spirale
Funktionen in Polarform
   
Wird durch die Positionierung der entsprechenden Rollbalken die Anzahl zu verwendender Quadrate auf 3, die Winkelposition auf den Wert 2 und eine Streckung der Darstellung um den Faktor 2 festgelegt, so werden folgende Werte ausgegeben:
 
Die Koordinatenwerte des Goldenen Vierecks, welches durch die Punkte A, B, C und D beschrieben wird, lauten:
 
A (1,236 / 0)
B (0 / 2)
C (-3,236 / 0)
D (-2 / 2)
 
Für die Fläche des durch diese Punkte begrenzten Vierecks wird angezeigt: A = 8,944 FE.
 
Die Gleichung der dargestellten Spirale ermittelt das Programm mit:
 
r(j) = 5,82·e^0,306j
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
    

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Logarithmische Spiralezu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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