MathProf - Lineare Gleichungssysteme - Lösungsmenge - Homogenes LGS
Fachthema: Lineare Gleichungssysteme (LGS)
MathProf - Algebra - Software für interaktive und technische Mathematik zum Lösen verschiedenster Aufgaben und zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels Simulationen, 2D- und 3D-Animationen für die Schule, das Abitur, das Studium sowie für Lehrer, Ingenieure, Wissenschaftler und alle die sich hierfür interessieren.
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für das Modul zum Lösen linearer Gleichungssysteme höherer Ordnung.
Der in diesem Unterprogramm eingebundene Rechner bietet die Möglichkeit ein lineares (quadratisches) Gleichungssystem (LGS) mit mehreren Unbekannten (Variablen) unter Anwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens lösen zu lassen. Hierbei kann es sich um ein homogenes Gleichungssystem oder ein inhomogenes Gleichungssystem handeln.
Es kann eine Koeffizientenmatrix bis zum Grad 20 (20 Unbekannte) festgelegt werden, um dieses Lösungsverfahren zum Berechnen der numerischen Lösungen eines Systems dieser Art zu verwenden.
Findet der im Programm implementierte LGS-Rechner keine Lösungsmenge, bzw. besitzt das LGS unendliche viele Lösungen, so wird eine entsprechende Meldung ausgegeben.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität dieses Programmmoduls geben und dazu dienlich sind, Aufgaben zu diesem Themengebiet zu lösen, sind implementiert.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:LGS - Lineares Gleichungssystem - Lineare Gleichungssysteme - Lösen - Lösung - Lösungen - Lösbar - Methoden - Aufstellen - Koeffizientenmatrix - Lösungsverfahren - Lösungen von Gleichungssystemen - Gleichungssystem - Homogenes LGS - Quadratisches Gleichungssystem - Quadratische Gleichungssysteme - Gauß - Verfahren - Aufstellen - Bilden - Determinante - Lösungsmenge bestimmen - Lösungsmengen - Homogen - Gleichungssysteme - Homogenes lineares Gleichungssystem - Homogenes Gleichungssystem - Lineare Gleichungen - Variablen - System - Systeme - Koeffizienten - Parameter - Darstellung - Keine Lösung - Rechenweg - Rechnerische Lösung - 2 - 3 - 4- 5 - 6 - 7 - 8 - Unbekannte - Gleichungen - Unendlich viele Lösungen - Herleitung - Beweis - Lösbarkeit - Berechnen - Rechner - Solver - Aufgaben - Unbekannte - Bedeutung - Was bedeutet - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Begriff - Begriffe - Erklärung - Einfach erklärt - Beschreibung - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Mathe - Mathematik - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Definition - Beispiel - Beispielaufgaben - Bestimmen - Rechnerisch - Grundlagen - Lösungsmenge - Eindeutige Lösung - Formel - Nullzeile - Unbekannte - Einführung - Was ist - Was sind - Eigenschaften - Matrixschreibweise - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Erweiterte Matrix - Erweiterte Koeffizientenmatrix - Matrix - Gleichung - Vektoren - Matrixgleichung - Matrizengleichung - Lösungsvektor - Spaltenvektor - Einsetzungsverfahren - Einsetzverfahren - Einsetzmethode - Substitutionsverfahren - Subtraktionsverfahren - Additionsverfahren - Gleichsetzung - Gleichsetzungsverfahren - Gleichsetzungsmethode - Verfahren |
Lineares Gleichungssystem - LGS
Modul Lineares Gleichungssystem
Mit Hilfe des Unterprogramms [Algebra] - Lineares Gleichungssystem können die Lösungen eindeutig bestimmter, linearer Gleichungssysteme (LGS) mit bis zu 20 Unbekannten ermittelt werden.
Als lineares Gleichungssystem (LGS) wird in der Algebra eine Menge linearer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten bezeichnet, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.
Lineare Gleichungssysteme sind dann eindeutig lösbar, wenn die Anzahl der Gleichungen n mit der Anzahl der Variablen n genau übereinstimmt, diese sich nicht widersprechen und nicht linear voneinander abhängig sind.
In diesem Modul können die Lösungen eindeutig bestimmter, linearer Gleichungssysteme (LGS) bis 20. Grades nachfolgend aufgeführter Form ermittelt werden:
a(1,1) · x(1) + ... + a(1,n) · x(n) = b(1)
....
....
....
a(n,1) · x(1) + ... + a(n,n) · x(n) = b(n)
Grundlegendes
Matrixschreibweise - Definition:
In Matrixschreibweise lautet die Darstellung eines linearen Gleichungssystems wie folgt:
oder Ax = B.
mit:
a: Koeffizientenmatrix
Vektoren:
x: Lösungsvektor
b: Spaltenvektor
Sie gestaltet sich beispielsweise bei einem linearen Gleichungssystem vom Grad 3 wie folgt:
Erweiterte Koeffizientenmatrix (erweiterte Matrix):
Die erweiterte Koeffizientenmatrix (erweiterte Matrix) hilft dabei, ein LGS strukturiert darzustellen und schneller lösen können. Ihre Form sieht wie nachfolgend gezeigt aus:
In genau dieser Darstellungsweise sind die entsprechenden Koeffizienten des LGS in diesem Unterprogramm festzulegen.
Anzahl möglicher Lösungen (Lösbarkeit):
Ein LGS kann entweder eine exakte sowie unendlich viele oder keine Lösung besitzen. Es existieren somit drei mögliche Lösungsfälle. Über deren Art erteilen der Rang der Koeffizientenmatrix sowie der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix Auskunft. Dieser entspricht der maximalen Anzahl ihrer linear unabhängiger Spalten- bzw. Zeilenvektoren.
- Entspricht der Rang der Koeffizientenmatrix rg(A) nicht dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix rg(A|b), so existiert keine Lösung für das LGS.
- Eine eindeutige Lösung des LGS existiert, wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix rg(A|b) exakt der Anzahl der verwendeten Variablen entspricht, beziehungsweise wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.
- Unendlich viele Lösungen für das LGS existieren, wenn die Anzahl verwendeter Variablen geringer ist als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix rg(A|b).
Homogenes Gleichungssystem (Homogenes LGS): Ein lineares Gleichungssystem wird als homogen bezeichnet (homogenes LGS), wenn der Spaltenvektor (die rechte Seite des Systems) lediglich Nullen enthält (b1... bn = 0). Trifft dies nicht zu, so heißt es inhomogen (inhomogenes LGS). Parameter dienen dazu Zahlen zu ersetzen. Sie können beim Lösen eines linearen Gleichungssystems in gleicher Art und Weise wie Zahlen behandelt werden.
Als Matrizengleichung.(Matrixgleichung) wird eine Gleichung bezeichnet, bei welcher die Elemente einer unbekannten Matrix zu bestimmen sind.
Koeffizientenmatrix: Die Bildung einer Koeffizientenmatrix ist ein erster Schritt der Vorbereitung um mit Hilfe eines Algorithmus ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Hiebei werden die Koeffizienten (Faktoren) der Variablen in eine Matrix übertragen.
Quadratische Gleichungssysteme: Als quadratisches Gleichungssystem wird ein Gleichungssystem bezeichnet, welches durch eine quadratische Matrix beschrieben werden kann. Es besitzt so viele Gleichungen wie Unbekannte.
Als Lösungsvektor wird ein Zahlentripel bezeichnet, welches nicht aus einer einzelnen Lösung besteht, sondern vielmehr aus einem Tupel von Lösungen.
Lösungsverfahren - Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit zwei Variablen
Zum rechnerischen Lösen (Aufstellen und Bilden) linearer Gleichungssysteme stehen mehrere Lösungsverfahren (Methoden) zur Verfügung. Jedes dieser beruht darauf, eine der im System vorhandenen Variablen zu eliminieren und somit lediglich noch zwei lineare Gleichungen mit je einer Variablen lösen zu müssen. Nachfolgend sind drei der meist verwendeten Verfahren aufgeführt.
Einsetzverfahren (Substitutionsverfahren):
Beim Einsetzungsverfahren (Einsetzverfahren oder Substitutionsverfahren) wird die Methode angewandt, eine Gleichung des Systems nach einer Variablen aufzulösen und hierauf den für diese Variable ermittelten Term in die andere Gleichung einzusetzen. Hierdurch entsteht eine Gleichung mit lediglich einer Variablen.
Gleichsetzungsverfahren:
Beim Gleichsetzungsverfahren (Gleichsetzverfahren oder Gleichsetzungsmethode) werden beide Gleichungen des Systems nach einer Variablen oder einer einem gemeinsamen Term aufgelöst. Hierauf werden die ermittelten Terme einander gleichgesetzt.
Additionsverfahren:
Beim Additionsverfahren (Subtraktionsverfahren) wird durch die Multiplikation jeder der beiden Gleichungen erreicht, dass die Koeffizienten einer der Variablen der beiden Gleichungen unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Durch eine Addition (Subtraktion) der beiden Terme kann hierauf die Variable eliminiert werden.
Anmerkung: In diesem Modul findet keines der drei zuvor aufgeführten Verfahren Anwendung. Vielmehr wird das Gauß-Jordan-Verfahren zur Ermittlung der Lösungen von Gleichungssystemen dieser Art eingesetzt.
Beispiele zur Lösung von Gleichungssystemen mit zuvor beschriebenen Verfahren
1. Beispiel - Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren):
Gegeben seien die beiden nachfolgend gezeigten Gleichungen. Es gilt, die Lösungen des durch sie beschriebenen Gleichungssystems zu ermitteln.
Gleichung I: 10x + 4y = 8
Gleichung II: 2x - 6y = 22
1.Schritt:
Nach dem Aufstellen des LGS erfolgt m ersten Schritt das Auflösen einer der gegebenen Gleichungen nach einer ihrer Variablen. Im vorliegenden Fall wird hierzu die Gleichung II verwendet. Diese wird durch entsprechendes Umstellen nach der dort vorkommenden Variable y aufgelöst.
aus II:
2x - 6y = 22
-6y - 22 -2x = 0
-6y = 22 - 2x
y = 1/3x - 11/3
2.Schritt:
Hierauf erfolgt das Einsetzen der im ersten Schritt ermittelten Variable y (somit der nach ihr umgestellten Gleichung) in die Gleichung II.
Hierbei wird die in der zweiten Gleichung vorkommende Variable y durch den zuvor ermittelten (in Klammern gesetzten) Term ersetzt.
II eingesetzt in I:
10x + 4y = 8
10x + 4(1/3x - 11/3) = 8
10x +4/3x - 44/3 = 8
Die Bezeichnung dieser neu ermttelten Gleichung lautet nun Gleichung III.
3.Schritt:
Diese Gleichung wird nun mittels der Durchführung der entsprechenden Rechenoperationen nach der gesuchten Variable aufgelöst.
10x +4/3x - 44/3 = 8
34/3x = 68/3
x = 2
4.Schritt:
Das im vorigen Schritt ermittelte Rechenergebnis für die Variable y wird hierauf in die Gleichung III eingesetzt.
y = 1/3x - 11/3
y = 1/3·2 - 11/3
y = -3
Die Ergebnisse lauten somit:
x = 2
y = -3
Es erfolgt das Einsetzen der ermittelten Lösungen x = 2 und y = -3 in die beiden gegebenen Gleichungen.
10x + 4y = 8
10·2 + 4·(-3) = 8
2x - 6y = 22
2·2 - 6·(-3) = 22
Nach Durchführung dieses Schritts kann entnommen werden, dass die errechneten Werte für die Variablen x und y die festgelegten Gleichungsbedingungen erfüllen.
2. Beispiel - Gleichsetzungsverfahren:
Das Gleichsetzungsverfahren findet hauptsächlich Anwendung, wenn lediglich die Lösungen eines Systems mit zwei Gleichungen zu ermitteln sind.
Gegeben seien die beiden nachfolgend gezeigten Gleichungen. Es gilt, die Lösungen des durch sie beschriebenen Gleichungssystems zu ermitteln.
Gleichung I: 10x + 4y = 8
Gleichung II: 2x - 6y = 22
Beide Gleichungen werden aufeinanderfolgend nach einer ihrer beiden Variablen aufgelöst. In beiden Fällen ist dies für dieselbe Variable zu anzuwenden.
1. Schritt:
Auflösung der Gleichung I nach Variable y:
10x + 4y = 8
4y = 8 - 10x
y = -5/2x + 2 (Gleichung III)
Auflösung der Gleichung II nach Variable y:
2x - 6y = 22
-6y = 22 -2x
y = 1/3x - 11/3 (Gleichung IV)
2. Schritt:
Hierauf erfolgt das Gleichsetzen der beiden nach y aufgelösten Gleichungen III und IV.
y = -5/2x + 2 (Gleichung III)
y = 1/3x - 11/3 (Gleichung IV)
Gleichsetzen:
-5/2x + 2 = 1/3x - 11/3
Diese Gleichung beinhaltet lediglich noch die Variable x. Es erfolgt das Auflösen dieser.
-5/2x + 2 = 1/3x - 11/3
-5/2x - 1/3x = -11/3 - 2
-17/6x = -34/6
x = 2
3.Schritt:
Das im vorigen Schritt ermittelte Rechenergebnis für die Variable y wird hierauf in die Gleichung III eingesetzt.
y = 1/3x - 11/3
y = 1/3·2 - 11/3
y = -3
Die Ergebnisse lauten somit:
x = 2
y = -3
Es erfolgt das Einsetzen der ermittelten Lösungen x = 2 und y = -3 in die beiden gegebenen Gleichungen.
10x + 4y = 8
10·2 + 4·(-3) = 8
2x - 6y = 22
2·2 - 6·(-3) = 22
Nach Durchführung dieses Schritts kann entnommen werden, dass die errechneten Werte für die Variablen x und y die festgelegten Gleichungsbedingungen erfüllen.
3. Beispiel - Additionsverfahren:
Bei der Anwendung des Additionsverfahrens gilt es, eine der in beiden Gleichungen vorkommenden Variablen durch eine Addition (Subtraktion) dieser beiden Gleichungen zu eliminieren.
Gegeben seien die beiden nachfolgend gezeigten Gleichungen. Es gilt, die Lösungen des durch sie beschriebenen Gleichungssystems zu ermitteln.
Gleichung I: 10x + 4y = 8
Gleichung II: 2x - 6y = 22
1. Schritt:
Es erfolgt das Anordnen der beiden gegebenen Gleichungen und die Multiplikation der Gleichung II mit dem Faktor -5.
10x + 4y = 8
2x - 6y = 22 | ·(-5)
Hieraus resultiert das nachfolgend gezeigte Gleichungssystem:
10x + 4y = 8
10x + 30y = -110
2. Schritt:
Durch die Addition der beiden nachfolgend gezeigten Terme
10x + 4y = 8
-10x + 30y = -110
-----------------------
34y = -102
wird die Variable x aus diesem Gleichungssystem eliminiert und es resultiert das Ergebnis:
34y = -102
bzw.
y = -3
3.Schritt:
Das im vorigen Schritt ermittelte Rechenergebnis für die Variable y wird hierauf in eine der beiden gegebenen Gleichungen (z.B. Gleichung I) eingesetzt.
Es erfolgt die Auflösung dieser Gleichung nach Variable x:
10x + 4y = 8
10x + 4·(-3) = 8
10x = 8 + 12
10x = 20
x = 2
Die Ergebnisse lauten somit:
x = 2
y = -3
Es erfolgt das Einsetzen der beiden ermittelten Lösungen x = 2 und y = -3 in die gegebenen Gleichungen.
10x + 4y = 8
10·2 + 4·(-3) = 8
2x - 6y = 22
2·2 - 6·(-3) = 22
Nach Durchführung dieses Schritts kann entnommen werden, dass die errechneten Werte für die Variablen x und y die festgelegten Gleichungsbedingungen erfüllen.
Durchführung numerischer Berechnungen mit diesem Modul
Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad (Anzahl Unbekannter) des zu berechnenden Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des LGS festgelegt werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht. Besitzt eine Gleichung weniger Unbekannte als Felder zur Verfügung stehen, so ist in den entsprechenden Feldern, die nicht Teil der Gleichung sind, eine 0 einzutragen (bzw. diese auf 0 zu belassen).
Nach der Festlegung der entsprechenden Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems numerisch ermittelt und ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung. Beinhaltet das Gleichungssystem eine Nullzeile, so existiert keine Lösung.
Hinweise:
Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des LGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).
Um Berechnungen mit unter- oder überbestimmten Gleichungssystemen durchführen zu lassen, benutzen Sie die Programmmodule Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem bzw. Überbestimmtes lineares Gleichungssystem.
Allgemein
Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten eines LGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.
Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.
Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.
Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
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Beispiele - Aufgaben
Beispiel - Aufgabe 1:
Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit den 3 Unbekannten x1, x2 und x3 ermitteln zu lassen:
-3·x1 - 1·x2 - 4·x3 = 4
3·x1 + 3·x2 + 2·x3 = 0
4·x1 + 3·x2 + 5·x3 = 3
Vorgehensweise und Lösung:
Nach einer Festlegung des Grades des LGS auf 3, der Eingabe folgender Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:
-3 -1 -4
3 3 2
4 3 5
und der Eingabe nachfolgend aufgeführter Koeffizientenwerte in die Tabelle Absolutglieder:
4
0
3
ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen die reellen Lösungen des LGS mit:
x1 = -8,25
x2 = 5,75
x3 = 3,75
Die Lösungsmenge dieses LGS lautet somit L = {(-8,25|5,75|3,75)}
Beispiel - Aufgabe 2:
Es gilt, die reellen Lösungen des nachfolgend aufgestellten linearen Gleichungssystems mit den 4 Unbekannten x1, x2, x3 und x4 ermitteln zu lassen:
-x4 + 2·x3 - 9·x2 + 8·x1 = 5
-6·x4 + 6·x3 - 4·x2 + 5·x1 = -4
2·x4 + x3 + 7·x2 - 4·x1 = 2
4·x4 + 3·x3 + 9·x2 - 8·x1 = 6
Nach einer Durchführung der zuvor beschriebenen Vorgehensweise ermttelt das Programm:
x1 = 2,095012
x2 = 0,942993
x3 = -0,211401
x4 = 0,413302
Die Lösungsmenge dieses LGS lautet somit L = {(2,095012|0,942993|-0,211401|0,413302)}
Beispiel 1 - LGS mit 3 Unbekannten
Beispiel 2 - LGS mit 5 Unbekannten
Beispiel 3 - LGS mit 2 Unbekannten
Beispiel 4 - LGS mit 4 Unbekannten
Beispiel 5 - LGS mit 6 Unbekannten
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Lineares Gleichungssystem zu finden.
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MathProf 5.0 - Unterprogramm Gaußscher Algorithmus
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
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