MathProf - Lineare Optimierung - Zielfunktion - Optimierungsproblem - Optimieren

 

Modul Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Algebra] - [Lineare Optimierung] - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Interaktiv ermöglicht die interaktive Anwendung der grafischen Methode der Linearen Optimierung.
 

Mit Hilfe dieser Methode können Extremwerte linearer Funktionen bestimmt werden, wobei es Nebenbedingungen zu beachten gibt. Diese Nebenbedingungen, welche oftmals Kapazitätsbedingungen ausdrücken, lassen sich in Form linearer Ungleichungen darstellen. Sind dabei nicht mehr als zwei Variablen zu beachten, so lässt sich dieses Problem grafisch lösen. Sind jedoch mehr als zwei Variablen zu berücksichtigen, muss ein analytisches Lösungsverfahren gewählt werden, zum Beispiel die Simplex-Methode.
 
Dieses Unterprogramm ermöglicht die Ermittlung von Lösungen mit Hilfe der grafischen Methode der linearen Optimierung, wenn zwei Variablen zu berücksichtigen sind. Es dient der Veranschaulichung des Prinzips der Anwendung der grafischen Methode der linearen Optimierung. Um Optimierungsaufgaben mit konkreten Zahlenwerten lösen zu lassen wählen Sie das Unterprogramm Lineare Optimierung - Grafisch.

Allgemeine Vorgehensweise zur Auffindung von Lösungen mit Hilfe dieser Methode:
 

1. Einzeichnen aller Nebenbedingungen in ein Koordinatensystem
2. Festlegung des zulässigen Bereichs
3. Für einen beliebigen festgelegten Funktionswert Eintragung der Zielfunktion
4. Bestimmung des Extremwertes durch Parallelverschiebung.
   Wenn ein Maximum gesucht ist, wird die Zielfunktion so lange nach oben verschoben,
   bis der zulässige Bereich gerade noch berührt wird. Bei der Bestimmung eines Minimums wird die Gerade möglichst nah an den Koordinatenursprung geschoben
5. Berechnung des grafisch ermittelten Punktes
6. Wenn zwei benachbarte Punkte und damit auch alle Punkte auf deren Verbindungsstrecke Lösungen sind, ist die Lösung mehrdeutig

   
Führen Sie Folgendes durch, um mit Hilfe der Anwendung der grafischen Methode der linearen Optimierung Analysen interaktiv durchzuführen:
 

1. Legen Sie durch die Bedienung des Steuerelements mit der Bezeichnung Anz. NB fest, wie viele Nebenbedingungen zu erfüllen sind.
    
2. Positionieren Sie die Rollbalken mit den Bezeichnungen X und Y im Formularbereich HB um die Koeffizienten der Gleichung der zu erfüllenden Hauptbedingung der Form z = a·x + b·y festzulegen.
    
3. Legen Sie durch die Positionierung der zur Verfügung stehenden Rollbalken mit den Bezeichnungen X und Y in den Formularbereichen NB 1, NB 2 und NB 3 die Koeffizienten a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b_3, c₁, c₂ und c₃ der Gleichungen der zu erfüllenden (nachfolgend aufgeführten) Nebenbedingungen fest:
    a₁·x + b₁·y £ c₁  bzw.  a₁·x + b₁·y ³ c₁
   a₂·x + b₂·y £ c₂  bzw.  a₂·x + b₂·y ³ c₂
   a₃·x + b₃·y £ c₃  bzw.  a₃·x + b₃·y ³ c₃
    
4. Selektieren Sie aus der Auswahlbox das entsprechende Symbol <= bzw. >= um die Art der jeweils zu erfüllenden Nebenbedingung zu definieren.
    
5. Bedienen Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken um Werte für die Koeffizienten der Gleichung der Hauptbedingung, sowie der Ungleichungen der Nebenbedingungen festzulegen.
    
6. Durch eine Aktivierung des Kontrollkästchens Hauptbedingung blenden Sie die Zielfunktion ein. Die Aktivierung der Kontrollkästchen Gerade durch Max. und Gerade durch Min. bewirkt die Darstellung der Geraden durch das ermittelte Maximum bzw. Minimum.
    
7. Starten Sie bei Bedarf eine Autosimulation mit dem Schalter Simulation um die Einflüsse der Koeffizienten der Funktion zu untersuchen und beenden Sie diese wieder durch einen erneuten Klick auf diese Schaltfläche. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

   
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.
  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Darstellung relevanter Punkte ein-/ausschalten
• P beschriften: Beschriftung relevanter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten relevanter Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Lineare Optimierung - Grafische Methode
Lineare Optimierung - Simplex-Methode
   
Zwei verschiedene Kunststoffprodukte I und II werden aus demselben Rohgranulat erstellt. Drei Vorgänge bestimmen die Produktion: Warmpressen, Spritzguss, Verpackung. Produkt I entsteht durch Warmpressen, Produkt II durch Spritzguss. Beide werden verpackt. Die Warmpresse steht für maximal 10 h zur Verfügung. Pro Tonne des Produktes I wird 1 h gebraucht. Die Spritzguss-Maschine steht für maximal 6 h zur Verfügung. Pro Tonne des Produktes II wird 1 h gebraucht. Pro t von Produkt I werden 2h, pro t des Produktes II 4h von einer Person in der Verpackungsabteilung benötigt. Dort arbeiten 4 Personen à 8h. Der (gesicherte)Absatz der beiden Güter ergibt für Gut I einen Preis von 30GE/t, für Gut II 20 GE/t.

Wieviel von jedem Gut sollte das Unternehmen produzieren, um den Erlös zu maximieren?

Lösung des Problems:

Die Erlösfunktion (= Zielfunktion = Hauptbedingung) ist: z = 30·x +20·y
Gesucht ist z_max (maximaler Erlös)

Folgende Nebenbedingungen (Restriktionen) müssen erfüllt sein:

x £ 10
y £ 6
2x + 4y £ 32

sowie:
 
x ³ 0 und
y ³ 0 (Nichtnegativitätsbedingungen)

Durch jede Restriktion wird eine Ungleichungsrelation festgelegt. Die Schnittmenge (bei grafischer Darstellung die gefüllte Polygonfläche) aller dieser Ungleichungsrelationen ist der zulässige Bereich.
 
Es wird ein zweidimensionales Koordinatensystem betrachtet, in welchem der zulässige Bereich eingezeichnet wird. Dessen Grenzen sind die Geraden x = 10; y = 6; 2·x + 4·y = 32. Dieser Bereich wird markiert.
 
Es gilt nun, die Gerade zu finden, die den höchsten Ordinatenabschnitt hat und deren Schnittmenge mit der Menge, die die Restriktionen erfüllt, nicht leer ist. Dies bedeutet, die Gerade so weit nach oben rechts zu verschieben, bis sie nur noch einen Punkt der roten Fläche berührt. (Bei der Suche nach einem Minimum würde dies bedeuten, die die Gerade so weit nach links unten zu verschieben, bis sie nur noch einen Punkt der roten Fläche berührt)
 
Wird dies durchgeführt, so ist zu erkennen:
 
Die gesuchte Gerade verläuft durch den Schnittpunkt der Geraden x = 10 und 2·x + 4·y = 32, also durch den Punkt (10 / 3). Diese Gerade hat den grössten Ordinatenabschnitt und hat immer noch einen Punkt mit der roten Fläche gemeinsam. Der Erlös an diesem Punkt ist somit: y = 30·10 + 20·3 = 360 GE.
 
Werden die Rollbalken und Elemente zur Symbolauswahl wie auf nachfolgend gezeigtem Bild positioniert, so kann die oben aufgeführte Aufgabe mit diesem Unterprogramm gelöst werden.
 

 
Das Programm gibt für die Gleichung der Geraden durch das Maximum aus: y = 1,5·x+18. Für die Gleichung der Geraden durch das Minimum wird y = 1,5·x ermittelt. Geraden welche durch ein Minimum oder ein Maximum verlaufen sind grau, Grenzgeraden sind blau, die Gerade der Hauptbedingung ist braun markiert.


 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
    

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Lineare Optimierung zu finden. 

 

 

Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Komplexes Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL-Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte- Cramersche Regel - Interaktiv - Nichtlineares Gleichungssystem zweier Unbekannter - Nichtlineares Gleichungssystem mehrerer Unbekannter - Diophantisches Gleichungssystem - Gleichungen - Interaktiv - Gleichungen 2.- 4. Grades - Interaktiv - Ungleichungen - DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL n-ter Ordnung - Interaktiv - DGL - Gleichungssystem - Interaktiv - DGL 1. Ordnung in Parameterform - DGL 1. Ordnung in Parameterform - Interaktiv - DGL-System 1. Ordnung (3D-Visualisierung) - Vektorfelder - Gradientenfelder - Kommandozeilenrechner - Funktionen komplexer Zahlen - Zahlen III
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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