MathProf - Lemniskate - Scheitel - Punkt - Fläche - Formel - Funktion

 

Modul Lemniskate

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Das kleine Unterprogramm [Analysis] - [Kurven n-ter Ordnung] - Lemniskate ermöglicht die Durchführung von Untersuchungen mit Kurven, welche als Lemniskaten bezeichnet werden.

 

Eine Lemniskate ist eine Kurve 4. Ordnung, welche folgendermaßen beschrieben werden kann:
 
Kartesisch:
 
(x²+y²)² = 2a²(x²-y²)
 
In Parameterform:
 
x = aÖ2cos(t)/(sin(t)²+1)
y = aÖ2cos(t)sin(t)/(sin(t)²+1)
 
mit 0 £ t £ 2p
 
In Polarform:
 

 
Sie ist achsensymmetrisch zur Verbindungsgeraden von F1 und F2, zur Mittelsenkrechten zwischen F1 und F2, sowie punktsymmetrisch zum Mittenpunkt zwischen F1 und F2. Auf der Verbindungsgeraden von F1 und F2 liegen von allen Punkten der Lemniskate nur der Mittenpunkt zwischen F1 und F2 und die diesem fernsten beiden Kurvenpunkte im Abstand (aÖ2 | 0).

Der Mittenpunkt zwischen F1 und F2 ist ein Doppelpunkt der Kurve, er wird somit zweimal durchlaufen. Die beiden Tangenten in ihm schneiden die Verbindungsgerade von F1 und F2 in einem Winkel von 45°. Die Lemniskate ist die geometrisch am Kreis invertierte Kurve einer gleichseitigen Hyperbel. Der Parameter a ist der Abstand zwischen Koordinatenursprung und den beiden definierenden Punkten F1 und F2. Die Strecke von F1 zu F2 hat daher die Länge 2a. Es gilt: F1P·F2P = a².
 
Die Extremwerte einer Kurve dieser Art befinden sich in P_E (±aÖ3 | ±a/2).
Krümmungsradius: r = 2a²/(3r)
Fläche einer Schleife: A = a²
 
Sachverhalte zu diesem Thema können Sie in diesem Unterprogramm analysieren.
 

Führen Sie Folgendes durch, um Untersuchungen mit Lemniskaten durchzuführen:

1. Stellen Sie den Wert für Funktionsparameter a durch die Positionierung des Rollbalkens Parameter a ein.
    
2. Soll eine Analyse mit der Kurve durchgeführt werden, so aktivieren Sie das Kontrollkästchen Analyse und legen durch eine Bedienung des Rollbalkens Winkel Phi die entsprechende Position des Kurvenpunkts P fest.
    
3. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Simulation wieder durch eine Bedienung der Schaltfläche Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte beschriften: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Anzeige der Koordinaten markanter Punkte ein-/ausschalten

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Funktionen in Parameterform
Funktionen in Polarform
Darstellung implizit definierter Funktionen
   
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Analyse, positionieren Sie Rollbalken Parameter a auf den Wert 8 und Rollbalken Winkel Phi auf den Wert 20, so stellt das Programm die Lemniskate dar, welche durch die Gleichung
 
(x²+y²)² - 2·8²(x²-y²) = 0
 
bzw.
 

 
über einen Winkelwertebereich von -180° £ f £ 180° beschrieben wird.
 
Für die Koordinaten des Punkts P der Kurve (beim Winkelwert 20°) gibt das Programm aus: P (9,518 / 3,255)
 
Markante Punkte der Kurve ermittelt das Programm mit:
 
Hochpunkt H1 (-6,928 / 4)
Hochpunkt H2 (6,928 / 4)
 
Tiefpunkt T1 (-6,928 / -4)
Tiefpunkt T2 (6,928 / -4)
 
Scheitelpunkt S1 (-11,314 / 0)
Scheitelpunkt S2 (11,314 / 0)
 
Punkt F1 (-8 / 0)
Punkt F2 (8 / 0)
 
Für die Fläche einer Schleife wird ausgegeben: A = 64 FE
 
Durch eine Beibehaltung des eingestellten Werts für Parameter a kann bei einer Veränderung der Position des Rollbalkens Winkel Phi festgestellt werden, dass stets gilt: F1P·F2P = a². 

 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Lemniskate zu finden.

 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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