MathProf - Kugeldreieck - Eulersches Kugeldreieck - Sphärisch

Modul Koordinatensysteme - Kugeldreieck

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Mit dem Unterprogramm [Geometrie] - [Sonstiges (3D)] - Koordinatensysteme - Kugeldreieck können Untersuchungen bzgl. räumlicher Koordinatentransformationen, sowie zum Eulerschen Kugeldreieck durchgeführt werden.

 

 

 
Durch eine Wahl des entsprechenden Registerblatts wählen Sie das Fachthemengebiet, mit welchem Untersuchungen durchzuführen sind. Es stehen zur Verfügung:
 

• Zylinderkoordinaten
• Kugelkoordinaten
• Eulersches Kugeldreieck

Zylinder- und Kugelkoordinaten werden maßgeblich bei Berechnungen krummliniger Flächen verwendet, kartesische Koordinaten hingegen finden Anwendung in der analytischen Geometrie des Raumes und der Ebene. Untersuchungen mit Eulerschen Kugeldreiecken werden u.a. in der sphärischen Astronomie und der Geographie angewandt.  
     
Bei Berechnungen mit Zylinderkoordinaten werden nachfolgend gezeigte Zusammenhänge zugrunde gelegt:
 

Umrechnung von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten:
 

 
Umrechnung kartesischer Koordinaten in Zylinderkoordinaten:
 

   

 
Berechnungen, sowie grafische Analysen zu diesem Fachthema können Sie durchführen, wenn Sie wie nachfolgend beschrieben vorgehen.
 

1. Wählen Sie das Registerblatt Koordinatensysteme.
    
2. Bedienen Sie ggf. die Schaltfläche Löschen.
    
3. Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag für die gewünschte Umrechungsform (Kartes. Koordinaten -> Zylinderkoord. oder Zylinderkoordinaten -> Kartes. Koord.).
    
4. Geben Sie in die zur Verfügung stehenden Felder die Koordinatenwerte ein. Winkelwerte sind stets im Gradmaß festzulegen.
    
5. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die numerisch ermittelten Ergebnisse ausgegeben.
    
6. Um sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Zylinderkoordinaten und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen (in Felder eingegebene Werte werden bei Ausgabe der grafischen Darstellung nicht berücksichtigt).
    
7. Bedienen Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken r, j und h um die entsprechenden Parameter zu verändern.
   
   Das Programm positioniert den dargestellten Zeiger an die Position, welche durch die eingestellten Koordinatenwerte definiert wurde und gibt die räumlichen Ortskoordinaten des Punktes P aus, welcher hierdurch beschrieben wird.

     
Bei Berechnungen mit Kugelkoordinaten werden nachfolgend gezeigte Zusammenhänge zugrunde gelegt:
 

 
Umrechnung von sphärischen Koordinaten in kartesische Koordinaten:
 

 
Umrechnung kartesischer Koordinaten in sphärische Koordinaten:
 

   

 
Um Berechnungen zu diesem Themengebiet durchführen zu lassen und Sachverhalte zu erörtern, führen Sie Folgendes aus.
 

1. Wählen Sie das Registerblatt Koordinatensysteme.
    
2. Bedienen Sie ggf. die Schaltfläche Löschen.
    
3. Selektieren Sie aus der aufklappbaren Auswahlbox den Eintrag für die gewünschte Umrechungsform (Kartes. Koordinaten -> Kugelkoord. oder Kugelkoordinaten -> Kartes. Koord.).
    
4. Geben Sie in die zur Verfügung stehenden Felder die Koordinatenwerte ein. Winkelwerte sind stets im Gradmaß festzulegen.
    
5. Nach einem Klick auf die Schaltfläche Berechnen werden die numerisch ermittelten Ergebnisse ausgegeben.
    
6. Um sich Zusammenhänge grafisch zu veranschaulichen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Kugelkoordinaten und bedienen hierauf die Schaltfläche Darstellen (in Felder eingegebene Werte werden bei Ausgabe der grafischen Darstellung nicht berücksichtigt).
    
7. Bedienen Sie die zur Verfügung stehenden Rollbalken r, j und t, um die entsprechenden Parameter zu verändern.
   
   Das Programm positioniert den dargestellten Zeiger an die Position, welche durch die eingestellten Koordinatenwerte definiert wurde und gibt die räumlichen Ortskoordinaten des Punktes P aus, welcher hierdurch beschrieben wird.

    

 

Ein Kugeldreieck, oder sphärisches Dreieck, ist in der sphärischen Geometrie ein Teil einer Kugeloberfläche, welcher von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Als Ecken des Kugeldreiecks werden die Punkte (A, B und C) bezeichnet, in denen je zwei dieser Großkreise sich schneiden.
 
Meist wird der Begriff des Kugeldreiecks auf Eulersche Kugeldreiecke eingeschränkt, d.h. auf Kugeldreiecke, in denen jeder Winkel kleiner als 180° ist und daraus folgend jede einzelne Seite kleiner als 180° (bzw. r·π) ist. Ohne diese Einschränkung gäbe es zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche, die nicht alle auf einem gemeinsamen Großkreis liegen, mehrere Kugeldreiecke.
 
Für die Summe der Seitenlängen dessen gilt: 0° < a + b + c < 360°
Für die Winkelsumme eines Eulerschen Kugeldreiecks gilt: 180° < a + b + g < 540°
 
In diesem Unterprogramm können Berechnungen mit dem Eulerschen Kugeldreieck durchgeführt werden, wenn einer der nachfolgend aufgeführten Fälle zutrifft:
 

• 2 Seiten sind bekannt
• 3 Winkel sind bekannt
• 1 Seite und die anliegenden Winkel sind bekannt
• 2 Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel sind bekannt
• 2 Winkel und 1 Seite, die einem der Winkel gegenüberliegt, sind bekannt
• 2 Seiten und 1 Winkel, der einer Seite gegenüberliegt, sind bekannt

   

 
Untersuchungen zum Eulerschen Kugeldreieck können Sie durchführen, indem Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie das Registerblatt Eulersches Kugeldreieck.
    
2. Geben Sie die Werte dreier der o.a. Größen in die entsprechenden Felder ein und lassen Sie alle anderen Felder leer. Werte für Seiten und Winkel sind stets im Gradmaß einzugeben. Bedienen Sie ggf. zuvor die Taste Löschen.
    
3. Führen Sie einen Klick auf die Schaltfläche Berechnen aus. Existiert eine Lösung, so werden die Ergebnisse ausgegeben.
    
4. Um sich das durch die drei Großkreise begrenzte Dreieck ABC grafisch ausgeben zu lassen, gehen Sie folgendermaßen vor:
   
   Bestimmen Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Kugel darstellen, ob das Programm die Kugel darstellen soll, oder nicht. Durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Kreise farbig legen Sie fest, ob Großkreise farblich verschieden markiert werden sollen, oder ob hierfür eine Einheitsfarbe verwendet werden soll.
   
   Existieren zwei Lösungen für das gegebene Problem, so können Sie durch die Aktivierung des Kontrollkästchens 2. Dreieck darstellen festlegen, welche der ermittelten Lösungen grafisch ausgegeben werden soll.
   
   Klicken Sie hierauf auf die Schaltfläche Darstellen, so stellt das Programm das entsprechende Dreieck auf einer Kugel mit dem Radius r = 1 dar. Auch die Berechnung des Flächeninhalts erfolgt für diesen Wert.
    
5. Durch eine Positionierung der Rollbalken r, j und t kann eines der beiden existierenden Dreiecke auf der Kugel bewegt werden.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   
Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration.
   
Entfernungen auf der Erde (3D)
 
Beispiel 1 - Umwandlung kartesischer Koordinaten in Zylinderkoordinaten:

Gegeben seien die kartesischen Koordinaten eines Punktes im Raum, mit:
 
X = 2, Y = 30 und Z = 20
 
Es gilt, diese in Zylinderkoordinaten umwandeln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Selektion des Eintrags Kartes. Koordinaten -> Zylinderkoord. aus der Auswahlbox auf dem Registerblatt Koordinatensysteme und der Eingabe der o.a. Werte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:
 

Kartesische Koordinaten	Zylinderkoordinaten
X = 2	r = 30,066°
Y = 30	j = 56,3099°
Z = 20	z = 20

Beispiel 2 - Umwandlung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Gegeben seien die Kugelkoordinaten eines Punktes im Raum, mit:
 
r = 2,  j = 30°  und t  = 20°
 
Diese sind in kartesische Koordinaten umzuwandeln.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Selektion des Eintrags Kugelkoordinaten -> Kartes. Koord. aus der Auswahlbox auf dem Registerblatt Koordinatensysteme und der Eingabe der o.a. Werte in die dafür zur Verfügung stehenden Felder, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen aus:
 

Kugelkoordinaten	Kartesische Koordinaten
r = 2	x = 0,93969
j = 30°	y = 0,34202
t = 20°	z = 1,73205

Beispiel 3 - Eulersches Kugeldreieck:

Es sind die Eigenschaften eines Eulerschen Kugeldreiecks zu ermitteln, von welchem bekannt sind:
 
Seite a = 70°
Winkel b = 65°
Seite c = 50°
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Nach einer Wahl des Registerblatts Eulersches Kugeldreieck, der Eingabe der Werte a = 70, b = 65 und c = 50 in die dafür vorgesehenen Felder, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die Eigenschaften des Eulerschen Kugeldreiecks ABC aus:
 
Seitenlänge a = 70°
Seitenlänge b = 58,395°
Seitenlänge c = 50°
 
Innenwinkel a = 89,547°
Innenwinkel b = 65°
Innenwinkel g = 54,605°
 
Sphärischer Exzess: 26,152°
Sphärischer Defekt: 181,605°
 
Flächeninhalt des Dreiecks ABC bei Kugelradius r = 1: 0,509 FE
 
Nach einem Klick auf die Schaltfläche Darstellen wird für die Koordinatenwerte der, das Eulersche Dreieck begrenzenden, Punkte A, B und C ausgegeben:
 
A (0,852 / 0 / 0,524)
B (0,544 / 0,766 / 0,342)
C (0 / 0 / 1)
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kugeldreieck zu finden.
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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