MathProf - Kubische Funktion - Kubische Gleichung - X^3 - Lösen

   

Themen und Stichworte zu diesem Modul: Kubische Funktion - Funktionen 3. Grades - Kubische Gleichung - Kubische Gleichungen - Plotten - Nullstellen berechnen von Gleichungen dritten Grades - Kubische Gleichungen lösen - Kubische Parabel - Kubische Funktion zeichnen - Nullstellen einer kubischen Funktion - Parabel dritter Ordnung - Kubische Funktion bestimmen - Nullstellenberechnung - Kubisches Glied - Quadratisches Glied - Lineares Glied - Absolutglied - Funktionsgleichung 3. Grades - Parameter - Grafisch - Koeffizienten - Nullstellen - Extrema - Extrempunkt - Hochpunkt - Tiefpunkt - Wendepunkt - Kubisches Polynom - Glied - Lineares Glied - Absolutes Glied - Erklärung - Einfach erklärt - Welche - Welcher - Welches - Wodurch - Beschreibung - Definition - Verschieben - Bestimmen - Extrempunkte - Ableiten - Ableitung - Graph - Bild - Grafik - Verlauf - Ablesen - Rechner - Berechnen - Tabelle - Formel - Verändern - Veränderung - Ändern - Änderung - Lösen - Lösung - Arbeitsblatt - Arbeitsblätter - Mathe - Mathematik - Unterrichtsmaterial - Unterrichtsmaterialien - Lernen - Erlernen - Bedeutung - Was bedeutet - Übungsaufgaben - Üben - Übungen - Lösungen - Aufgaben - Abituraufgaben - Abiturvorbereitung - Abitur - Abi - Leistungskurs - LK - Klassenarbeit - Klassenarbeiten - Anwendungsaufgaben - Einführung - Diskriminante - Herleitung - Beweis - Normalform - Werte - Zeichnen - Plotter - Plotten - Begriff - Begriffe - Darstellen - Darstellung - Funktionswerte - Lösungsformel - Cardano - Cardanische Formel - Cardanische Lösungsformel - Wertetabelle - Grafische Darstellung - Wendepunkt - Lösungen kubischer Gleichungen - Punkte - Eigenschaften kubischer Funktionen

      

Modul Kubische Funktion in allgemeiner Form

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Mit Hilfe des Unterprogramms [Analysis] - [Parameteranalyse spez. Funktionen] - Kubische Funktion in allgemeiner Form können Untersuchungen mit kubischen Funktionen in allgemeiner Form durchgeführt werden.

 

Als kubische Funktion wird eine ganzrationale Funktion 3. Grades der Form  f(x) = ax³ + bx² + cx + d bezeichnet. Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades und somit algebraische Gleichungen der Form x³ + ax² + bx + c = 0.
 
In diesem Programmmodul wird die Untersuchung von kubischen Funktionen ermöglicht, die in folgender Form definiert sind:

 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

 
Eine Funktion dieser Art trägt auch die Bezeichnung Parabel dritter Ordnung, kubische Parabel oder Parabel dritten Grades.

Die einzelnen Koeffizienten einer Funktion 3. Grades besitzen die folgenden Bezeichnungen:

a: Kubisches Glied
b: Quadratisches Glied
c: Lineares Glied
d: Absolutes Glied
 

Mit den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken können die Parameter a, b, c und d der Funktion variiert werden. Das Programm ermittelt zudem die Nullstellen, das Extremum (Hochpunkt oder Tiefpunkt) sowie den Wendepunkt der dargestellten Funktion und ermöglicht eine Einblendung derer 1. sowie 2. Ableitung. Die Koordinatenwerte eines Punktes einer derartigen Funktion lassen sich durch die entsprechende Positionierung des Mauszeigers ablesen.

Die Funktionswerte einer dargestellten Kurve können in einer Tabelle ausgegeben werden.
 
 

Eine kubische Gleichnung besitzt die nachfolgend gezeigte Normalform:
 
x³ + ax² + bx + c = 0

Liegt die kubische Gleichung in Normalform vor, so entscheidet die nachfolgend gezeigte Diskriminante D über die Art der existierenden Lösungen.

Die Diskriminante einer kubischen Gleichung berechnet sich wie folgt:



mit



und



D > 0: Eine reelle und zwei komplexe Lösungen
D = 0: Drei reelle Lösungen (darunter eine doppelte Lösung)
D < 0: Drei reelle Lösungen
  

Eine Formel zur Lösung kubischer Gleichungen oder einer Gleichung dritten Grades ist die Cardanische Formel.

Sei x³+px+q = 0 eine kubische Gleichung in reduzierter Form und es gelte q²/4+p³/27 ≥ 0, dann ist



eine Lösung dieser Gleichung.

Mit Hilfe der Cardanischen Lösungsformel lassen sich alle kubischen Gleichungen lösen, die in der reduzierten Form x³+px+q = 0 vorliegen:






 
mit:





Diskriminante D:


 
D > 0: Eine reelle Lösung und zwei konjugiert komplexe Lösungen
D = 0: Drei reelle Lösungen (zwei davon zusammenfallend)
D < 0: Drei reelle Lösungen (trigonometrisch errechenbar - siehe nachfolgende Formeln)

Lösungen für den Fall D < 0:







 

Darstellung

 
Eine Analyse der Zusammenhänge bei der Darstellung von kubischen Funktionen (Parabeln dritter Ordnung) können Sie durchführen indem Sie Folgendes durchführen:
 

1. Verändern Sie die entsprechenden Parameter a, b, c und d der Funktion durch die Bedienung der zur Verfügung stehenden Rollbalken Parameter a, Parameter b, Parameter c und Parameter d.
    
2. Legen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung der Kontrollkästchen 1. Ableitung bzw. 2. Ableitung fest, ob die Darstellung der 1. Ableitung bzw. der 2. Ableitung der Funktion erfolgen soll.
    

3. Wählen Sie durch die Aktivierung/Deaktivierung des Kontrollkästchens Kurvendiskussion, ob eine Kurvendiskussion mit dieser Funktion durchgeführt werden soll.
    

4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. den Wert für die zu verwendende Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Bei der Durchführung einer Kurvendiskussion werden angezeigt:
 

• Nullstellen der dargestellten Funktion (N: Nullstelle)

• Extrema (Extremstellen) der dargestellten Funktion (H: Hochpunkt ; T: Tiefpunkt)

• Wendepunkte (Wendestellen) der dargestellten Funktion (W: Wendepunkt bzw. Wendestelle)

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).

Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Darstellung der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten
• P beschriften: Anzeige der Koordinatenwerte der durch Kurvendiskussion ermittelten Punkte ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Mathematische Funktionen I

Kubische Funktionen in spezieller Form

Kurvendiskussion

 

 

Werden den Parametern der Funktionsgleichung durch eine Positionierung der entsprechenden Rollbalken die Werte a = 0,5, b = -2, c = -0,7 und d = 5 zugewiesen, so ermittelt das Programm für die Eigenschaften der dargestellten Funktion 0,5·x³ - 2·x² -0,7·x + 5 Folgendes:

 

Die Funktion besitzt reelle Nullstellen in den Punkten: N1 (-1,484 / 0), N2 (3,625 / 0) und N3 (1,859 / 0).

 

Ferner verfügt sie über einen Hochpunkt bei H (-0,165 / 5,0569), einen Tiefpunkt bei T (2,831 / -1,666) sowie einen Wendepunkt bei W (1,333 / 1,696).
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter Wikipedia - Kubische Funktion sowie unter Wikipedia - Kubische Gleichung zu finden.
 

 

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kubische Gleichungen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

  

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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