MathProf - Kreise - Punkte - Kreisberechnung - Vektorgleichung

Modul Kreis - Punkt

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Das Modul [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Punkt bietet die Möglichkeit Untersuchungen mit Kreisen und Punkten in der Ebene durchzuführen.

 

Eingabefenster - Beispiel 1

 

Eingabefenster - Beispiel 2

Der Kreis ist die Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt dieser Ebene den gleichen Abstand besitzen. Dieser feste Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Jede Strecke, welche vom Kreismittelpunkt ausgeht und zu einem Punkt der Kreisline verläuft heißt Radius. Dieses Modul ermöglicht die Durchführung verschiedene Formen der Kreisberechnung mit unterschiedlichen Formen.

 
Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen (Kreisgleichungen) definiert werden:

1. Kreisgleichung in Mittelpunktform (allgemeine Kreisgleichung):

Die Kreisgleichung in Mittelpunktform (Allgemeine Kreisgleichung) ist durch die Gleichnung (x - x_m)² + (y - y_m)² = r² definiert. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt x_m;y_m sowie dem Radius r und kann mit Hilfe des Satz des Pythagoras hergeleitet werden.

Hierbei sind:

r: Radius des Kreises
x_m,y_m: Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises


2. Kreis in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte):

Ein Kreis in 3-Punkte-Form wird durch den Verlauf seiner Begrenzungslinie durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3) bestimmt.


3. Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises:

Die vektorielle Form einer Kreisgleichung lautet:



Sie wird durch den Ortsvektor des Mittelpunktes x₀;y₀ des Kreises gebildet. Der Radius des Kreises trägt die Bezeichnung r.


4. Kreisgleichung in Koordinatenform:

Ein Kreis kann durch eine implizite Gleichung in nachfolgend gezeigter Form beschrieben werden:

x²+y²+a·x+b·y+c = 0

Hierbei sind:

a,b,c: Reellwertige Koeffizienten


5. Kreisgleichung in Parameterform (Parameterdarstellung):

Die Defintion eines Kreises in Parameterdarstellung besitzt die nachfolgend dargestellte Form:

x = r·cos(k)+x₀
y = r·sin(k)+y₀

Hierbei sind:

r: Radius des Kreises
x₀,y₀: Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises
k: Parameterwert (Winkel des Kreises) 0 ≤ k ≤ 2π


6. Scheitelgleichung des Kreises:

Die Scheitelgleichung eines Kreises lautet:

y² = 2·r·x-x²

r: Radius des Kreises
   

 
Definition des Kreises:

Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte P(x|y) der Ebene, welche von einem festen Punkt M(x_m|y_m) einen konstanten Abstand r haben. M bezeichnet den Kreismittelpunkt, r den Radius des Kreises. Befindet sich der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung, so gilt für die Koordinaten eines Punktes auf der Kreislinie:

x_m = r·cos φ
y_m = r·sin φ

Eigenschaften des Kreises:

- Ein Kreis besitzt keine Ecken, sondern unendlich viele Seiten (Punkte der Kreislinie) sowie eine einzige Fläche
- Ein Kreis ist punktsymmetrisch zu seinem Ursprung
- Ein Kreis besitzt keine Innenwinkel
- Alle Linien die von einem Punkt des Kreises ausgehen und durch dessen Mittelpunkt zum gegenüberliegenden Punkt verlaufen, besitzen die gleiche Länge. Sie werden als Durchmesser bezeichnet

Formeln des Kreises (Kreisformeln):

Nachfolgend aufgeführt sind einige Formeln, welche zur Berechnung der Werte entsprechender Größen eines Kreises relevant sind.

Durchmesser: d = 2·r
Fläche (Flächeninhalt): A = π·r² bzw. A = π·d²/4
Umfang (gestreckte Länge): u = 2·π·r

Mit:
r: Radius des Kreises
 
Kreisfläche (Querschnittsfläche oder Flächeninhalt eines Kreises): Der Flächeninhalt eines Kreises ist der Grenzwert der Flächeninhalte der ihm einbeschriebenen und umbeschriebenen regelmäßigen Vielecke. Seine Fläche ist proportional zum Quadrat der Länge seines Radius mit dem Proportionalitätsfaktor π. Er wird als Kreisfläche oder Querschnittsfläche eines Kreises bezeichnet.

Durchmesser: Als Durchmesser d eines Kreises wird der größtmögliche Abstand zweier Punkte auf dessen Kreislinie bezeichnet.

Radius: Der Radius r eines Kreises ist als Abstand des Kreismittelpunkts zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie definiert.

Allgemeine Kreisgleichung: Als allgemeine Kreisgleichung ist die Gleichung (x - x_m)² + (y - y_m)² = r² definiert. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt x_m;y_m sowie dem Radius r und kann mit Hilfe des Satz des Pythagoras hergeleitet werden.

Umfang (Kreisumfang): Der Begriff Umfang eines Kreises oder Kreisumfang beschreibt die gestreckte Länge der Begrenzungslinie eines Kreises.

Kreismittelpunkt (Mittelpunkt eines Kreises): Der Kreismittelpunkt oder Mittelpunkt eines Kreises ist derjenige Punkt, der sich in der Mitte eines Kreises befindet und von welchem alle anderen Punkte die sich auf der Kreislinie befinden, den gleichen Abstand besitzen.

Kreisflächenberechnung: Unter dem Begriff Kreisflächenberechnung wird die Durchführung der Berechnung einer Kreisfläche verstanden.
   

Berechnung und grafische Darstellung

 
Bei der Durchführung von Untersuchungen werden in diesem Modul u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:
 

• Wesentliche Eigenschaften eines Kreises
• Tangenten an einen Kreis, welche durch einen außerhalb des Kreises liegenden Punkt P verlaufen, sowie Koordinatenwerte der Berührpunkte
• Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten 
• Polare (Gerade durch Tangenten-Berührpunkte)

 

Bild 1

Bild 2

 
Die Praktizierung von Analysen zu diesem Themenbereich erfordert folgende Vorgehensweise:
 

1. Benutzen Sie die aufklappbare Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K festzulegen. Wird einer oberen sechs zur Verfügung stehenden Einträge gewählt, so können Analysen mit dem entsprechenden Kreis und einem Punkt durchgeführt werden. Bei der Selektion eines darunter angeordneten Eintrags, ermöglicht das Programm die alleinige Untersuchung des entsprechenden Kreises.
    
2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:
   
   Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für r²
   Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
   Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x₀ und y₀ des Mittelpunkts und Parameter r²
   Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
   Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x₀ und y₀
   Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
    
3. Stehen die Eingabefelder zur Definition der Koordinatenwerte für Punkt P zur Verfügung, so definieren Sie die Koordinatenwerte dieses Punktes in den rechtsseitig angeordneten Eingabefeldern.
    
4. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
    
5. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

 

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema der Mathematik. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im Mathe-Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.

Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit. 

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bedienformulare

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises in Tangenten-Berührpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
• Polare: Darstellung der Gerade durch Tangenten-Berührpunkte (falls vorhanden) ein-/ausschalten
• Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kreis – Kreis - Interaktiv Kreis - Punkt - Interaktiv Kreis - Gerade Kreis - Gerade - Interaktiv Kreis – Kreis

 

 
Beispiel 1:

Von einem Kreis sei bekannt, dass dieser durch die Gleichung (x-4)²+(y+5)² = 5² beschrieben werden kann. Es sind die Tangenten an diesen Kreis zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-8 / 8) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Mittelpunktform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x₀ = 4, y₀ = -5 und 25 für r² für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Mittelpunkt: M (4 / -5)
Radius (Kreisradius): r = 5
Fläche (Kreisfläche): A = 78,54 FE
Umfang (Kreisumfang bzw. gestreckte Länge): U = 31,416

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Tangente 1: Y = -2,024·X - 8,192
Tangente 2: Y = -0,598·X + 3,217
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

Normale 1: Y = 0,494·X - 6,976
Normale 2: Y = 1,673·X - 11,69
 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Berührungspunkt 1: B1 (-0,483 / -7,215)
Berührungspunkt 2: B2 (6,566 / -0,709)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 9,592

Gleichung der Polare: Y = 0,923·X - 6,769
 

Beispiel 2:

Ein Kreis wird durch die Gleichungen x = 6·cos(k)+3 und y = 6·sin(k)-4 in Parameterform beschrieben. Es gilt, die Tangenten an diesen Kreis ermitteln zu lassen, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (-4 / 3) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Parameterform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Werte x₀ = 3, y₀ = -4 sowie r = 6 für den Kreis, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen ermittelt das Programm:

 

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 3) ² + (Y + 4) ² = 6 ²

Mittelpunkt: M (3 / -4)
Radius (Kreisradius): r = 6
Fläche (Kreisfläche): A = 113,097 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 37,699

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Tangente 1: Y = -7,403·X - 26,614
Tangente 2: Y = -0,135·X + 2,46
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

Normale 1: Y = 0,135·X - 4,405
Normale 2: Y = 7,403·X - 26,21
 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Berührungspunkt 1: B1 (-2,946 / -4,803)
Berührungspunkt 2: B2 (3,803 / 1,946)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 9,545

Gleichung der Polare: Y = 1·X - 1,857
 

Beispiel 3:

Ein Kreis wird durch die Gleichung X² + Y² - 5·X + 2·Y + 3 = 0 beschrieben. Es gilt, die Eigenschaften des Kreises, sowie die Tangenten an diesen zu ermitteln, wenn diese durch den außerhalb des Kreises liegenden Punkt P (14 / 8) verlaufen.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Kreis in Koordinatenform - Punkt aus der Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Koeffizientenwerte a = -5, b = 2 und c = 3 für die Kreisgleichung, sowie einer Festlegung der Koordinatenwerte des Punkts P in den dafür vorgesehenen Felder und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 2,5)² + (Y + 1)² = 2,062²

Mittelpunkt: M (2,5 / -1)
Radius (Kreisradius): r = 2,062
Fläche (Kreisfläche): A = 13,352 FE
Umfang (Kreisumfang): U = 12,953

Für die Gleichungen der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Tangente 1: Y = 0,576·X - 0,061
Tangente 2: Y = 1,041·X - 6,58
 

Für die Gleichungen der Normalen des Kreises durch die Berührpunkte B1 und B2:

Normale 1: Y = -1,737·X + 3,342
Normale 2: Y = -0,96·X + 1,401

 

Für die Berührpunkte der Kreistangenten die durch Punkt P verlaufen:

Berührungspunkt 1: B1 (1,471 / 0,787)
Berührungspunkt 2: B2 (3,987 / -2,428)
 

Für die Länge der Sehne B1B2: 4,082

Gleichung der Polare: Y = -1,278·X + 2,667
 
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5
   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kreis
Wikipedia - Kreistangente
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Kreis - Punkt
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kreis-Punkt - Interaktiv

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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