MathProf - Kreis - Gerade - Schnittpunkte - Passante

Modul Kreis - Gerade

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Mit Hilfe des Moduls [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Gerade können Untersuchungen mit Kreisen und Geraden durchgeführt und hierbei geltende Zusammenhänge analysiert werden.

 

 
 

Jede Gerade, welche durch zwei Punkte der Kreislinie verläuft heißt Sekante. Der Abschnitt einer Sekante, welcher lediglich Punkte des Kreisinneren enthält, heißt Sehne. Die größtmögliche Sehne eines Kreises verläuft  durch dessen Mittelpunkt und heißt Durchmesser.

Geraden, welche lediglich einen Punkt gemeinsam haben mit der Kreislinie heißen Tangenten. Hat eine Gerade keinen gemeinsamen Punkt mit der Kreislinie, so heißt sie Passante.

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Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen (Kreisgleichungen) definiert werden:

1. Kreisgleichung in Mittelpunktform (allgemeine Kreisgleichung):

Die Kreisgleichung in Mittelpunktform (Allgemeine Kreisgleichung) ist durch die Gleichnung (x - x_m)² + (y - y_m)² = r² definiert. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt x_m;y_m sowie dem Radius r und kann mit Hilfe des Satz des Pythagoras hergeleitet werden.

Hierbei sind:

r: Radius des Kreises
x_m,y_m: Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises


2. Kreis in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte):

Ein Kreis in 3-Punkte-Form wird durch den Verlauf seiner Begrenzungslinie durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3) bestimmt.


3. Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises:

Die vektorielle Form einer Kreisgleichung lautet:



Sie wird durch den Ortsvektor des Mittelpunktes x₀;y₀ des Kreises gebildet. Der Radius des Kreises trägt die Bezeichnung r.


4. Kreisgleichung in Koordinatenform:

Ein Kreis kann durch eine implizite Gleichung in nachfolgend gezeigter Form beschrieben werden:

x²+y²+a·x+b·y+c = 0

Hierbei sind:

a,b,c: Reellwertige Koeffizienten


5. Kreisgleichung in Parameterform (Parameterdarstellung):

Die Defintion eines Kreises in Parameterdarstellung besitzt die nachfolgend dargestellte Form:

x = r·cos(k)+x₀
y = r·sin(k)+y₀

Hierbei sind:

r: Radius des Kreises
x₀,y₀: Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises
k: Parameterwert (Winkel des Kreises) 0 ≤ k ≤ 2π


6. Scheitelgleichung des Kreises:

Die Scheitelgleichung eines Kreises lautet:

y² = 2·r·x-x²

r: Radius des Kreises

 

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Geraden können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden (Geradengleichungen):

1. Gerade in Steigungs-Form:

y = m·x+b

m: Steigung der Gerade
b: Achsenabschnitt der Gerade

2. Gerade in Zwei-Punkte-Form:


x₁,y₁: Koordinatenwerte eines Punktes P1 der Gerade
x₂,y₂: Koordinatenwerte eines Punktes P2 der Gerade

3. Gerade in Hessescher Normalenform:

x·cos(β)+y·sin(β) = p

β: Winkel den die Gerade mit der Abszisse einschließt
p: Reellwertiger Parameter

4. Gerade in allgemeiner Form:

a·x + b·y + c = 0

a,b,c: Reellwertige Koeffizienten
 

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Bei der Durchführung von Untersuchungen in diesem Modul werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

• Wesentliche Eigenschaften des Kreises
• Schnittpunkte des Kreises und der Geraden
• Tangenten und Normalen des Kreises in Schnittpunkten mit Gerade

 

Berechnung und Darstellung

 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen mit Kreisen und Geraden in diesem Modul durchzuführen:
 

1. Benutzen Sie die linksseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K auszuwählen.
    
2. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises K in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein:
   
   Kreis in Mittelpunktform: Koordinatenwerte des Mittelpunkts M und Wert für r²
   Kreis in 3-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1, P2 und P3
   Kreis in vektorieller Form: Koordinatenwerte x₀ und y₀ des Mittelpunkts und Parameter r²
   Kreis in Koordinatenform: Werte der Gleichungskoeffizienten a, b und c
   Kreis in Parameterform: Radius r, sowie Koordinatenwerte für x₀ und y₀
   Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
    
3. Verwenden Sie die rechtsseitig positionierte Auswahlbox, um die Definitionsform der Gerade g auszuwählen.
    
4. Geben Sie die Werte für die entsprechenden Größen der Geraden in die dafür zur Verfügung stehenden Felder ein.
   
   Gerade in Steigungsform: Steigung m und Koeffizient b
   Gerade in Hessescher Normalenform: Winkel β und Koeffizient p
   Gerade in Achsenabschnittsform: Achsenabschnitte a und b 
   Gerade in Allgemeiner Form: Koeffizienten a, b und c 
   Gerade in Zwei-Punkte-Form: Koordinatenwerte der Punkte P1 und P2
    
5. Klicken Sie auf die Schaltfläche Berechnen, so gibt das Programm die ermittelten Ergebnisse aus.
    
6. Um sich die Zusammenhänge grafisch darstellen zu lassen, bedienen Sie die Schaltfläche Darstellen.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Bedienformular

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kreises in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen des Kreises in Schnittpunkten (falls vorhanden) ein-/ausschalten
• Geradenpkt.: Darstellung festgelegter Geradenpunkte (nur bei Gerade in Zwei-Punkte-Form) ein-/ausschalten
• Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Beschriftung: Beschriftung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten

  

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kreis – Kreis - Interaktiv Kreis - Punkt Kreis - Punkt - Interaktiv Kreis - Gerade - Interaktiv Kreis – Kreis

 

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

 

 
Beispiel 1:

Von einem Kreis K sei bekannt, dass dieser durch die Gleichung X² + Y² - 2·X - 4·Y + 1 = 0 beschrieben werden kann. Es gilt zu untersuchen, ob dieser eine Gerade, welche in Hessescher Normalenfom mit X·COS(30°)+Y·SIN(30°)-1 = 0 gegeben ist, schneidet.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag Koordinatenform aus der linksseitig positionierten Auswahlbox, sowie den Eintrag Hessesche Normalenform aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Parameterwerte a = -2, b = -4 und c = 1 für den Kreis, sowie der Eingabe der Werte für β = 30 und p = 1 für die Gerade und einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen, gibt das Programm aus:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Def. Gleichung: X² + Y² - 2·X - 4·Y + 1 = 0
Gleichung in Mittelpunktform: (X - 1)² + (Y - 2)² = 2²

Mittelpunkt: M (1 / 2)
Kreisradius: r = 2
Kreisfläche: A = 12,566 FE
Kreisumfang: U = 12,566

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

 

Def. Gleichung: X·COS(30°)+Y·SIN(30°)-1 = 0

Gleichung in Steigungsform: Y = -1,732·X + 2

Nullstelle: N (1,155 / 0)

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:
 

Schnittpunkt 1: S1 (-0,651 / 3,128)
Schnittpunkt 2: S2 (1,151 / 0,006)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 3,606
 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:

Tangente 1: Y = 1,464·X + 4,082
Tangente 2: Y = 0,076·X - 0,082
 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:

Normale 1: Y = -0,683·X + 2,683
Normale 2: Y = -13,173·X + 15,173
 

Beispiel 2:

Ein Kreis sei durch die drei auf seiner Peripherie liegende Punkte A (-3 / 1), B (3 / 4) und C (2 / -5) definiert. Es sind die Schnittpunkte dieses Kreises mit einer Geraden, welche durch die Gleichung -3·X + 4·Y + 1 = 0 beschrieben wird, zu ermitteln.

Vorgehensweise und Lösung:

Wählen Sie den Eintrag 3-Punkte-Form aus der linksseitig positionierten Auswahlbox, sowie den Eintrag Allgemeine Form aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox. Nach einer Eingabe der Koordinatenwerte für die Punkte A, B und C für den Kreis, sowie der Eingabe der Werte a = -3, b = 4 und c = 1 für die Koeffizienten der Geradengleichung, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 1,441)² + (Y + 0,382)² = 4,651²

Mittelpunkt: M (1,441 / -0,382)
Kreisradius: r = 4,651
Kreisfläche: A = 67,968 FE
Kreisumfang: U = 29,225

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

 

Def. Gleichung: -3·X + 4·Y + 1 = 0

Gleichung in Steigungsform: Y = 0,75·X - 0,25

Nullstelle: N (0,333 / 0)

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:
 

Schnittpunkt 1: S1 (4,498 / 3,124)
Schnittpunkt 2: S2 (-2,78 / -2,335)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 9,098
 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:

Tangente 1: Y = -0,872·X + 7,046
Tangente 2: Y = -2,161·X - 8,344
 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:

 

Normale 1: Y = 1,147·X - 2,034
Normale 2: Y = 0,463·X - 1,049
 

Beispiel 3:
 

Gegeben sei ein Kreis, welcher in vektorieller Form beschrieben werden kann mit:

 

Zudem sei eine Gerade in Steigungs-Form gegeben, welche durch die Gleichung Y = 2·X + 4 definiert ist. Es gilt zu analysieren, in welchen Punkten sich Kreis und Gerade schneiden.

Vorgehensweise und Lösung:

Selektieren Sie aus der linksseitig positionierten Auswahlbox den Eintrag Vektorielle Form und aus der rechtsseitig angeordneten Auswahlbox den Eintrag Steigungsform. Nach einer Eingabe der Werte der vektoriellen Größen x₀ = 3, y₀ = -3 und r² = 49 für den Kreis, sowie der Eingabe der Werte m = 2 und b = 4 für die Gerade, bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen. Das Programm ermittelt:

Für die Eigenschaften des Kreises:

 

Gleichung in Mittelpunktform: (X - 3)² + (Y + 3)² = 7²

Mittelpunkt: M (3 / -3)
Kreisradius: r = 7
Kreisläche: A = 153,938 FE
Kreisumfang: U = 43,982

 

Für die Eigenschaften der Gerade:

 

Def. Gleichung: Y = 2·X + 4

Nullstelle: N (-2 / 0)

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:
 

Schnittpunkt 1: S1 (-0,456 / 3,087)
Schnittpunkt 2: S2 (-3,944 / -3,887)

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 7,797
 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:

Tangente 1: Y = 0,568·X + 3,346
Tangente 2: Y = -7,827·X - 34,754
 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:

 

Normale 1: Y = -1,761·X + 2,283
Normale 2: Y = 0,128·X - 3,383
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

     
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
 

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kreis
Wikipedia - Geradengleichung

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Kreis - Gerade
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kreis - Punkt

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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