MathProf - Kreise - Geraden - Schnittpunkt - Normale - Gleichung

Modul Kreis - Gerade - Interaktiv

---

Mit Hilfe des Moduls [Geometrie] - [Kreis] - Kreis - Gerade - Interaktiv können Untersuchungen mit Kreisen und Geraden interaktiv durchgeführt und Zusammenhänge grafisch analysiert werden.

 

Kreise können in diesem Unterprogramm in einer der nachfolgend aufgeführten Formen (Kreisgleichungen) definiert werden:

1. Kreisgleichung in Mittelpunktform (allgemeine Kreisgleichung):

Die Kreisgleichung in Mittelpunktform (Allgemeine Kreisgleichung) ist durch die Gleichnung (x - x_m)² + (y - y_m)² = r² definiert. Sie beschreibt einen Kreis mit dem Mittelpunkt x_m;y_m sowie dem Radius r und kann mit Hilfe des Satz des Pythagoras hergeleitet werden.

Hierbei sind:

r: Radius des Kreises
x_m,y_m: Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises


2. Kreis in 3-Punkte-Form (Kreis durch 3 Punkte):

Ein Kreis in 3-Punkte-Form wird durch den Verlauf seiner Begrenzungslinie durch die drei Punkte P1 (x1;y1), P2 (x2;y2) und P3 (x3;y3) bestimmt.


3. Vektorielle Form (Vektorgleichung - Vektorform) des Kreises:

Die vektorielle Form einer Kreisgleichung lautet:



Sie wird durch den Ortsvektor des Mittelpunktes x₀;y₀ des Kreises gebildet. Der Radius des Kreises trägt die Bezeichnung r.


4. Kreisgleichung in Koordinatenform:

Ein Kreis kann durch eine implizite Gleichung in nachfolgend gezeigter Form beschrieben werden:

x²+y²+a·x+b·y+c = 0

Hierbei sind:

a,b,c: Reellwertige Koeffizienten


5. Kreisgleichung in Parameterform (Parameterdarstellung):

Die Defintion eines Kreises in Parameterdarstellung besitzt die nachfolgend dargestellte Form:

x = r·cos(k)+x₀
y = r·sin(k)+y₀

Hierbei sind:

r: Radius des Kreises
x₀,y₀: Koordinaten des Mittelpunkts des Kreises
k: Parameterwert (Winkel des Kreises) 0 ≤ k ≤ 2π


6. Scheitelgleichung des Kreises:

Die Scheitelgleichung eines Kreises lautet:

y² = 2·r·x-x²

r: Radius des Kreises

 

---

Geraden können in diesem Modul in einer der nachfolgend aufgeführten Formen definiert werden (Geradengleichungen):

1. Gerade in Steigungs-Form:

y = m·x+b

m: Steigung der Gerade
b: Achsenabschnitt der Gerade

2. Gerade in Zwei-Punkte-Form:


x₁,y₁: Koordinatenwerte eines Punktes P1 der Gerade
x₂,y₂: Koordinatenwerte eines Punktes P2 der Gerade

3. Gerade in Hessescher Normalenform:

x·cos(β)+y·sin(β) = p

β: Winkel den die Gerade mit der Abszisse einschließt
p: Reellwertiger Parameter

4. Gerade in allgemeiner Form:

a·x + b·y + c = 0

a,b,c: Reellwertige Koeffizienten

 

---

 

Bei der Durchführung von Untersuchungen in diesem Modul werden u.a. folgende Ergebnisse ermittelt und ausgegeben:

• Wesentliche Eigenschaften des Kreises
• Schnittpunkte des Kreises und der Geraden
• Tangenten und Normalen des Kreises in Schnittpunkten mit Gerade

 

 
Gehen Sie folgendermaßen vor, um Analysen mit Kreisen und Geraden interaktiv durchzuführen:
 

1. Benutzen Sie die linksseitig angeordnete Auswahlbox, um die Definitionsform des Kreises K auszuwählen (zur Verfügung stehen: Mittelpunktform, Vektorielle Form, 3-Punkte-Form, Koordinatenform, Parameterform, Scheitelgleichungsform).
    
2. Verwenden Sie die rechtsseitig angeordnete Auswahlbox, um die Art der Gerade g festzulegen, mit welcher Untersuchungen durchzuführen sind (zur Verfügung stehen: Steigungsform, 2-Punkte-Form, Hessesche Normalenform, Achsenabschnittsform, Allgemeine Form).
    
3. Stellen Sie hierauf, mit den zur Verfügung stehenden Schiebereglern (falls vorhanden), auf dem Bedienformular die Werte für die entsprechenden Größen des Kreises ein.
   
   Kreis in Mittelpunktform: Radius r; Kreis in vektorieller Form: Radius r; Kreis in Koordinatenform: Koeffizienten a, b und c; Kreis in Parameterform: Radius r; Kreis in Scheitelgleichungsform: Radius r
    
4. Sollen die Koordinatenwerte eines Geradenpunkts, oder eines Kreispunkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste nach links oder nach rechts.
    
5. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines Geradenpunkts, oder eines Kreispunkts exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
6. Um die Tangenten des Kreises in Schnittpunkten mit der Geraden darstellen zu lassen, aktivieren Sie das Kontrollkästchen Tangenten. Eine Darstellung der Normalen in diesen Punkten wird durch die Aktivierung des Kontrollkästchens Normalen erreicht.
    
7. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die Werte für Schrittweite, Verzögerung bzw. die Anzahl zu verwendender Winkelschritte einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:

• Punkte: Kennzeichnung markanter Punkte ein-/ausschalten
• Koord.: Koordinatenwertanzeige markanter Punkte ein-/ausschalten
• Füllen: Farbfüllung des Kreises ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kreis – Kreis - Interaktiv Kreis - Punkt Kreis - Punkt - Interaktiv Kreis - Gerade Kreis – Kreis

 

Achsenabschnittsform einer Geraden

Punkt-Richtungs-Form einer Geraden

Zwei-Punkte-Form einer Geraden

Hessesche Normalenform einer Geraden

Allgemeine Form einer Geraden

 

 

Beispiel 1:

 

Gegeben sei ein Kreis, welcher durch die drei auf seiner Peripherie liegenden Punkte A (-6 / 2), B (8 / 4) und C (-2 / -4) beschrieben wird. Um die Schnittpunkte dieses Kreises mit einer Geraden zu bestimmen, welche durch die Gleichung -2·X-3·Y+2 = 0 beschrieben wird, verfahren Sie wie nachfolgend geschildert.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Selektieren Sie aus der Auswahlbox für Kreise den Eintrag Drei-Punkte-Form und aus Auswahlbox für Geraden den Eintrag Allgemeine Form. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Punkte, geben Sie die entsprechenden Koordinatenwerte der Peripheriepunkte des Kreises in die dafür vorgesehenen Felder ein und bestätigen Sie mit Ok. Das Programm ermittelt daraufhin folgende Resultate:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Gleichung des Kreises in vektorieller Form:

 

 

Mittelpunkt: M (-4 / -2)

Radius: r = 6

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:

 

S1 (-5,7 / 4,467)

S2 (5,614 / -3,706)

 

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 13,598

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Tangenten und Normalen gibt das Programm aus:

 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Tangente 1: Y = 3,27·X+23,107

Tangente 2: Y = 0,828·X-7,724

 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Normale 1: Y = -0,306·X+2,724

Normale 2: Y = -1,208·X+3,704

 

Beispiel 2:

 

Um die Schnittpunkte eines Kreises, welcher durch die vektorielle Schreibweise

 

 

beschrieben wird, und einer Geraden in 2-Punkte-Form, die durch die Punkte P1 (-2 / -2) und P2 (11 / 7) verläuft, ermitteln zu lassen, führen Sie nachfolgend Geschildertes aus.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Selektieren Sie aus der Auswahlbox für Kreise den Eintrag Vektorielle Form und aus der Auswahlbox für Geraden den Eintrag Zwei-Punkte-Form. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Punkte, geben Sie die Koordinatenwerte des Mittelpunkts des Kreises M (5 / 4), sowie die Koordinatenwerte der Geradenpunkte P1 und P2 in die dafür vorgesehenen Felder ein und bestätigen Sie mit Ok. Positionieren Sie daraufhin den Rollbalken r auf den Wert r = 3, so ermittelt das Programm:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Mittelpunkt: M (5 / 4)

Radius: r = 3

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:

 

S1 (7,88 / 4,84)

S2 (3,2 / 1,6)

 

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 5,692

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Tangenten und Normalen gibt das Programm aus:

 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten:

 

Tangente 1: Y = -3,429·X+31,857

Tangente 2: Y = -0,75·X+4

 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten:

 

Normale 1: Y = 0,292·X+2,542

Normale 2: Y = 1,333·X-2,667

 

Beispiel 3:

 

Um die Schnittpunkte eines Kreises in Koordinatenform, welcher beschrieben wird durch die Gleichung

 

X² + Y² + 5·X - 10·Y - 5 = 0

 

und einer Geraden in Steigungs-Form, welche durch Punkt P (-10 / -4) verläuft und eine Steigung m = 1 besitzt, ermitteln zu lassen, gehen Sie wie nachfolgend geschildert vor.

 

Vorgehensweise und Lösung:

 

Selektieren Sie aus der Auswahlbox für Kreise den Eintrag Koordinatenform und aus der Auswahlbox für Geraden den Eintrag Steigungsform. Bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Punkte, geben Sie die Koordinatenwerte des Punkts P in die dafür vorgesehenen Felder ein und bestätigen Sie mit Ok. Positionieren Sie daraufhin die Rollbalken a, b, und c auf die Werte a = 5, b = -10 sowie c = -5, so ermittelt das Programm:

Für die Eigenschaften des Kreises:

Mittelpunkt: M (-2,5 / 5)

Radius: r = 6,021

 

Schnittpunkte des Kreises und der Geraden:

 

S1 (2,441 / 8,441)

S2 (-5,941 / 0,059)

 

Sehnenlänge des Kreisabschnitts S1S2: 11,853

 

Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Tangenten und Normalen gibt das Programm aus:

 

Gleichungen der Tangenten an den Kreis in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Tangente 1: Y = -1,436·X+11,946

Tangente 2: Y = -0,696·X-4,078

 

Gleichungen der Normalen des Kreises in den Schnittpunkten S1 und S2:

 

Normale 1: Y = 0,696·X+6,471

Normale 2: Y = 1,436·X+8,59
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kreis
Wikipedia - Geradengleichung

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kreis - Kreis

---

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

---