MathProf - Konforme Abbildung - Winkeltreue Abbildung - Ortskurven

 

Modul Konforme Abbildungen von Ortskurven

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Das Unterprogramm [Komplex] - Konforme Abbildungen von Ortskurven ermöglicht die Darstellung konform transformierter Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen.

 

Unter einer konformen Abbildung versteht man die Abbildung der z- in die w-Ebene mit Hilfe einer analytischen Funktion w = f(z) in allen Punkten z, in denen f'(z) ¹ 0 ist.
 
w = f(z) = u +iv, f'(z)  ¹  0

Die konforme Abbildung besitzt die folgende Haupteigenschaft:
 
Alle Linienelemente im Punkt z erfahren bei der Überführung in Linienelemente
im Punkt w dieselbe Streckung im Verhältnis s = |f'(z)|und dieselbe Drehung um den Winkel a = arg f'(z). Dadurch werden geometrische Gebilde in einem infinitesimalen Gebiet in ähnliche Figuren transformiert, behalten also ihre Form bei (Näheres siehe Fachliteratur).
 
Eine konforme Abbildung ist eine winkel- und orientierungstreue Abbildung. Die Winkeltreue konformer Abbildungen wird in der Technik praktisch ausgenutzt, um z.B. bei Strömungsfragen die für einfache Verhältnisse gefundenen Lösungen auf kompliziertere Verhältnisse zu übertragen.
 
In diesem Unterprogramm erfolgt die Transformation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen in konforme Abbildungen. Die z- wie auch die w-Ebene werden gemeinsam in einem Koordinatensystem dargestellt. Die analytische komplexe Funktion w = f(z), wie auch die Ortskurve, sind frei definierbar.
   
Kartesische Form:
 
z = f(k) = x(k) + iy(k)
 
Definitionsbeispiel:
 
z = f(k) = E^(1+2*PI*I*K)
 
Parameterform:
 

 
Definitionsbeispiel:
 

 
Polarform:
 
Ein Polarkoordinatensystem ist ein krummliniges Koordinatensystem. Die Koordinatenlinien, bei welchen die Koordinaten aus konzentrischen Kreisen um den Koordinatenursprung (Pol) und Strahlen, die vom Pol aus radial nach außen verlaufen, bestehen, beschreiben dies. Die Polarkoordinaten eines Punktes (in der Ebene) bestehen aus der Abstandskoordinate r und der Winkelkoordinate j. Die Definition einer Ortskurve in Polarform kann erfolgen mit:
 
f(r,j) = r·cos(j) + ir·sin(j)

bzw. mit r = f(j)

z = f(j)·cos(j) + if(j)·sin(j)
 
Das Programm verwendet für den Winkel j den Buchstabe K. Eine Ortskurve in Polarform kann somit beschrieben werden durch:
 
z = f(k)·cos(k) + if(k)·sin(k)
 
bzw.
 

 
Zu definieren ist im Eingabefeld die Funktion f(k).
 
Definitionsbeispiel:
 
Auszugeben ist in Polarform:
 
f(j) = 2·sin(j)  mit -π £ j £ π
 
Zu definieren ist:
 
2*sin(k)
 
Dargestellt wird (in kartesischer Form):
 
z = 2·sin(k)·cos(k) + i2·sin(k)·sin(k)

bzw.

z =  2·sin(j)·cos(j) + i2·sin(j)·sin(j)
   
Um Untersuchungen mit konformen Abbildungen von Ortskurven durchzuführen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Definieren Sie im Eingabefeld w = f(z,p) = den Term der komplexen Funktion gemäß den geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen.
    
2. Wählen Sie durch eine Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters, für welche Art von Ortskurven die Darstellung auszugeben ist. Es stehen zur Auswahl:
   
   Kartesisch: -> Kurve der Form: z = f(k,p) = x(k,p) + iy(k,p)
   Parameterform: -> Kurve der Form: x = Re f(k,p) und y = Im g(k,p)
   Polarform: -> Kurve der Form: z = f(k,p)·cos(k) + if(k,p)·sin(k)
    
3. Soll die Darstellung der konformen Abbildung einer Ortskurve ausgegeben werden, welche in kartesischer Form oder Polarform definiert wurde, so definieren Sie die Funktionsterme der Ortskurve in den Eingabefeldern mit den Bezeichnungen z1 = f(k,p) =, z2 = f(k,p) = bzw. z3 = f(k,p) =.
   
   Um sich die Darstellung der konformen Abbildung von einer in Parameterform definierten Ortskurve anzeigen zu lassen, definieren Sie die Funktionsterme der zu konformierenden Ortskurve in den zur Verfügung stehenden Eingabefeldern mit den Bezeichnungen x1 = Re f(k,p) =, y1 = Im g(k,p) =, x2 = Re f(k,p) =, y2 = Im g(k,p) = bzw. x3 = Re f(k,p) =, y3 = Im g(k,p) =.
    
4. Legen Sie in den Eingabefeldern Parameter k von k1 = und bis k2 = die zur Darstellung der entsprechenden Kurve zu verwendenden Wertebereiche für Funktionsparameter K fest (voreingestellt: -π £ k £ π). Standardwerte hierfür können Sie holen, indem Sie das entsprechende Eingabefeld fokussieren und die rechte Maustaste bedienen.
    
5. Bestimmen Sie durch die Wahl des Kontrollschalters Grob, Mittel, Fein, Sehr fein, mit welcher Auflösung die Darstellung ausgegeben werden soll (voreingestellt: mittel).
    
6. Soll lediglich eine Darstellung der Kurven erfolgen, so wählen Sie unter Auswahl den Kontrollschalter Standard. Möchten Sie eine Ortspunktanalyse mit Kurven durchführen, so aktivieren Sie den Kontrollschalter Punkt. Um eine Kurvenverlaufsanalyse zu ermöglichen, aktivieren Sie den Kontrollschalter Kurve zeichnen.
    
7. Legen Sie durch die Selektion des Eintrags Beide Kurven, Nur Ortskurve, Nur Konforme aus der Auswahlbox fest, ob die Ortskurve und die konforme Abbildung gemeinsam, nur die Ortskurve, oder nur die konforme Abbildung ausgegeben werden sollen.
    
8. Wurden alle Funktionsterme, gemäß den geltenden Syntaxregeln für komplexe Zahlen in den entsprechenden Eingabefeldern formuliert, so werden die Kurven nach Betätigen des Schalters Darstellen ausgegeben.
    
9. Wird eine Ortspunktanalyse durchgeführt, so benutzen Sie den Schieberegler Parameter K, um die Ortspunktkoordinaten der dargestellten Kurven in Abhängigkeit vom Funktionsparameter K ermitteln zu lassen.
    
   Wurde die Durchführung einer Kurvenverlaufsanalyse gewählt, so legen Sie den Wertebereich über welchen die Kurven auszugeben sind, durch die Positionierung des Rollbalkens Parameter k fest.
   
   Der Parameter K durchläuft in beiden Fällen den Wertebereich, welcher auf dem Eingabeformular, in den zu oberst angeordneten Feldern festgelegt wurde.
    
10. Enthält einer der definierten Funktionsterme das Einzelzeichen P, so legen Sie, wie unter Verwendung von Funktionsparametern beschrieben, nach einer Bedienung des Schalters Parameter P den zu durchlaufenden Wertebereich für diesen Funktionsparameter, sowie die zu verwendende Schrittweite, fest. Positionieren Sie hierauf den Schieberegler Parameter P, um den Einfluss des reellwertigen Parameters P zu untersuchen.
    
    Um eine automatisch ablaufende Parameterwertsimulation durchführen zu lassen, klicken Sie auf die Schaltfläche Simulation. Beendet werden kann die Ausführung dieser wieder durch eine erneute Betätigung derselben Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 
Um sich in Polarform definierte Kurven in einem Polarkoordinatensystem ausgeben zu lassen, wählen Sie bei der Darstellung dieser unter dem Menüpunkt Einstellungen den Eintrag Auflösung-Skalierungsart und aktivieren die Option Polarkoordinatensystem.
 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

   
Wurden Funktionsterme erstellt, von welchen mindestens einer das Einzelzeichen P zur Definition eines reellwertigen Funktionsparameters enthält, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung eines der nachfolgend gezeigten Bedienformulare zur Verfügung gestellt.
 

 

 
Enthält keiner der erstellten Funktionsterme das Einzelzeichen P zur Definition eines Funktionsparameters und wird eine Ortspunktanalyse oder eine Kurvenverlaufsanalyse durchgeführt, so wird bei der Ausgabe einer grafischen Darstellung das nachfolgend abgebildete Formular eingeblendet.
 


Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkt: Beschriftung von Ortspunkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige von Kurvenpunkten ein-/ausschalten
• Parameter k: Anzeige der Werte für Funktionsparameter K ein-/ausschalten

   
Um die Anzeige der Funktionsbibliothek ein- bzw. auszublenden steht der Menüpunkt Optionen - Funktionsbibliothek ausblenden bzw. Optionen - Funktionsbibliothek einblenden zur Verfügung. Diese Einstellung wird sitzungsübergreifend gespeichert.
   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Konforme Abbildung
Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen
   
Beispiel 1 - Kartesische Form:
 
Es gilt, die Transformation einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen durchführen zu lassen, welche durch den Funktionsterm z = f(k) = cos(k/2-i)·k über einen Parameterwertebereich -π £ k £ π beschrieben wird. Die die Abbildung beschreibende komplexe Funktion sei w = f(z) = z².
 
Vorgehensweise:
 
Definieren Sie den Term Z^2 im Eingabefeld w = f(z,p) = sowie den Term COS(K/2-I)*K im Eingabefeld z = f(k,p) = und aktivieren Sie den Kontrollschalter Kartesische Form.
 
Legen Sie den Wertebereich -π £ k £ π durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 2 - Parameterform:
 
Die Transformation einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen, welche durch die Terme
 
x = Re f(k) = 4·(cos(k-i)+sin(k))
y = Im g(k) = 4·sin(2·k-i-5)
 
beschrieben wird, ist durchzuführen. Der Parameterwertebereich der Kurve sei -π £ k £ π und die, die Abbildung beschreibende, komplexe Funktion sei w = f(z) = z/2.
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Parameterform und definieren Sie im Eingabefeld w = f(z,p) = den Term Z/2. Geben Sie hierauf die Terme 4*(COS(K-I)+SIN(K)) und 4*SIN(2*K-I-5) in die Felder x = Re f(k,p) = und y = Im g(k,p) = ein.
 
Legen Sie den Wertebereich -π £ k £ π durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und bedienen Sie danach die Schaltfläche Darstellen.
 
Beispiel 3 - Polarform:
 
Es ist die Transformation einer Ortskurve parameterhaltiger komplexer Zahlen durchführen zu lassen, welche in Polarform über einen Winkelwertebereich -π £ j £ π beschrieben wird, mit z = f(j) = 8·cos(2·j)³. Die die Abbildung beschreibende komplexe Funktion sei w = f(z) = sin(z/4).
 
Vorgehensweise:
 
Aktivieren Sie den Kontrollschalter Polarform, definieren Sie im Eingabefeld w = f(z,p) = den Term SIN(Z/4) und geben Sie in das Feld z = f(k,p) = die Zeichenfolge 8*COS(2*K)^3 ein (Parameter k beschreibt den Winkel j, siehe oben).
 
Legen Sie den Wertebereich -π £ k £ π durch die Eingabe der entsprechenden Zahlenwerte in die zugehörigen Felder mit den Bezeichnungen Parameter k von k1 = und bis k2 = fest (rechte Maustaste bedienen, wenn Eingabefeld fokussiert ist) und bedienen Sie hierauf die Schaltfläche Darstellen.
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2
 

Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6


Grafische Darstellung - Beispiel 7


Grafische Darstellung - Beispiel 8


Grafische Darstellung - Beispiel 9


Grafische Darstellung - Beispiel 10


Grafische Darstellung - Beispiel 11


Grafische Darstellung - Beispiel12


Grafische Darstellung - Beispiel13


Grafische Darstellung - Beispiel 14


Grafische Darstellung - Beispiel15

   
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Konforme Abbildung
Wikipedia - Komplexe Zahl
Wikipedia - Imaginäre Zahl
Wikipedia - Komplexwertige Funktion
  

 
 

Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Scharen von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Untersuchung der Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Integrale von Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Kurvendiskussion mit Kurven der Real- und Imaginärteile komplexer Funktionen - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die X-Achse (3D) - Rotation von Kurven der Re- und Im.-Teile kompl. Fkt. um die Y-Achse (3D) - Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Scharen von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Funktionsparameteranalyse mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Kurvendiskussion mit Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Integrale von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Re-Achse (3D) - Rotation von Ortskurven parameterhaltiger komplexer Zahlen um die Im-Achse (3D) - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante I - Höhenlinien - Flächenkontur komplexer Funktionen - Variante II - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Differenzialgleichungen komplexer Zahlen - Interaktiv - Vektorfelder von Funktionen komplexer Zahlen - Konforme Abbildung - Raumkurven komplexer Funktionen (3D) - Komplexe Funktionen (3D) - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Rechnen mit komplexen Zahlen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Multiplikation und Division komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Funktionen komplexer Zahlen - Komplexes Gleichungssystem
 

 

 

Startfenster des Unterprogramms Konforme Abbildungen von Ortskurven
 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Iterationen

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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