MathProf - Komponentendarstellung - Vektor - Skalare Multiplikation

 

Modul Komponentendarstellung

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Im Unterprogramm [Vektoralgebra] - [Grundlegendes (3D)] - Komponentendarstellung kann u.a. die Komponentendarstellung eines, durch zwei Punkte definierten, Vektors ermittelt werden.

 

1. Komponentendarstellung:

Bei der Komponentendarstellung erfolgt die Abbildung von Vektoren auf ein System von zueinander orthogonal positionierten Komponenten (Vektorkomponenten). Die Komponentendarstellung eines durch die Punkte P1 (x1,y1,z1) und P2 (x2,y2,z2) festgelegten Vektors erhält man mit:

 

Sie entspricht der Projektion eines Vektors auf die drei Koordinatenachsen.

Skalare Komponenten:


Vektorielle Komponenten:




2. Skalarmultiplikation:
 

Bei Durchführung der Skalarmultiplikation (auch als skalare Multiplikation bezeichnet) erfolgt die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, der aus einer reellen oder komplexen Zahl besteht. Es handelt sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor. Als Resultat ergibt sich wiederum ein Vektor. Besitzt der Skalar einen positiven Wert, so bleibt die Richtung des Vektors erhalten, ist sie hingegen negativ, so ändert kehrt sich seine Ausrichtung in die entgegengetzte Richtung um.

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar wird komponentenweise durchgeführt:

 

 

Der Betrag eines Vektors lässt sich mit Hilfe des Pythagoras ermitteln und entspricht der Länge des Vektors. Für ihn gilt:

 

 

Für die Richtungswinkel (Richtungskosinus) zwischen einem Vektor und den Koordinatenachsen gilt:

 

 

 

Der Richtungskosinus eines Vektors ist der Winkel zwischen dem Vektor und den drei Koordinatenachsen. Als Richtungswinkel wird der rechtsdrehend gemessene Winkel im rechtwinkligen ebenen Koordinatensystem bezeichnet.
 

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Untersuchungen zur Komponentendarstellung sowie zur Skalarmultiplikation von Vektoren können in diesem kleinen Programmmodul durchgeführt werden. Es stehen zur Verfügung:
 

• Komponentendarstellung eines Vektors

• Durchführung einer Skalarmultiplikation
  
   

  Screenshots

  
  
  Grafische Darstellung - Beispiel 1

  
  
  Grafische Darstellung - Beispiel 2
   

 
Mit Hilfe dieses Programms lassen sich unter anderem Grafiken für Arbeitsblätter zur nichtkommerziellen Nutzung für Unterrichtszwecke erstellen. Beachten Sie hierbei jedoch, dass jede Art gewerblicher Nutzung dieser Grafiken und Texte untersagt ist und dass Sie zur Verfielfältigung hiermit erstellter Arbeitsblätter und Unterrichtsmaterialien eine schriftliche Genehmigung des Autors (unseres Unternehmens) benötigen.

Diese kann von einem registrierten Kunden, der im Besitz einer gültigen Softwarelizenz für das entsprechende Programm ist, bei Bedarf unter der ausdrücklichen Schilderung des beabsichtigten Verfielfältigungszwecks sowie der Angabe der Anzahl zu verfielfältigender Exemplare für das entsprechende Arbeitsblatt unter der auf der Impressum-Seite dieses Angebots angegebenen Email-Adresse eingeholt werden. Es gelten unsere AGB.
 

  
Dieses Programm eignet sich neben seinem Einsatz als Berechnungs- bzw. Animationsprogramm zudem zum Lernen, zur Aneignung entsprechenden Fachwissens, zum Verstehen sowie zum Lösen verschiedener Aufgaben zum behandelten Fachthema. Durch seine einfache interaktive Handhabbarkeit bietet es die auch Möglichkeit der Durchführung unterschiedlicher Untersuchungen hierzu. Des Weiteren eignet es sich beim Üben dazu, um das Erlernte hinsichtlich praktizierter Übungen bzw. bearbeiteter Übungsaufgaben zu überprüfen und hierzu erworbenes Wissen festigen zu können.

Es kann sowohl zur Einführung in das entsprechende Fachthemengebiet, wie auch zur Erweiterung des bereits hierzu erlangten Fachwissens sowie als Unterstützung bei der Bearbeitung von Anwendungsaufgaben genutzt werden. Des Weiteren eignet es sich auch als Begleiter bei der Bearbeitung von Abituraufgaben sowie zur Vorbereitung auf Klassenarbeiten, zur Unterstützung bei der Abiturvorbereitung und zur Intensivierung des erforderlichen Wissens beim Abitur (Abi) im entsprechenden Leistungskurs (LK).
 
Mittels der anschaulichen Gestaltung und einfachen Bedienbarbarkeit einzelner Module dieser Software können Fragen zum entsprechenden Themengebiet, die mit den Worten Was ist?, Was sind?, Wie?, Wieviel?, Was bedeutet?, Weshalb?, Warum? beginnen beantwortet werden.

Eine mathematische Herleitung dient dazu, zu erklären, weshalb es zu einer Aussage kommt. Derartige Folgerungen sind unter anderem dazu dienlich, um zu verstehen, weshalb eine Formel bzw. Funktion Verwendung finden kann. Dieses Modul kann auch in diesem Fall hilfreich sein und ermöglicht es durch dessen Nutzung oftmals, einer entsprechenden Herleitung bzw. einem mathematischen Beweis zu folgen, oder einen Begriff zum entsprechenden Fachthema zu erklären.
 
Bei Fragen deren Wörter Welche?, Welcher?, Welches?, Wodurch? bzw. Wie rechnet man? oder Wie berechnet man? sind, können zugrunde liegende Sachverhalte oftmals einfach erklärt und nachvollzogen werden. Auch liefert diese Applikation zu vielen fachthemenbezogenen Problemen eine Antwort und stellt eine diesbezüglich verständliche Beschreibung bzw. Erklärung bereit.

  

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

Um Berechnungen zu einem der beiden Fachthemen durchführen zu lassen, sollten Sie Folgendes ausführen:
 

1. Wählen Sie, durch die Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung bzw. Skalarmultiplikation, ob Sie die Komponentendarstellung eines Vektors analysieren, oder eine Skalarmultiplikation durchführen lassen möchten.
    
2. Geben Sie die Koeffizienten des Vektors a und den entsprechenden Skalarfaktor (a,λ), bzw. die Ordinatenwerte der Punkte P1 sowie P2 in die hierfür vorgesehenen Felder ein.
    
3. Bedienen Sie die Schaltfläche Berechnen.
    
4. Möchten Sie sich Zusammenhänge grafisch veranschaulichen, so aktivieren Sie Kontrollschalter Automatisch oder Statisch und bedienen die Schaltfläche Darstellen.

 
Das Programm ermittelt außerdem den Betrag des Vektors, sowie die Richtungswinkel α, β, und γ zwischen dem entsprechenden Vektor und den Koordinatenachsen.
 

 

Bei Ausgabe der Darstellung ermöglicht das Programm die Bemessung des Darstellungsbereichs auf eine der folgenden Arten und Weisen:
 

• Automatisch

• Statisch

1. Automatisch:
   Wird die Einstellung Automatisch durch die Aktivierung des dafür vorgesehenen Kontrollschalters gewählt, so ermittelt das Programm alle zur vollständigen Darstellung des Gebildes erforderlichen x-, y- und z-Koordinatenwerte automatisch und bemisst den Darstellungsbereich dementsprechend.
    

2. Statisch:
   Wird der Kontrollschalter Statisch aktiviert, so verwendet das Programm bei Aufruf der Darstellung den unter Abs. Bereich voreingestellten Darstellungsbereich und beschneidet Gebilde an Stellen, die außerhalb dessen liegen. Diesen Bereich können Sie bei Ausgabe der Darstellung verändern, indem Sie den auf dem Bedienformular zur Verfügung stehenden Rollbalken Bereich positionieren. Der maximal einstellbare Wert entspricht dem Doppelten des unter Abs. Bereich auf dem Hauptformular des Unterprogramms vorgegebenen Werts.

 

 
Im Formularbereich Darstellung - Optionen können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende Einstellungen vornehmen, die bei Ausgabe der grafischen Darstellung der Zusammenhänge wirksam werden:

• Beschriften: Beschriftung dargestellter Punkte ein-/ausschalten
• Hilfslinien: Darstellung von Hilfslinien ein-/ausschalten
• Textausgabe: Anzeige ermittelter Ergebnisse bei Ausgabe der Darstellung ein-/ausschalten

 

 

Grundlegendes zum Umgang mit dem Programm bei der Ausgabe dreidimensionaler grafischer Darstellungen erfahren Sie unter Dreidimensionale Grafiken - Handling. Wie Sie das Layout einer 3D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter 3D-Layoutkonfiguration. 

 

 

Vektorprodukt (3D)

Skalarprodukt (3D)

Spatprodukt (3D)

Vektorprojektion (3D)

Tripelprodukt (3D)

 

 

Beispiel 1 - Komponentendarstellung:

 

Es gilt, sich die Komponentendarstellung des Vektors der beiden Punkte


und

ausgeben zu lassen.

 

Vorgehensweise:
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Komponentendarstellung und der Eingabe der Koordinatenwerte für die beiden Punkte, ermittelt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Ergebnisse:

Vektor a:

Der Betrag des Vektors a besitzt den Wert 6,782. Dieser Wert entspricht der Distanz der beiden Punkte P1 und P2.

Die Richtungswinkel des Vektors a sind:

α = 81,521°

β = 116,252°

γ = 27,791°

 

Beispiel 2 - Skalarmultiplikation (Vektormultiplikation mit einem Skalar):

 

Es gilt, eine Multiplikation des Vektors
 

mit dem Skalar λ = 3 durchführen zu lassen.

Vorgehensweise:

Nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Skalarmultiplikation und der Eingabe der Koeffizientenwerte für den Vektor a sowie des Werts für den Skalar, gibt das Programm nach einer Bedienung der Schaltfläche Berechnen folgende Resultate aus:

Die Koordinaten des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a lauten:

Der Betrag des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a besitzt den Wert 24,556.

Die Richtungswinkel des mit dem Skalar λ multiplizierten Vektors a sind:

α = 68,5°

β = 111,5°

γ = 31,22°
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 3
 

Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5

    
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
  

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Skalarmultiplikation
Wikipedia - Vektor

 

 

Gerade und Vektoren - Vektorielle Linearkombination - Vektorielles Teilverhältnis - Vektoraddition in der Ebene - Resultierende - Vektorprodukt (3D) - Skalarprodukt (3D) - Spatprodukt (3D) - Vektorprojektion (3D) - Tripelprodukt (3D) - Numerische Vektoraddition im Raum - Grafische Vektoraddition im Raum (3D) - Gerade in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Gerade in 2-Punkte-Form (3D) - Ebene in Punkt-Richtungs-Form (3D) - Ebene in 3-Punkte-Form (3D) - Ebene in Normalen-Form (3D) - Ebene in Koordinaten-Form (3D) - Zwei Ebenen (3D) - Kugel - Gerade (3D) - Kugel - Ebene - Punkt (3D) - Kugel - Kugel (3D)
 

 

Startfenster des Unterprogramms Komponentendarstellung
 

MathProf 5.0 - Startfenster des Unterprogramms Vektoraddition

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MathProf 5.0 - Grafikfenster des Unterprogramms Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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