MathProf - Komplexe Gleichungssysteme - KGS - Komplexes LGS - Komplex
Fachthema: Komplexes Gleichungssystem
MathProf - Algebra - Software für interaktive Mathematik zum Lösen verschiedenster numerischer, wie grafischer Aufgaben sowie zur Visualisierung relevanter Sachverhalte mittels technischer Simulationen für alle die sich für Mathematik interessieren.
Online-Hilfe
für das Modul zur Berechnung der Lösungen von linearen Gleichungssystemen komplexer Zahlen bis 10. Grades.
Beispiele, welche Aufschluss über die Verwendbarkeit und Funktionalität
dieses Programmmoduls geben, sind implementiert.
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Themen und Stichworte zu diesem Modul:Komplexes Gleichungssystem - Lineares Gleichungssystem komplexer Zahlen - Gleichungssystem - Komplex - Lösen komplexer Gleichungssysteme - Gleichungen - Erklärung - Beschreibung - Definition - System - KGS - Komplexes LGS - Rechner - Berechnen - Komplexe GS - Lösungen |
Komplexes Gleichungssystem (KGS)
Modul Komplexes Gleichungssystem
Im Programmteil [Algebra] - [Sonstige Gleichungssysteme] - Komplexes Gleichungssystem können Lösungen komplexer Gleichungssysteme ermittelt werden.
Komplexe Gleichungssysteme werden häufig in der Elektrotechnik benötigt, um Berechnungen für Wechselstromnetzwerke durchführen zu können.
Mit Hilfe dieses Unterprogramms können die Lösungen komplexer Gleichungssysteme (KGS) bis 10. Grades nachfolgend aufgeführter Form ermittelt werden:
ar(1,1) · xr(1) + ... + ar(1,n) · xr(n) = br(1)
ai(1,1) · xi(1) + ... + ai(1,n) · xi(n) = bi(1)
....
....
....
ar(n,1) · xr(1) + ... + ar(n,n) · xr(n) = br(n)
ai(n,1) · xi(1) + ... + ai(n,n) · xi(n) = bi(n)
Berechnung
Vor der Eingabe von Zahlenwerten muss der Grad des Gleichungssystems durch die Benutzung des Steuerelements Grad des Gleichungssystems definiert werden. Bei jeder Bedienung dieses Steuerelements werden alle Eingaben gelöscht.
Nach der Eingabe der entsprechenden, reellen und imaginären Koeffizientenwerte (linke Seite) und der Absolutglieder (rechte Seite), sowie einer Bedienung des Schalters Berechnen, werden die Lösungen des Systems ausgegeben. Wird mit Hilfe des eingesetzten Verfahrens keine Lösung gefunden, so erhalten Sie eine entsprechende Meldung.
Hinweis:
Es gilt darauf zu achten, dass das zu berechnende Gleichungssystem vor einer Eingabe der Koeffizientenwerte auf die oben aufgeführte Form gebracht werden muss (alle Absolutglieder des KGS müssen rechts des Gleichheitszeichens stehen).
Allgemein
Über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten speichern können Sie die Koeffizienten des KGS speichern und bei Bedarf über den Menüpunkt Datei - Koeffizienten laden wieder laden.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Mathematische Funktionen I - Mathematische Funktionen II - Funktionen in Parameterform - Funktionen in Polarform - Kurvenscharen - Funktionsparameter - Kubische Funktionen - Zahlenfolgen - Interaktiv - Rekursive Zahlenfolgen - Interaktiv - Quadratische Funktionen - Interaktiv - Parabel und Gerade - Interaktiv - Ganzrationale Funktionen - Interaktiv - Gebrochenrationale Funktionen - Interaktiv - Kurvendiskussion - Interaktiv - Ober- und Untersummen - Interaktiv - Integralrechnung - Interaktiv - Hypozykoide - Sinusfunktion und Cosinusfunktion - Fourier-Reihen - Implizite Funktionen - Zweipunkteform einer Gerade - Kreis und Punkt - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Rechtwinkliges Dreieck - Interaktv - Allgemeines Dreieck - Interaktiv - Höhensatz - Eulersche Gerade - Richtungsfelder von Differentialgleichungen - Addition und Subtraktion komplexer Zahlen - Binomialverteilung - Interaktiv - Galton-Brett - Satz des Pythagoras - Bewegungen in der Ebene - Dreieck im Raum - Würfel im Raum - Torus im Raum - Schiefer Kegel - Pyramide - Pyramidenstumpf - Doppelpyramide - Hexaeder - Dodekaeder - Ikosaeder - Abgestumpftes Tetraeder - Abgestumpftes Ikosidodekaeder - Johnson Polyeder - Punkte im Raum - Strecken im Raum - Rotationskörper - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die X-Achse - Rotationskörper - Parametergleichungen - Rotation um die Y-Achse - Flächen im Raum I - Flächen im Raum II - Analyse impliziter Funktionen im Raum - Flächen in Parameterform I - Flächen in Parameterform II - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten I - Flächen mit Funktionen in Kugelkoordinaten II - Flächen mit Funktionen in Zylinderkoordinaten - Raumkurven I - Raumkurven II - Raumkurven III - Quadriken - Ellipsoid - Geraden im Raum I - Geraden im Raum II - Ebene durch 3 Punkte - Ebenen im Raum - Kugel und Gerade - Kugel - Ebene - Punkt - Raumgittermodelle
Weitere Themenbereiche
Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
Überbestimmtes lineares Gleichungssystem
Beispiel
Gegeben sei ein Wechselspannungsnetz mit 5 Knoten, welches in nachfolgend dargestellter Form konzipiert ist und zu berechnen gilt:
Unter Beachtung der Regeln der Knotenspannungsanalyse kann dieses Netz durch ein komplexes Gleichungssystem mit vier Unbekannten, wie folgt beschrieben werden:
Zudem seien bekannt:
Sinusförmige Frequenz: f = 50Hz
→ Kreisfrequenz w = 2·π·f = 314 1/s
Netzspannung: U = 220V (Amplitudenwert E(t) = 314 V)
Widerstände R1 = 100 Ω und R2 = 100 Ω
Kapazitäten: C1 = 0,1mF, C2 = 0,1mF und C3 = 0,1mF
Induktionen: L1 = 0,5H und L2 = 0,5H
Stromquelle: Imax = 3140 mA
Aufgabe:
Es gilt, die 4 Knotenspannungen U1, U2, U3 und U4 mittels der gegebenen Daten errechnen zu lassen.
Um das oben aufgeführte, komplexe Gleichungssystem mit Nutzung numerischer Zahlenwerte aufstellen zu können, wird die zahlenmäßige Größe jedes einzelnen Leitwerts (in der Maßeinheit MilliSiemens mS) ermittelt.
Nach der Errechnung der Einzelkomponenten kann folgendes Gleichungssystem 4. Grades aufgestellt werden:
Bei Festlegung des Grades des Systems auf 4 und der Eingabe der Koeffizientenwerte in die Tabelle Koeffizienten:
| Re1 | 10 | 0 | 0 | 0 |
| Im1 | 0,3142 | -0,3142 | 0 | 0 |
| Re2 | 0 | 10 | -10 | 0 |
| Im2 | -0,3142 | -6,0558 | 0 | 0 |
| Re3 | 0 | -10 | 10 | 0 |
| Im3 | 0 | 0 | 0,3142 | -0,3142 |
| Re4 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Im4 | 0 | 0 | -0,3142 | -5,7416 |
sowie der Eingabe der nachfolgend aufgeführten Koeffizienten in die Tabelle Absolutglieder
3140
0
0
0
0
0
0
0
ermittelt das Programm nach der Bedienung der Schaltfläche Berechnen für die Lösungen des KGS:
z1 = 312,845 - 9,831 i
z2 = -4,124 + 7,318 i
z3 = 0,0005 + 0,0003 i
z4 = -0,0003 - 0,0001 i
Die Real- und Imaginärteile der komplexen Lösungen entsprechen den gesuchten Knotenspannungen, wie nachfolgend aufgeführt:
| Spannung | Realteil | Imaginärteil |
| U1 | 312,845 V | -9,831 V |
| U2 | -4,124 V | 7,318 V |
| U3 | 0,0005 V | 0,0003 V |
| U4 | -0,0003 V | -0,0001 V |
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
Cramersche Regel - Matrizen - Lineares Gleichungssystem - Gauß'scher Algorithmus - Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem - Überbestimmtes lineares Gleichungssystem - Lineare Optimierung - Grafische Methode - Lineare Optimierung - Simplex-Methode - Gleichungen - Gleichungen 2.- 4. Grades - Ungleichungen - Prinzip - Spezielle Gleichungen - Richtungsfelder von DGL 1. Ordnung - Interaktiv - DGL 1. Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL n-ter Ordnung (Differentialgleichungen) - DGL - Gleichungssystem - Mengenelemente - Venn-Diagramm - Zahluntersuchung - Bruchrechnung - Primzahlen - Sieb des Eratosthenes - Taschenrechner - Langarithmetik - Einheitskreis komplexer Zahlen - Schreibweisen komplexer Zahlen - Berechnungen mit komplexen Zahlen - Addition komplexer Zahlen - Multiplikation komplexer Zahlen - Taschenrechner für komplexe Zahlen - Zahlen I - Zahlen II - Zahlensysteme - Zahlumwandlung - P-adische Brüche - Bruch - Dezimalzahl - Kettenbruch - Binomische Formel - Addition - Subtraktion - Irrationale Zahlen - Wurzellupe - Dezimalbruch - Mittelwerte
MathProf 5.0 - Unterprogramm Unterbestimmtes lineares Gleichungssystem
MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
SimPlot 1.0 - Grafik- und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke
Es eignet sich insbesondere dafür, um interaktive grafische Untersuchungen sowie numerische Berechnungen zu entsprechenden Fachthemen durchführen zu lassen. Mehr als 300 verschiedene Unterprogramme decken die mathematischen Themenbereiche Analysis, Geometrie, Trigonometrie, Algebra, Stochastik, 3D-Mathematik und Vektoralgebra großflächig ab.
Durch die Nutzbarkeit vieler implementierter grafischer Features bestehen vielseitige gestaltungstechnische Möglichkeiten, ausgegebene Grafiken in entsprechenden Unterprogrammen auf individuelle Anforderungen anzupassen. Durch die freie Veränderbarkeit von Parametern und Koordinatenwerten bei der Ausgabe grafischer Darstellungen, besteht in vielen Modulen zudem die Möglichkeit, Veränderungen an dargestellten Gebilden und Zusammenhängen manuell oder durch die Verwendung automatisch ablaufender Simulationsprozesse in Echtzeit zu steuern und zu analysieren.
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 1600 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Analysis
- Kurzinfos zum Themengebiet Geometrie
- Kurzinfos zum Themengebiet Algebra
- Kurzinfos zum Themengebiet 3D-Mathematik
- Kurzinfos zum Themengebiet Stochastik
- Kurzinfos zum Themengebiet Vektoralgebra
- Kurzinfos zum Themengebiet Trigonometrie
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in MathProf 5.0 unter dem Themenbereich 3D-Mathematik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Physik interaktiv
Es verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 300 Seiten.
- Kurzinfos zum Themengebiet Mechanik
- Kurzinfos zum Themengebiet Elektrotechnik
- Kurzinfos zum Themengebiet Optik
- Kurzinfos zum Themengebiet Thermodynamik
- Kurzinfos zu sonstigen Themengebieten
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Mechanik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Thermodynamik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einem in PhysProf 1.1 unter dem Themenbereich Elektrotechnik eingebundenen Unterprogramm, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
III - SimPlot 1.0
Visualisierung und Simulation interaktiv
SimPlot 1.0 ist eine Anwendung, welche es unter anderem durch interaktiv erstellbare Präsentationen ermöglicht, sich Sachverhalte aus vielen technischen, wissenschaftlichen und anderen Bereichen grafisch darstellen und diese multifunktional sowohl statisch, wie auch in Form bewegter Grafiken ausgeben zu lassen. Das Programm erlaubt die Erstellung von Gebilden mit zweidimensionalen grafischen Objekten, welche als geometrische Figuren und Bilder zur Verfügung stehen.
Es bietet zudem die Möglichkeit, Zusammenhänge im Bereich der Planimetrie auf einfache Weise interaktiv zu analysieren. Unter anderem wird es ermöglicht, mit erzeugten Gebilden geometrische Transformationen durchzuführen und diesen automatisch ablaufende Bewegungs- und Verformungsprozesse zuzuweisen.
SimPlot kann sowohl zur Erstellung von Infografiken, zur dynamischen Datenvisualisierung, zur Auswertung technisch-wissenschaftlicher Zusammenhänge sowie zur Erzeugung bewegter Bilder für verschiedenste Anwendungsbereiche eingesetzt werden. Neben der Bereitstellung vieler mathematischer Hilfsmittel und zusätzlicher Unterprogramme erlaubt es auch die Einblendung von Hilfslinien zur Echtzeit, welche dienlich sind, um sich relevante Sachverhalte und Zusammenhänge unmittelbar begreiflich zu machen.
Dieses Programm verfügt über eine umfangreiche Programmhilfe mit ca. 900 Seiten.
Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.
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