MathProf - Kegelschnitt - Mittelpunktlage - Punkt - Kurve - Asymptote

 

Modul Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt

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Im Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt können Untersuchungen zur Ermittlung der Gleichungen externer Tangenten an Kegelschnitte (Kurven 2. Ordnung) in Mittelpunktlage interaktiv durchgeführt werden.

 

Von Kegelschnitten dieser Art spricht man, wenn ein gerader Kreiskegel von einer Ebene geschnitten wird und der Mittelpunkt des Kegelschnitts im Koordinatenursprung liegt.
 

Dieses Modul ermöglicht die Ermittlung von Geradengleichungen, welche durch einen extern liegenden Punkt verlaufen und eine Kegelschnittkurve tangieren. Es können Untersuchungen mit folgenden Kegelschnittkurven durchgeführt werden:

• Ellipse
• Hyperbel
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Das Programm ermittelt hierbei:

• Berührpunkt(e) der Kegelschnittkurve und der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten
• Gleichungen von Tangenten an die entsprechende Kurve
• Gleichung der Polare (durch die Berührpunkte verlaufende Gerade)
• Gleichungen der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten

 
Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:

• Evolute (Kurve der Krümmungskreis-Mittelpunkte)
• Asymptoten (bei Hyperbeln)

 

Mittelpunktgleichungen der Kegelschnitte:

Hyperbel:

Ellipse:

Parabel (horizontale Öffnungsrichtung):

 

Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Mittelpunktlage:
 

1. Hyperbel:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Gleichungen der Asymptoten

2. Ellipse:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte

3. Parabel:

• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkt
• Brennpunkt

Details, sowie mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten finden Sie unter Kegelschnitte.
 

 
Untersuchungen zu diesem Fachthema können Sie durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

1. Wählen Sie durch die Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters (Ellipse, Parabel,  Hyperbel) auf dem Bedienformular die Art des Kegelschnitts, mit dem Sie eine Analyse durchführen möchten.
    
2. Möchten Sie die Koordinatenwerte eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder des extern liegenden Punkts exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkte auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position eines zur Definition des Kegelschnitts erforderlichen Punkts, oder des extern liegenden Punkts mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste (Bei einigen Punkten ist Bewegung nur nach links oder nur nach rechts, bzw. nur nach oben oder nur nach unten möglich).
    
4. Um bei Darstellung einer Ellipse oder einer Hyperbel die Koeffizienten a und b der Kegelschnittgleichung, bzw. bei Darstellung einer Parabel den Wert für Parameter 2p sowie deren Öffnungsrichtung exakt festzulegen, bedienen Sie die Schaltfläche Param. Geben Sie die entsprechenden Zahlenwerte in die zur Verfügung stehenden Felder ein, bzw. aktivieren Sie den entsprechenden Kontrollschalter und bestätigen Sie hierauf mit Ok.
    
5. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Hierauf können Sie ggf. die zu verwendenden Werte für Schrittweite bzw. Verzögerung einstellen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 

Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• Punkte: Markierung von Punkten ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige von ein-/ausschalten
• Kontur hervorheben: Linienstärke des Kegelschnitts normal/fett
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)
• Evolute: Darstellung der Evolute ein-/ausschalten
• Polare: Darstellung der Polare ein-/ausschalten
• Winkelhalb.: Darstellung der Winkelhalbierenden der durch den externen Punkt verlaufenden Tangenten ein-/ausschalten

 

 

Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.

 

 

Kegelschnitte in Mittelpunktlage

Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv

Kegelschnitte in achsparalleler Lage

Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv

Kegelschnitte - Gerade

 

Beispiel 1 - Ellipse:

Eine Ellipse sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Es gilt, die Gleichungen der Tangenten an diese Ellipse ermitteln zu lassen, welche durch den Punkt P (-4 / 6) verlaufen. Zudem sind wesentliche Eigenschaften des Kegelschnitts auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Ellipse, bedienen Sie den Schalter Param. und geben Sie die Werte der Ellipse für Halbachse a = 7, sowie für Halbachse b = 3 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Punkt P die Koordinatenwerte (-4 / 6) ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 7
Halbachse b: 3
Parameter 2p: 2,571
Lin. Exzentrizität e: 6,325
Num. Exzentrizität eta: 0,904

Scheitelpunkt 1: A (-7 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (7 / 0)

Scheitelpunkt 3: C (0 / 3)
Scheitelpunkt 4: D (0 / -3)

Mittelpunkt: M (0 / 0)

Brennpunkt 1: F1 (0 / -6,325)
Brennpunkt 2: F2 (0 / 6,325)

 

Für die Gleichungen der Tangenten an die Ellipse, welche durch Punkt P verlaufen, wird ermittelt:

 

Tangente 1: Y = -0,433·X+4,266
Tangente 2: Y = 1,888·X+13,552

 

Die Koordinatenwerte der Berührpunkte der Tangenten durch Punkt P und des Kegelschnitts sind:

 

Berührpunkt 1: B1 (4,977 / 2,109)
Berührpunkt 2: B2 (-6,826 / 0,664)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Polare gibt das Programm für die Gleichung dieser aus:

 

Polare: Y = 0,1221·X+1,5

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert, so ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der Tangenten:
 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,351·X+7,403
Winkelhalbierende 2: Y = -2,851·X-5,403
 

Beispiel 2 - Hyperbel:

Eine Hyperbel sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Es gilt, die Gleichungen der Tangenten an diese Hyperbel ermitteln zu lassen, welche durch den Punkt P2 (4 / 7) verlaufen. Zudem sind wesentliche Eigenschaften des Kegelschnitts auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Hyperbel, bedienen Sie den Schalter Param. und geben Sie die Werte der Hyperbel für Halbachse a = 6 sowie für Halbachse b = 5 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Punkt P2 die Koordinatenwerte (4 / 7) ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts:

Halbachse a: 6
Halbachse b: 5
Parameter 2p: 8,333
Lin. Exzentrizität e: 7,81
Num. Exzentrizität eta: 1,302

Scheitelpunkt 1: A (-6 / 0)
Scheitelpunkt 2: B (6 / 0)

Mittelpunkt: M (0 / 0)

Brennpunkt 1: F1 (-7,81 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (7,81 / 0)

 

Für die Gleichungen der Asymptoten der Hyperbel ermittelt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollschalters Asymptoten:

 

Asymptote 1: Y = 0,833·X
Asymptote 2: Y = -0,833·X

 

Für die Gleichungen der Tangenten an die Hyperbel, welche durch Punkt P 2 verlaufen, wird ermittelt:

 

Tangente 1: Y = -3,779·X+22,116
Tangente 2: Y = 0,979·X+3,084

 

Die Koordinatenwerte der Berührpunkte der Tangenten durch Punkt P2 und des Kegelschnitts sind:

 

Berührpunkt 1: B1 (6,151 / -1,13)
Berührpunkt 2: B2 (-11,43 / -8,107)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Polare gibt das Programm für die Gleichung dieser aus:

 

Polare: Y = 0,397·X-3,571

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert, so ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der Tangenten:
 

Winkelhalbierende 1: Y = -0,275·X+8,101
Winkelhalbierende 2: Y = 3,632·X-7,53
 

Beispiel 3 - Parabel:

Eine horizontal liegende Parabel mit linksseitiger Öffnungsrichtung sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

Y² = -5·X

Es gilt, die Gleichungen der Tangenten an diese Parabel ermitteln zu lassen, welche durch den Punkt P (7 / -4) verlaufen. Zudem sind wesentliche Eigenschaften des Kegelschnitts auszugeben.

Vorgehensweise und Lösung:

 

Aktivieren Sie den Kontrollschalter Parabel, bedienen Sie den Schalter Param. und geben Sie für den Wert 2p die Zahl 5 ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Führen Sie einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Punkt P2 die Koordinatenwerte (7 / -4) ein. Bestätigen Sie mit Ok.

Das Programm gibt nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:

Für die Eigenschaften des Kegelschnitts:

Parameter 2p: 5
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
Brennpunkt: F (-1,25 / 0)
 

Für die Gleichungen der Tangenten an die Parabel, welche durch Punkt P2 verlaufen, wird ermittelt:

 

Tangente 1: Y = -0,796·X+1,571
Tangente 2: Y = 0,224·X-5,571

 

Die Koordinatenwerte der Berührpunkte der Tangenten durch Punkt P2 und des Kegelschnitts sind:

 

Berührpunkt 1: B1 (-1,974 / 3,141)
Berührpunkt 2: B2 (-24,826 / -11,141)
 

Nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Polare gibt das Programm für die Gleichung dieser aus:

 

Polare: Y = 0,625·X+4,375

 

Wird zudem das Kontrollkästchen Winkelhalbierende aktiviert, so ermittelt das Programm für die Winkelhalbierenden der Tangenten:
 

Winkelhalbierende 1: Y = 0,23·X-2,393
Winkelhalbierende 2: Y = 4,355·X-24,482
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1
 

Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4


Grafische Darstellung - Beispiel 5


Grafische Darstellung - Beispiel 6

   

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden.

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
 

 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Soddy-Kreise - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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