MathProf - Scheitellage - Ellipse - Parabel - Hyperbel - Hauptkreis

Modul Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv

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Das Unterprogramm [Geometrie] - [Kegelschnitte] - Kegelschnitte in Scheitellage - Interaktiv ermöglicht die interaktive Untersuchung von Kegelschnitten in Scheitellage.

 

 

In diesem Modul können Kegelschnitte dieser Art an bestimmten Stellen (Abszissenwerten) interaktiv untersucht werden. Es sind dies:
 

• Ellipse
• Hyperbel
• Parabel mit horizontaler Öffnungsrichtung

Für den entsprechenden Kegelschnitt werden u.a. ermittelt und grafisch ausgegeben:
 

• Evolute (Kurve der Krümmungskreismittelpunkte)
• Brennpunkte und Brennstrahlen bei best. Abszissenpos.
• Krümmungskreise bei best. Abszissenpos.
• Haupt- und Nebenkreis (bei Hyperbeln bzw. Ellipsen)
• Asymptoten (bei Hyperbeln)
• Tangenten und Normalen bei best. Abszissenpos.
• Subtangenten und Subnormalen bei best. Abszissenpos.

   
Allgemeine Form der Scheitelgleichung:

y² = 2·p·x + (e²-1)·x²

e  < 0: Ellipse
e  = 0: Parabel
e  > 0: Hyperbel

Scheitelgleichung der Ellipse:

y² = 2px - p/ax²
 
Scheitelgleichung der Hyperbel:

y² = 2px + p/a x²
mit M(0;0)

Scheitelgleichung der Parabel:

y² = 2px
y = ± Ö 2px mit x > 0
Brennpunkt: F(p/2;0)

Details, sowie weitere mathematische Gleichungen zu Kegelschnitten finden Sie unter Kegelschnitte.
 
Das Programm ermittelt die Werte folgender Eigenschaften der Kegelschnitte in Scheitellage:

Hyperbel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Gleichungen der Asymptoten
• Eigenschaften des Hauptkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Ellipse:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Halbachse a
• Halbachse b
• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkte
• Mittelpunkt
• Brennpunkte
• Abstand der Brennpunkte
• Fläche und Umfang der Ellipse
• Eigenschaften des Haupt- und Nebenkreises

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

Parabel:

Allgemeine Eigenschaften des Kegelschnitts:

• Parameter 2p
• Lin. Exzentrizität e
• Numerische Exzentrizität ε
• Scheitelpunkt
• Brennpunkt
• Öffnungsrichtung

 Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle:

• Koordinatenwerte der Punkte an U-Stelle
• Gleichungen der Tangenten
• Tangentenlänge
• Subtangentenlänge
• Gleichungen der Normalen
• Normalenlänge
• Subnormalenlänge
• Länge der Brennstrahlen
• Mittelpunkt und Radius der Krümmungskreise

   
Untersuchungen mit Kegelschnitten in Scheitellage können Sie interaktiv durchführen, wenn Sie folgende Schritte ausführen:
 

1. Verändern Sie durch die Positionierung der zur Verfügung stehenden Rollbalken die Koeffizienten a, p und e der Gleichung.
    
2. Möchten Sie die Koordinatenwerte der zu untersuchenden Stelle exakt festlegen, so können Sie die Schaltfläche Punkt auf dem Bedienformular nutzen und die entsprechenden Werte im daraufhin erscheinenden Formular eingeben. Übernommen werden diese, wenn Sie die sich dort befindende Schaltfläche Ok bedienen.
    
3. Soll die Position der zu untersuchenden Stelle mit der Maus verändert werden, so klicken Sie mit der linken Maustaste in den rechteckig umrahmten Mausfangbereich und bewegen den Mauscursor bei gedrückt gehaltener Maustaste.
    
4. Um Zusammenhänge mit Hilfe von Simulationen zu analysieren, bedienen Sie die Schaltfläche Simulation. Vor dem Start einer Simulation wird Ihnen ein Formular zur Verfügung gestellt, auf welchem Sie die zu simulierende Größe durch eine Aktivierung des entsprechenden Kontrollschalters festlegen. Bestätigen Sie mit Ok. Beendet werden kann die Ausführung einer derartigen Simulation wieder durch eine erneute Betätigung dieser Schaltfläche. Sie trägt nun die Bezeichnung Sim. Stop.

 

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu diesem Fachthema, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks
auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

 

 

 
Auf dem Bedienformular, welches durch Anklicken im obersten schmalen Bereich und bei Gedrückthalten der linken Maustaste verschiebbar ist, können Sie u.a. durch die Aktivierung bzw. Deaktivierung der entsprechenden Kontrollkästchen folgende zusätzliche Einstellungen vornehmen:
 

• P beschriften: Markierung der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Koordinaten: Koordinatenwertanzeige der Punkte des Kegelschnitts an untersuchter Stelle, sowie der Brennpunkte etc. ein-/ausschalten
• Punkte: Darstellung einiger Punkte des Kegelschnitts etc. ein-/ausschalten
• Analyse: Durchführung der Analyse ein-/ausschalten
   
• Tangenten: Darstellung der Tangenten des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Normalen: Darstellung der Normalen des Kegelschnitts an U-Stelle ein-/ausschalten
• Brennstrahlen: Darstellung der Brennstrahlen an U-Stelle ein-/ausschalten
• Asymptoten: Darstellung von Asymptoten ein-/ausschalten (bei Hyperbeln)

   
Allgemeines zum Handling des Programms bzgl. der Darstellung zweidimensionaler Grafiken wird unter Zweidimensionale Grafiken - Handling beschrieben. Wie Sie das Layout einer 2D-Darstellung konfigurieren können, erfahren Sie unter Layoutkonfiguration. Methoden zur Implementierung und zum Umgang mit grafischen Objekten werden unter Implementierung und Verwendung grafischer Objekte behandelt.
   
Kegelschnitte in Mittelpunktlage
Kegelschnitte in Mittelpunktlage – Interaktiv
Kegelschnitte in achsparalleler Lage
Kegelschnitte in achsparalleler Lage – Interaktiv
Kegelschnitte in Scheitellage
Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten
Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv
Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv
Kegelschnitte - Punkt
Kegelschnitte - Gerade
 
Beispiel 1 - Ellipse in Scheitellage:

Ein Kegelschnitt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

2·y² = 2·8·x+(0,2²-1)·x²
 
bzw.
 
y² = 8·x - 0.48·x²
 
Es gilt, sowohl die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 2 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Positionieren Sie Rollbalken a auf den Wert a = 2, Rollbalken p auf den Wert p = 8 und Rollbalken e auf den Wert e = 0,2, so stellt das Programm eine an die y-Achse tangierende Ellipse dar, welche durch o.a. Gleichung beschrieben wird.
 
Führen Sie danach einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Ellipse untersucht werden soll, die Punktkoordinaten P (5 / 10) ein. Bestätigen Sie mit Ok. Das Programm gibt hierauf nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:
 
Gleichung dieses Kegelschnitts in allg. Form: 0,96·X²+2·Y²-16·X = 0

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Mittelpunkt: M (8,333 / 0)
 
Halbachse a: 8,333
Halbachse b: 5,774
Lin. Exzentrizität e: 6,009
Num. Exzentrizität eta: 0,721
Parameter 2p: 8
Brennpunkt 1: F1 (2,324 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (14,343 / 0)
 
Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Analyse, Tangenten, Normalen und Brennstrahlen wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 5 rechtsseitig ausgegeben:
 
Punkt 1: TP1 (2 / 3,752)
Punkt 2: TP2 (2 / -3,752)
 
Tangente durch TP1: Y = 0,81·X+2,132
Tangente durch TP2: Y = -0,81·X-2,132
 
Normale durch TP1: Y = -1,234·X+6,221
Normale durch TP2: Y = 1,234·X-6,221
 
Länge Brennstrahl TP1-B1: 3,766
Länge Brennstrahl TP1-B2: 12,9
Länge Brennstrahl TP2-B1: 3,766
Länge Brennstrahl TP2-B2: 12,9

Beispiel 2 - Hyperbel in Scheitellage:

Ein Kegelschnitt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

3·y² = 2·10·x+(2²-1)·x²
 
bzw.
 
y² = 20/3·x + x²
 
Es gilt, die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 2 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Positionieren Sie Rollbalken a auf den Wert a = 3, Rollbalken p auf den Wert p = 10 und Rollbalken e auf den Wert e = 2, so stellt das Programm eine an die y-Achse tangierende Hyperbel dar, welche durch o.a. Gleichung beschrieben wird.
 
Führen Sie daher einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Hyperbel untersucht werden soll, die Punktkoordinaten P (2 / 10) ein. Bestätigen Sie mit Ok. Das Programm gibt hierauf nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:
 
Gleichung dieses Kegelschnitts in allg. Form: -3·X²+3·Y²-20·X = 0

Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Mittelpunkt: M (-3,333 / 0)
 
Halbachse a: 3,333
Halbachse b: 3,333
Lin. Exzentrizität e: 4,714
Num. Exzentrizität eta: 1,414
Parameter 2p: 6,667
Brennpunkt 1: F1 (-8,047 / 0)
Brennpunkt 2: F2 (1,381 / 0)
 
Für die Gleichungen der Asymptoten dieser Hyperbel gibt das Programm nach einer Aktivierung des Kontrollkästchens Asymptoten aus:
 
Asymptote 1: Y = 1·X+3,333
Asymptote 2: Y = -1·X-3,333
 
Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Analyse, Tangenten, Normalen und Brennstrahlen wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 2 rechtsseitig ausgegeben:
 
Punkt 1: TP1 (2 / 4,163)
Punkt 2: TP2 (2 / -4,163)
 
Tangente durch TP1: Y = 1,281·X+1,601
Tangente durch TP2: Y = -1,281·X-1,601
 
Normale durch TP1: Y = -0,781·X+5,725
Normale durch TP2: Y = 0,781·X-5,725
 
Länge Brennstrahl TP1-B1: 10,876
Länge Brennstrahl TP1-B2: 4,209
Länge Brennstrahl TP2-B1: 10,976
Länge Brennstrahl TP2-B2: 4,209

Beispiel 3 - Parabel in Scheitellage:

Ein Kegelschnitt sei durch nachfolgende Gleichung definiert:

2·y² = 2·3·x+(1²-1)·x²
 
bzw.
 
y² = 3·x
 
Es sind die allgemeinen Eigenschaften dieses Kegelschnitts, wie auch dessen Eigenschaften an Stelle x = 3 ermitteln zu lassen.
 
Vorgehensweise und Lösung:
 
Positionieren Sie Rollbalken a auf den Wert a = 2, Rollbalken p auf den Wert p = 3 und Rollbalken e auf den Wert e = 1, so stellt das Programm eine an die y-Achse tangierende Parabel dar, welche durch o.a. Gleichung beschrieben wird.
 
Führen Sie daher einen Klick auf den Schalter Punkte aus und geben Sie für den Abszissenwert, an welchem die Parabel untersucht werden soll, die Punktkoordinaten P (3 / 10) ein. Bestätigen Sie mit Ok. Das Programm gibt hierauf nachfolgend aufgeführte Ergebnisse aus:
 
Gleichung dieses Kegelschnitts in allg. Form: 2·Y²-6·X = 0
 
Allgemeine Eigenschaften dieses Kegelschnitts:
 
Scheitelpunkt: S (0 / 0)
 
Num. Exzentrizität eta: 1
Parameter 2p: 3
Brennpunkt: B (0,75 / 0)
 
Nach einer Aktivierung der Kontrollkästchen Analyse, Tangenten, Normalen und Brennstrahlen wird für die Eigenschaften des Kegelschnitts an untersuchter Stelle x = 3 angezeigt:
 
Punkt 1: TP1 (3 / 3)
Punkt 2: TP2 (3 / -3)
 
Tangente durch TP1: Y = 0,5·X+1,5
Tangente durch TP2: Y = -0,5·X-1,5
 
Normale durch TP1: Y = -2·X+9
Normale durch TP2: Y = 2·X-9
 
Länge Brennstrahl TP1-B1: 3,75
Länge Brennstrahl TP1-B2: 3,75
 

 

Grafische Darstellung - Beispiel 1


Grafische Darstellung - Beispiel 2


Grafische Darstellung - Beispiel 3


Grafische Darstellung - Beispiel 4
  

Eine kleine Übersicht in Form von Bildern und kurzen Beschreibungen über einige zu den einzelnen Fachthemengebieten dieses Programms implementierte Unterprogramme finden Sie unter Screenshots zum Themengebiet Analysis - Screenshots zum Themengebiet Geometrie - Screenshots zum Themengebiet Trigonometrie - Screenshots zum Themengebiet Algebra - Screenshots zum Themengebiet 3D-Mathematik - Screenshots zum Themengebiet Stochastik - Screenshots zum Themengebiet Vektoralgebra sowie unter Screenshots zu sonstigen Themengebieten.
   

 

Hilfreiche Informationen zu diesem Fachthema sind unter folgenden Adressen zu finden:

Wikipedia - Kegelschnitte
Wikipedia - Hyperbel
Wikipedia - Ellipse
Wikipedia - Parabel
 

 

Achsenabschnittsform einer Geraden - Punkt-Richtungs-Form einer Geraden - Zwei-Punkte-Form einer Geraden - Hessesche Normalenform einer Geraden - Allgemeine Form einer Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Gerade - Interaktiv - Gerade - Punkt - Gerade - Punkt - Interaktiv - Geradensteigung - Kreis - Punkt - Kreis - Punkt - Interaktiv - Kreis - Gerade - Kreis - Gerade - Interaktiv - Kreis - Kreis - Kreis - Kreis - Interaktiv - Kreisausschnitt - Kreissegment - Kreisring - Ellipse - Regelmäßiges Vieleck - Viereck - Allgemeines Viereck – Interaktiv - Satz des Ptolemäus - Satz des Arbelos - Pappus-Kreise - Archimedische Kreise - Hippokrates Möndchen - Varignon-Parallelogramm - Rechteck-Scherung - Polygone - Bewegungen in der Ebene - Affine Abbildung - Analyse affiner Abbildungen - Inversion einer Geraden am Kreis - Inversion eines Kreises am Kreis - Spirolateralkurven - Spiralen im Vieleck - Granvillesche Kurven - Bérard-Kurven - Eikurven - Kegelschnitt - Prinzip - Pyramidenschnitt - Prinzip - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Interaktiv - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Kegelschnitte in achsparalleler Lage - Interaktiv - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Punkt - Kegelschnitte in Mittelpunktlage - Gerade - Allgemeine Kegelschnitte - Kegelschnitte durch 5 Punkte - Interaktive Geometrie mit Objekten - Winkelmaße - Strahlensatz - Teilungsverhältnis - Konstruktion einer Mittelsenkrechten - Konvexe Hülle - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum (3D) - Krummflächig begrenzte Körper (3D) - Ebenflächig und krummflächig begrenzte Körper (3D) - Platonische Körper (3D) - Archimedische Körper (3D) - Spezielle Polyeder (3D) - Selfbuild - Punkte (3D) - Selfbuild - Strecken (3D) - Kreise - Tangenten - Kreisausschnitt - Interaktiv - Kreissegment - Interaktiv - Ellipse - Interaktiv - Regelmäßiges Vieleck - Interaktiv - Rechteck - Interaktiv - Parallelogramm - Interaktiv - Trapez - Interaktiv - Drachenviereck - Interaktiv - Sehnenviereck - Tangentenviereck - Sangaku-Problem - Malfatti-Kreise - Apollonius-Problem - Pappus-Kette - Steinersche Kreiskette - Versiera der Agnesi - Kegelschnitt - Prinzip (3D) - Konstruktion einer Ellipse - Konstruktion einer Parabel - Konstruktion einer Hyperbel - Kegelschnitte in Scheitellage - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Kegelschnittgleichungen in Polarkoordinaten - Interaktiv - Kegelschnittgleichungen in Parameterform - Interaktiv - Brennpunkte - Brennstrahlen - Allgemeine Kegelschnitte - Interaktiv - Sehnensatz - Sekantensatz - Sehnentangentensatz - Vierte Proportionale - Paarweise senkrechte Schenkel - Goldener Schnitt - Bewegung des Quadrats - Harmonische Teilung - Gerade - Harmonische Teilung - Kreis - Dreieck - Pyramide - Quader im Raum - Interaktiv (3D) - Krummflächig begrenzte Körper - Interaktiv (3D) - Eben- und krummflächig begrenzte Körper  - Interaktiv (3D) - Spezielle Polyeder II (3D) - Koordinatensysteme - Kugeldreieck (3D) - Entfernungen auf der Erde (3D)

 

MathProf 5.0 - Unterprogramm Soddy-Kreise

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MathProf 5.0 - Unterprogramm Kurven von Funktionen in Parameterform
 

 

PhysProf 1.1 - Unterprogramm Adiabatische Zustandsänderung
 

SimPlot 1.0 - Grafik-  und Animationsprogramm für unterschiedlichste Anwendungszwecke

 

Nachfolgend finden Sie ein Video zu einer mit SimPlot 1.0 erstellten Animationsgrafik, welches Sie durch die Ausführung eines Klicks auf die nachfolgend gezeigte Grafik abspielen lassen können.

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